北师大版数学拓展模块一年级上册册教案：第56课 二面角

6.4.2《二面角》教案

授课题目二面角

授课课时1课型讲授

1.知识与技能：使学生正确理解二面角与平面角的概念，并能初步运用它们

解决问题；进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想；

教学2.过程与方法：通过引导学生发现二面角的平面角的定义，培养学生的类比

目标能力、观察能力、和归纳总结能力，通过指导学生探求二面角的平面角的做法，

培养学生自主探索能力与协作探究能力；

3.情感、态度与价值观：通过本节学习和运用实践，激发学生的学习积极性，

培养思维的变通性和严密性，培养学生的探索精神和创新精神。

教学1.教学重点：二面角的平面角的概念形成过程；

重难点2.教学难点：寻求二面角的平面角。

第1课时

设计思

教学活动学生活动

路

一、创设情境

从实际

观看课件，在事例使

(1)(2)

教学过程

教师引导下学生自

图金52

思考、讨论、然的走

回答问题

如图6-52,它是笔记本电脑打开后的两种不同状向知识

态.如果用笔记本电脑的屏幕相对桌面的倾斜程度来点

刻画它们的状态，这两种状态相对桌面的倾斜程度可

能是一样的：这样就无法区别它们的真实状态.用什

么方法可以更好地区别它们的摆放状态呢？

二、分析理解

我们可以用键盘面所在平面为参照面，用屏幕面

与键盘面之间的张开程度来刻画它们的位置状态，这

样可以有效区分两种状态.

三、抽象概括

上述例子中提到的“张开程度〃实际就是接下来要

学习的二面角的平面角.

平面内的一条直线把一个平面分成了两部分，每

一部分叫作一个半平面.从一条直线出发的两个半平

面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的

棱，这两个半平面叫作二面角的面.

(1)(2)(3：

图6-53

观察图片、通过师

生互动，

以AB为棱、a和。为两个半平面的二面角(如图

积极思考、理

6-53(1)),通常记作a-ABf.如果二面角的棱为1(如图解并掌

掌握二面握二面

6-53(2))可以记作如果C和D分别是半平面

f角和二

a和B内的点(如图6-53(3)),也可以记作C-AB-D.角和二面面角的

平面角

角的平面的相关

概念及

角的概念范围

BB6-54

如图6-54,在二面角的棱1上任取一点0,以点0

为垂足，在半平面a和半平面p内分别作垂直于棱1

的射线0A,0B,则射线0AQB所成的角团A0B叫作

二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角

的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.当

二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为

0°;平面角为直角的二面角叫作直二面角；当二面角

的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为

180°.所以二面角的大小的范围是［0。，180。］.

四、典型例题

例1如图6-55,已知二面角a-1-p的平面角为

30。，平面p内有一点P,它到平面a的距离是2,求

在教师引导下

点P到棱1的距离.读题

通过例题

匕/分析探究

二面角的

平面角的

图

6-55概念及其

分析过点P构造•个二面角的平面角，然后根据应用

思考解题过程

二面角的大小去求点P到棱1的距离.

解在平面8内，过点P作PBJJ交于点B,再过点

P作PAJLQ,垂足为A,连接AB,则PAJJ.

在教师引导法

又丁PB_U,PACPB=P,探究如何找到

・•・l_L平面PAB,二面角的平面

角，并利用概

念解题

XVABca,PBuB,

・•・NPBA为二面角的平面角.

•・•在Rt^PAB中，ZPBA=30°,PA=2,

APB=4,

・••点P到棱1的距离为4.

例2如图6-56,在三棱锥P-ABC中，PA团平

面ABC,AB0AC,AB=AC=4,PA=3,求二面介J

P-BC-A的余弦值.

读题

通过例题

分析求解

进一步领

会如何求

二面角。

图6-56

思考解题过程

分析要求二面角的大小，也就是在棱BC上找一

点，然后过这个点分别在两个半平面内作垂直于BC的

射线,这两条射线所成的角就是所求二面角的平面角.

解取BC的中点E,连接PE,AE.

•・・PA0平面ABC,回答教师提出

PA0AB,PA0AC,PA0AE.的问题，学会

求二面角

XVAB=AC=4,PA=3,

PB=PC=5.

又・・・E是BC的中点，

，PE0BC,AE0BC.

又,?PE司平面PBC,AE团平面ABC,

.*.0PEA为二面角P-BC-A的平面角.

VABSAC,AB=AC=4Z

・•・BC=42,AE=22,

.*.PE=VP/12+>4E2=17,

8SRPEA二丝=¥=迈

PEV1717

・・・二面角P-BC-A的余弦值为21.

17

五、随堂练习

1.二面角是指（）.

A.两个平面的夹角；

B.两个平面相交所组成的图形；

C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；

D.从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与

这个平面所组成的图形.

通过练习

2.二面角的大小的范围是（）.

加深学生

A.[0°,90°]B.[0°,180c]

对所学知

（）（）

C.0°,90°D.0°,180°识的理

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC

做随堂练习解，教师

-Al的大小为（）.