初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型

旋转提升专题

知识点一旋转构造全等

旋转中的基本图形

几何变换——旋转，

利用旋转思想构造辅助线

(-)共顶点1运转模型(证明基本思想“SAS”)

A

等边三角形共顶点

共顶点等股直角三角形

L

共顶点等腰三角形

/、

共顶点等腰三角形

以上给出了冬种图3?连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是仝等三角影，此模型

需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化

二利用旋转思想构造辅助线

(1)根据相等的边先找出被旋转的三角形

(2)根据对应边找出旋转角度

(3)根据旋转角度画出对应的旋转的三角形

三旋转变换前后具有以下性质：

(1)对应线段相等，对应角相等

(2)对应点位置的排列次序相同

(3)任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角夕.

【例题精讲】

例1.在四边形ABCD中，ZADC=ZABC=90°,AD=CD,DPJLAB亍P,若SAB«F25,求DP的长。

例2.如图，四边形A8C。是正方形，A4/汨是等边三角形，”为对角线8。上任意一点，将8W

绕点8逆时针旋转60。得到8N,连接人也、CM、EN.

⑴求证：

⑵①当M点在何处时，AM+CN的值最小；

②当刊点在何处M,AM+8M+CM的值最小，并说明理由;

⑶当4M+8M+CM的最小值为75+1时，求正方形的边长.

方法总结：

I、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言

2、旋转变换还用于处理：

①儿何最值问题：几何最值两个亘要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短；

②有关线段的不等关系；

③自己构造绕某点旋转某角度(特别是60度)，把共顶点的几条线段变为苜尾相接的几条线

段，再变为共线取得最小值问题，计算中常用到等腰三角形或勾股定理等知识。

【课堂练习】

1.加图1,已知边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG有•个公共点A,（a“b）,且点F在AD

上。（以下结果可以用含a、b的代数式表示）

（1）求SADBF；

（2）把正方形AEFG绕点A逆时针旋转45。，得到图2,求图2中的％阳；

把正方形绕点旋转任意角度，在旋转的过程中，SAD是否存在最大值、最小值？如果存在，

（3）AEFGA8f

试求出最大值、最小值：若不存在，请说明理由。

2.四边形ABCD中，zDAB=zBCD=90°,CD=CB,AC=6,求四边形ABCD的面积。

知识点二利用全等构造特殊三角形

【例题精讲】

例1•点P为等边aABC内一点，若FA=2,PB=百,PC=1,求/BPC的度数。

如凰」ABC中，cBAOG0a,^ABC-45*.人0-26.D忌itffiOC上的一个动点,LUAD为直任画。。分9俄AO.AC于£,F,SffiET,则稣C「K_S的扇小

例2.

如图,4ABe中，AB=AC=1,，BAC=45。，:AEF是由2ABe绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF;

(2)当四边形ACDE为差形时，求BD的长.

已知0。的半径为1,圆心O到直绢的距离为2,过I上的点A作OO的切线，切点为B,则线段AB的长度的最小值为(

rB.加

rD.2

2.

（江苏无锡市中考16）如图4A3C中，NC=30,.将工绕点A顺时针旋转60°得到二皿：,AE与3c交于尸.iUZ.4fS

3.

（上海崇明二模18）如图，RtA.43C中乙敏？=90,，43=BC=2,将绕点逆时针旋转60：得到'"V。，

0AT/,•的长昌

旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。

额外拓展：

如屋，已知抛物线），=f-21一3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,该抛物线

顶点为D,对称轴交x轴于点Ho

（1）求A,B两点的坐标：

（21设点P在x轴下方的抛物线上，当NABP=NCDB时，求出点P的坐标：

（3）以OB为边在第四象限内作等边△QBM.设点E为x轴的正半轴上一动点（OE>OH）,连接ME.把线

段ME绕点M顺时针旋转60。得MF,求线段DF的长的最小值。

1、如图，四边形OABC和。DEF都是正方形，CF交OA于点P,交DA于点Q.

(1)求证：AD=CF

(2)AD与CF垂直吗？说说你的理由：

(3)当正方形ODEF绕。点在平面内旋转时，(1)、(2)的结论是否有变化?为什么?

一元一次方程测试题

一、填一填!

1、若3x+6=17,移项得x=

2、代数式5m+'与5(m——)的值互为相反数，则m的值等•于。

44

3、如果x=5是方程ax+5=10—4a的解，那么a=

x-I_2x+3_]

4、在解方程下—=时，去分母得。

5、若(a—1)x"”+3=—6是关于x的一元一次方程,则a=；x=。

6'当x=时，单项式5a2x+1b2与8f为2是同类项。

7、方程上尸一生要=1，去分母可变形为。

8、如果2a+4=a—3，那么代数式2a+l的值是。

9、从1999年11月1日起，全国储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20%，张老师于2D03

年5月1日在银行存入人民币4万元，定期一年，年利率为1.98%，存款到期后，张老师净得

本息和共计元。

10、当x的值为一3时，代数式-3x2+ax-7的值是一25，则当x=-1时，这个代数式的值

为。

11、若,+(y_2)2=0，贝i]x+y=

12、某学校为保护环境，绿化家园，每年组织学生参加植树活动，去年植树x棵，今年比去年增

加20%，则今年植树裸.

二、慧眼识真！

1.1、下列各题中正确的是()

A.由7x=4x-3移项得7x-4x=3

B.由2上r-~I=1+土r—，3去分母得2(2x—l)=l+3(x—3)

32

C.由2(2工一1)一3(工一3)=1去括号得4工一2—34—9=1

D.由2(x+l)=x+7移项、合并同类项得户5

2、方程2-生尹=一号去分号得。

A'2-2(2x-4)=-(x-7)B、12-2(2x-4)=-x-7

C、24-4(2x-4)=-(x-7)D'12-4x4-4=-x+7

3、一批宿舍，若每间住1人，则有10人无法安排；若每间住3人，则有10间无人住。这批宿

舍的间数为_________。

A、20B'15C'10D、12

4'某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是。

A'15%B、20%C'25%I）、10%

5、某商场上月的营业额是a万元，本月比上月增长15%，那么本月的营业额是。

A、15%a万元；B、a（l+15%）万元；

C、15%（l+a）万元；D、（1+15%）万元。

6、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的两倍，乙现在的年龄是。

A、10岁B、15岁C、20岁D、3。岁

7、一个长方形周长是16cm，长与宽的差是1cm>那么长与宽分别为。

A'3cm>5cmB、3.5cm*4.5cmC、4cm，6cmD、10cm»6cm

8'某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费），超过3km

以后，每增加1km*力口收2.4元（不足1km按1km计）。某人来这种出租车从甲地到乙地共支付车

费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是。

A'11B'8C'7D'5

9、一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题兵得

70分，他做对了道题。

A'17B'18C'19D'20

10、某商店有2个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这笔

买卖中，这家商店。

A不赔不赚B、赚了10元C赔了10元D赚了8元

11、小刚问妈妈的年龄，妈妈笑着说：“我们两人的年龄和为52岁，我的年龄是你的年龄的2

倍多7，你能用学过的知识求出我们的年龄吗？“小刚想了一会儿，得出的正确结果是____。

A、14岁和38岁B、15岁和37岁C、16岁和36岁D、16岁和39岁

12、一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字

对调后组成的两位数，则这个两位数是（）

A'16B'25C、34I）'61

三•解下列方程：

2x-\IOx-12x+l

'二~42、8(3x-l)-9(5x-ll)-2(2x-7)=30

3、2(x+l)_5(x+l)_]4x—1.5_5x_O.8_l.2~x

360.5OJ-

几何部分

1、下面表示NA8C的图是（）

4

120°，其中只有一人计算正确，他是谁呢？（）

A•甲B•乙C•丙D-T

3、小明看钟表上时间为3:30，则时针、分针成的角是（）

A70度B75度C85度D90度

4、下面四个图形中，N1与N2是对顶角的图形的个数是（）

A-0B-1C-2D•3

wXX产

5、三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同三点、时1'对顶角有n对，则m与n

的关系是（）

A,m=nB•m>nC•n<nD•m+n=10

6、若N1与N3互余，N2与N3互补，则N1与N2的关系是（）

（A）N1=N2（B）N1与N2互余

（OZ1与N2互补（D）N2-Nl=9（f

7、如下图0A±0B,0C10D,则()

A、ZAOC=ZAODB、ZAOD=ZDOBC、ZAOC=ZBODD'以上结论都不对

8、如上图，直线AB、CD相交于点。,OE_LAB于0,NC0E=55°,则NB0D的度数是（）.