2025-2026学年浙江省杭州市五区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省杭州市五区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z=2+3i,i为虚数单位，则=（）A.13 B.5 C.-5 D.-5i2.抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A.（0，） B.（，0） C.（0，） D.（，0）3.已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（）A. B.

C. D.4.2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点.2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为48cm的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为64cm,当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率e=（）

A. B. C. D.5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，则“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是（）A.[0，π] B. C. D.7.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，则6100的位数是（）A.76 B.77 C.78 D.798.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且，若，则数列{bn}的前120项和为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）.则根据直方图可得（）A.a=0.005

B.估计这100名学生成绩的平均分为73

C.估计这组数据的第80百分位数为85

D.若采用样本量比例分配的分层随机抽样从[70，80），[80，90）两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间[80，90）的概率为

10.设函数f（x）=2cosx（|sinx|+cosx），则（）A.f（x）的最小正周期是π B.f（x）是偶函数

C.f（x）的最大值是 D.f（x）在区间上单调递减11.设抛物线y2=2px（p＞0）过点P（1，2），点在抛物线上，且b1=1，直线AnAn+1的斜率构成首项为1，公比为的等比数列，直线OAn的斜率为kn，则（）A.抛物线方程为y2=4x B.数列{an}是等比数列

C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数y=f（x），x∈R，部分数据如下表：x012f（x）22.42.88则函数y=f（x）的一个解析式为

.13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1.线段AP长度的最小值为

.14.已知双曲线，过点P（4-2t,t）有且仅有2条直线与双曲线C有1个公共点，则实数t的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的角A，B，C的对边是.

（1）求A；

（2）求.16.(本小题15分)

已知直线l：kx-y+2-k=0与圆C：x2+y2=16交于A，B两点.

（1）求弦长|AB|的取值范围；

（2）求△CAB面积的最大值，并求此时k的值；

（3）若圆C在点A，B处的两条切线交于点P，求点P的轨迹方程.17.(本小题15分)

已知四棱锥B-ACC1A1，AA1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC，BA⊥AC，AB=AC=CC1=2AA1.

（1）证明：平面A1BC1⊥平面BCC1；

（2）设C关于平面A1BC1的对称点为P，求直线AP与平面A1BC1所成角的正弦值.18.(本小题17分)

已知平行四边形ABCD内接于椭圆，且平行四边形ABCD的面积为.直线AB，AD的方程分别为y=k1x+t1，y=k2x+t2.

（1）若k1=1，求直线AB的方程；

（2）证明：k1k2为定值；

（3）求的最小值.19.(本小题17分)

在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.现对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列1，5，4，两次“和生长”得到数列1，6，5，9，4；进行一次“积生长”得到数列1，4，4，两次“积生长”得到数列1，4，4，16，4.进行n次“和生长”后得到的数列为1，x1，x2，⋯，xk，4，进行n次“积生长”后得到的数列为1，y1，y2，⋯，yk，4.记an=1+x1+x2+⋯+xk+4，bn=log4（1•y1y2⋯yk•4）.

（1）当n=4时，求k的值；

（2）证明：数列为等比数列；

（3）求数列{n（an+bn）}的前n项和.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】f（x）=2×1.2x（答案不唯一）

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）在△ADB中，根据正弦定理得，

在△ADC中，根据正弦定理得，

由∠CAD=2∠BAD，，

得且，

得，可得，即得，

所以；

（2）根据余弦定理得，

所以，

故．

16.【答案】解：（1）依题意，直线l：kx-y+2-k=0可化为k（x-1）-（y-2）=0，

令x-1=0，则x=1，此时y-2=0，y=2，

所以直线l过定点Q（1，2）．

圆C：x2+y2=16的圆心C（0，0），半径r=4．

因为，所以点Q在圆C内，

圆心C到直线l距离d的取值范围为，

而，

所以弦长|AB|的取值范围为；

（2）在△ACB中，由余弦定理得，

而，则，，

因此△CAB的面积，当且仅当CQ⊥l时取等号，

因为直线CQ的斜率为2，所以直线l的斜率为，即，

所以△CAB面积的最大值，此时．

（3）设点P（x0，y0）．

因为圆C在点A，B处的两条切线交于点P，

所以点A，C，B，P共圆．

以线段CP直径的圆方程为：

，即x2+y2-x0x-y0y=0，

把以线段CP直径的圆方程与圆C的方程相减得直线AB的方程x0x+y0y=16，

又直线AB过定点Q（1，2），于是x0+2y0-16=0，

所以点P的轨迹方程为x+2y-16=0．

17.【答案】解：（1）证明：取BC1，BC中点M，N，联结A1M，AN，如图所示：

AA1∥CC1且，MN∥CC1且，

则AA1∥MN且AA1=MN，故四边形A1MNA为平行四边形，所以A1M∥AN，

又AB=AC，故AN⊥BC，

AN⊥CC1，BC∩CC1=C，BC，CC1⊂面BCC1，

则AN⊥面BCC1，故A1M⊥面BCC1，

又A1M⊂面A1BC1，故可以证得面A1BC1⊥面BCC1；

（2）过C作CQ⊥BC1，如图所示，

因为CQ∩BC1=Q，所以CQ⊥面A1BC1，

设AB=AC=CC1=2AA1=2，

建立空间直角坐标系，如图所示，

B（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，1），

CC1⊥面ABC，BC⊂面ABC，故CC1⊥BC，

在Rt△BCC1中，由射影定理可得，所以，

设Q（x1，y1，z1），则2（x1，y1-2，z1-2）=（2-x1，-y1，-z1），

解得，，

可得，则，

，

设平面A1BC1的法向量为，

则，

令z=2，则，

设直线AP与平面A1BC1所成的角为θ，

则．

18.【答案】解：（1）由椭圆的对称性可得AC∩BD=O，故△ABO的面积．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立y=x+t1与得，

则有，，

点O到直线AB的距离，

则弦长，

故，

整理得，解得t1=±1或，

故直线AB的方程为y=x±1或；

（2）证明：由B，D关于原点对称可设A（x1，y1），B（x2，y2），D（-x2，-y2），

由直线AB的斜率存在，易知x1≠x2，

由点A，B都在椭圆上，故有，

两式相减，得，得，

因此，；

（3）联立y=kx+t与得，

故，

令，得，

两边平方后，整理得9t2（2A-t2）=8A2，再令，

方程可化为9x2-18x+8=0，解得或，

即或，即或，

得或，