高考数学中档小题押题训练（二）

高考数学中档小题押题训练(二)

姓名：班级：

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知函数〃x)=sin2x-68s2》,则下列结论中正确个数为()

①函数尸/[一目为偶函数

②函数y=|/(x)|的最小正周期为兀

③函数y=/(x)在区间-芳上的最大值为।

④函数y=/("的单调递增区间为履-去也+1("GZ)

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.曲线「：手一千-1"f+3,2—9=0,要使直线y=/M，〃eR)与曲线「有四个不同的

IJJ7

交点，则实数，〃的取值范围是()

A.(-3,-73)J(->/3,^)U|73,3)B.J(6,3)

C.(3,3)D.(-73.V3)

3.已知底而边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，则与该三棱柱共底面的外接

圆锥的轴截面面积的最小值是()

24&+2

A.：B.-C.

333D考

4.已知数列―J的前〃项和为若无

不等式127；<3/-〃恒

[4/1+4〃-3J

成立，则实数〃的取值范围是()

,4-4J.

A.B.

4-

D.-00,-----kJ[1,+00

3

5.若函数/(”)=高云工的部分图象如图所示，则/(5)=()

6.已知对任意平而向量入8=(x.v),把A8绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量

初;俳斓-"后优心血+旷统叫叫做把点笈绕点从沿逆时针方向旋转0角得到点。上

知平面内点人(1,2),点8(2.3),把点8绕点A沿顺时针方向旋转)得到点P,则点P

6

的坐标为()

正

33正11

+++>/,一3+7-3

1-一2-2

A.22，22B.22

135立15

723723

C--+--+ij

2222D.22

7.已知函数/(x)=,数列｛《,｝满足q=1,a“+3=an(〃eN*),)+f3+0,)=0,

则£4=()

A.0B.1C.675D.2023

2HI-1,0<A<2

8.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=\j,则函数

—f(x—2),x>2

g(x)=V(x)-l在［-6,+oo)上的所有零点之和为()

A.-32B.32C.16D.8

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.)

9.下列结论中，正确的有()

A.数据1,2,4,5,6,8,9的第百分之60分位数为5.

B.己知随机变量X服从二项分布若E(3X+1)=6,则“=5.

C.已知回归宜线方程为»=玄+1.8,且元=2,5=20,则$=9.1.

D.对变量x与丫的统计昂■/来说，z“百越小，判断)•与)，有关系”的杷樨性越大.

10.如图所示，一个平面图形A8CQ的直观图为其中

OW=0'C'=1.08'=07)'=2,则下列说法中正确的是()

A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形

B.该平面图形的面积是8

C.该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是詈

D.以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为后

11.在平面直角坐标系xQy中，双曲线E:-=1(。＞0,方＞0)的左、右焦点分别是F,

a

工，渐近线方程为2x±)，=0,M为双曲线E上任意一点，MN平分4F\MF],且

FtNMN=O,\ON\=2r则()

A.双曲线的离心率为不

B.双曲线的标准方程为V-f=1

4

C.点M到两条渐近线的距离之积为令

D.若直线"片与双曲线EH勺另一个交点为P，。为M尸的中点，则m°x女，=4

12.关于函数/(x)=k+：：-2,有如下列结论，其中正确的结论是(〉

A.函数/(x)有极小值也有最小值

B.函数/(⑼有且只有两个不同的零点

C.当-2e2＜«时,/(“)=%恰有三个实根

D.若时，“外2=告，则f的最小值为2

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2

分，第二空3分.)

、y

13.已知正数x,y满足x(x+2)，)=9,则“+y『的最大值为.

.若〃=呢位,则二项式

14的展开式中常数项为

15.复数Z满足（l+i）z=|J5—i|,则2=.

16.中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起

源于中国古代建筑的桦卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分（即梯卯结构）啮合，

十分巧妙，一般都是易拆难装.现有如图（1）的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正

八边形构成的，图（2）是该鲁班锁的直观图，则该鲁班锁的各个面中为正三角形的而

有个，若该鲁班锁每条棱的长均为1,则该鲁班锁表而中为正八边形的而的而

积之和为.

图⑴图⑵

参考答案：

1.C

【分析】化简得到/(x)=2sin[2x-g),根据三角函数的奇偶性，单调性和值域得到①③④

正确，确定/(x+]卜|/(x)|得到②错误，得到答案.

【详解】/(x)=sin2x-73cos2x=2sinI2x-yj,

对①：y=/(x4)=2sin(■^一])=2sin(2x-5)=一

cos2A:,为偶函数，正确;

小卜"2冶卜卜in(哈)

对②：/1+?=卜池(=|/Wb

故]是y=|/")|的周期，错误；

对③：XG-,则-^，7，函数的最大值为2sinJ=l，正确；

L44J3[66J6

——2.x——2A,7C+—,Ar€/^,ft?得——xH-kn.A;€Z,

故函数的单调递增区间为履-■^，桁+碧(&eZ),正确.

故选：C

2.B

【分析】结合丁+)?29可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线「的

图象，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】由题意得：A-2+/-9>0,即丁+)，2之9,即曲线「上的点(》0)为圆Y+V=9上

或圆/+9=9外的点,

由y-y-lpA：2+>'2-9=Ci^：号-1=i或/+/=9,

--^-=1-y/bx=->/6x=\/6x=\/6

由《33得:或，厂或，厂或<广，

Vr3[y=-y3[y=V3[y=一&

x2+y2=9

由此可得曲线「的图象如下图所示,

答案第I页，共II页

由图象可知：当〃仪-3,-@U（"3）时，直线产〃呜曲线「有四个不同交点;

实数加的取值范围为（-3,75）U（G,3）.

故选：B.

3.B

【分析】根据题意可利用内切球半径等于三角形内切圆半径求出朋=2,・=等，再由正弦

定理求出三角形外接圆半径，即可利用比例关系求出轴截面三角形高与底边的关系，得出轴

截面面积表达式,利用均值不等式求出最小值即可.

【详解】如图,

正三棱柱内切球半径即为一A8C内切圆半径，由等面积法可知，

]1G

—xlxrx3=—xlxlxsin600,r=>

226

r.AAy=2/•=曰，

设。。分别为△A^G和外接圆的圆心，则0Q=AA邛,

由正弦定理知，2人。=一^=4。=正，

'sin60°13

答案第2页，共II页

设SOt-h,DO=x,

立

则黑=系，二卫=—解得x=_L+正，

DOSOxJ33h3

h+一

3

圆锥轴截面面积S=-DESO=-x2DOSO=-+—+—，

△SSDDE2239h3

〃>0,

.•-2+2您x画」,当且仅当立=3人即八日时等号成立，

3V9//339/233

4

即轴截面面积的最小值是

故选：B

4.C

【分析】利用裂项相消法求出。，对任意的〃不等式12北<31恒成立,则

12（7；,）_<3。2一〃恒成立，求出7；最大值即可得解..

1_।_1（1_____!_）

羊解]4/+4”-3一（2〃+3）（2〃-1）—小〃-1-2〃+3）

IIIII

则7>7।—+------+-------+>-H------------------------+-----

537592/z-l2〃+3432花+12/Z+3

因为++白>°

所以11+；-11

-------+--------<-，+5

4■J2/i+12〃+343

因为对任意的〃cN”，不等式127；<3”一“恒成立，

14

所以12x§43/—。，解得或as—l,

所以实数〃的取值范围是（Y，-|]D

故选：C.

5.A

【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.

【详解】由图象知，奴?+加+c=o的两根为2,4,且过点（3,1）,

答案第3页，共II页

-2—=1

9a+3b+c

所以2x4=-,解得a=-2力=]2,c=_16,

2+4=--

a

21

所以f（x）

22

-2x+12.r-16-x+6A-8

1

所以〃5)=

-25+30-83

故选：A

6.D

【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解

【详解】由题意可得A8=（l,l），

把点A绕点4沿顺时针方向旋转）得到点P,即把点8绕点力沿逆时针方向旋转J得到点

O0

n.n.nn

则AP=(KCOS-ysin8,xsin0+ycos。)=cos--sin-,sin—+cos—

。6666

职+科

设P（“力），贝IJ月产=（〃_|/_2）=（_；+乎,；+4

解得a=：+§,0=

22江2池2,

所以p（；+*.|+用

故选：D

7.B

2023

【分析】利用函数计算可得《+见+/=0,再利用数列的周期性可求

f=l

【详解】/（X）的定义域为R，且x）=*口=-W=-/（x）,

3+13+1

故/（戈）为R上的奇出数.

2

而/（力=1-手不，

2

因/=3、+1在R上为增函数，丫=1-：在（1,”）为增函数，

答案第4页，共II页

故/(“为R上的增函数.

又/(%)+/(42+4)=。即为/(4)=/(一42一4)，故6+%+。；=。，

因为“2=4(〃eN)，故｛““)为周期数列且周期为3.

因为2023=2022+1=3x674+1,

2023

所以Z4=674(q+a2+aJ+a202i=0+%=1.

/=!

故选:B.

8.D

【分析】由已知可分析出函数g(x)是偶函数,则其零点必然关于原点对称，故g(x)在［F6］上

所有的零点的和为0,则函数巨⑺在［-6,母)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6.y)上所

有的零点之和，求出(6,丘)上所有零点，可得答案.

［详解】函数/(")是定义在R上的奇函数，

又•••函数g(x)=4(x)-l,

・•・g(—x)=(一力/(一力一1=(一力［一/("］-1=叶(#)-1=履力

・•・函数g(x)是偶函数,

・•・函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的.

二函数g(A-)在［-6,6］上所有的零点的和为。,

二函数g(”在［-6,y)上所有的零点的和,即函数g(.r)在(6,y)上所有的零点之和.

即方程f(x)=3在(6,”)上的所有实数解之和.

由0<x42时,/(x)=2lT—l,故有/(》)=•2*'-l/<x£2

—2),x>2

二函数/(x)在(0,2］上的值域为［0,1］,当且仅当x=2时J(x)=l.

答案第5页，共II页

O123456789101112A：

・・・函数/（A）在（2,4］上的值域为，）,；］；

函数/"）在（4,6］上的值域为［。,；］：

函数在（68］上的值域为03,当且仅当x=8时,/"）=］

oJ8

即方程/。）=,在（6,8］上的乂一个实数解X=8.即g（x）=9（£l有一个零点x=8：

函数/（X）在（8,叫上的值域为［0,1|,当且仅当工=10时,/（耳=上＜上，

.IoJ161（）

故/（上）〈;在（8,10］上恒成立,g（x）=#（x）-l在（8,10］上无零点，

同理g（力=4⑴-1在（10,12］上无零点，

依此类推，函数g（x）在（8,田）无零点.

综上函数g（x）=4（x）-1在［6”）上的所有零点之和为8,

故选：D.

【点睛】分段函数的零点方法点睛：

可以分段考查函数的零点情况，利用直观想象，借助数形结合，通过图象的变化规律来分析

与处理，合理归纳.

9.BC

【分析】运用百分位数、二项分布期望及期望运算性质、回归直线必过样本中心、独立性检

验的意义依次分析每个选项即可.

【详解】对于A项，7x60%=4.2,所以第百分之60分位数为6,故A项错误；

对于B项，因为X8（〃,；），所以E（X）=〃〃=］,

答案第6页，共II页

所以E(3X+1)=3E(X)+1=〃+1=6,解得：〃=5,故B项正确：

对于C项，回归直线必过样本中心可得：20=2%+1.8,解得：b=9.1，故C项正确；

对于D项，由独立性检验可知，/值越大，判断匕与y有关系”的把握性越大，故D项错

误.

故选：BC.

10.BC

【分析】对于AB选项，由直观图得出平面图形，即可判定；对于CD根据几何体的体积公

式和对角线计算即可.

【详解】如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，4c=4=80,故该平面图形为正

方形.即A错误；面积S=gx4x4=8,即B正确；

将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2,

故体积y=2x1x7rx22x2="7T,即C正确：

33

以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为,8+8+3?=5,即D错

误.

故选:BC

【分析】延长加工，EN交于点G,MN平分月，且冷V・MN=0,则N为[G的中点，

可得|ON|=a=2,渐近线方程为2x±)，=0,得〃=4,可得双曲线方程，逐个验证选项即可.

【详解】不妨设例为双曲线E:]-艰=1(。>0,〃>0)的右支上一点，延长加小，GN交于

点G,如图，

答案第7页，共II页

因为6N・MV=0,所以耳N_LMN,即1N人MN,因为MN不分/甲“鸟，所以△[MG为

等腰三角形，

则N为£G中点，乂。为”用中点，所以|0N|=9；G|,

根据双曲线的定义得，|例用一|MK|=|MG|一|M司=|G周=2a,所以，|ON|=a=2,因为双

222

曲线E的渐近线方程为2x±y=0,所以2=2,得〃=4,c=b+a=2O,c=20

a

所以双曲线E的标准方程为工-t=1,离心率为右=£=6，所以A正确，B不正确；

416a

2222

设“（A，X）,代入工-二=1,即冬一"=],所以，点M到两条渐近线的距离之积为

416416

|2$+）川2百一凶|14年一用=3,所以C正确；

555

设〃仇，必），Q（x，y），因为p,M在双曲线E上，所以£-江=1①，区-£=1②,

416416

①一②并整理得，铝"?干="因为及“二1二瓷，心。=号=铝1，

X,+X2.£-A2AI-X2AXl+X?

所以，々狈x&，“=4,所以D正确.

故选：ACD.

12.ABD

【分析】求出导函数/（"=[*,由广（x）确定函数的单调区间和极值，再由函数的变

化趋势，画出函数的大致图像，数形结合，即可求解.

【详解】由/（》）='d，得广（司=二^,

ee

令/轲>0,解得：-2<A<2,

令/'（x）<0,解得：x<-2^x>2,

答案第8页，共II页

故/（“在区间（—,-2）和区间（2,+8）上单调递减，在区间（-2.2）上单调递增,

而/（/六一注:/（2）=4»且当4>2时,/（x）>0,

e

当XT-CO时，/（x）^-KO,当XT+<O时，/（X）->O,

画出函数y=/（x）的图像，如图所示：

故/（"的极小值是函数的最不值，故A选项正确：

函数/（X）存在2个不同的零点，故B选项正确：

当-2e2<A«0时，〃刈=女只有两个根，故C选项错误：

若xe[0/时，/（x）max=4>则92,所以/的最小值为2,故D选项正确.

e

故选：ABD.

13.-

6