人教版初一数学不等式与不等式组初步一

探索生活中的不等关系——不等式与不等式组初步（一）引言：从“不相等”开始在我们的日常生活中，“相等”是一种特殊情况，而“不相等”则更为普遍。比如，你的身高和同桌的身高可能不一样；你这次数学考试的分数和上次相比，可能提高了，也可能降低了；去商店买东西，带的钱希望能比商品的价格多一些。这些场景中都蕴含着“数量大小关系”的比较，当这种比较不再是“等于”时，我们就需要用一种新的数学工具来描述——这就是我们今天要学习的“不等式”。一、认识不等式1.1不等号的引入回顾一下，我们之前学习了用“=”（等号）来表示两个数量相等的关系。那么，当两个数量不相等时，我们用什么符号来表示呢？*如果数量A比数量B大，我们记作：A>B（读作：A大于B）*如果数量A比数量B小，我们记作：A<B（读作：A小于B）*如果数量A不比数量B小，也就是说A大于或者等于B，我们记作：A≥B（读作：A大于或等于B）*如果数量A不比数量B大，也就是说A小于或者等于B，我们记作：A≤B（读作：A小于或等于B）*还有一种情况，表示A和B不相等，我们记作：A≠B（读作：A不等于B）这些符号：>、<、≥、≤、≠，统称为不等号。1.2不等式的概念像上面这样，用不等号连接起来表示数量大小关系的式子，就叫做不等式。例如：*3>2（3大于2，这是一个表示两个常数大小关系的不等式）*5<7（5小于7）*x+2>5（x加上2大于5，这里x是未知数）*10-y≤3（10减去y小于或等于3）*a≠0（a不等于0）这些都是不等式。可以看出，不等式中可以含有未知数，也可以不含有未知数。二、不等式的基本性质要学好不等式，我们必须掌握它的基本性质。不等式的基本性质与等式的性质有相似之处，但也有重要的区别，尤其是在涉及到乘除运算时。性质1（对称性）：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。（简单说，就是不等号方向反过来，不等关系也反过来。）例如：因为5>3，所以3<5。性质2（传递性）：如果a>b，且b>c，那么a>c；如果a<b，且b<c，那么a<c。（和等式的传递性类似，如果甲比乙大，乙比丙大，那么甲比丙大。）例如：因为7>5，且5>2，所以7>2。性质3（加减法性质）：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。即：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；如果a<b，那么a+c<b+c，a-c<b-c。思考一下：为什么这里说“同一个数或同一个整式”？因为整式的值是确定的（对于具体整式而言），加减它相当于整体移动，不会改变原来的不等关系。例如：由4>1，两边都加上3，得到4+3>1+3，即7>4，不等号方向不变。由2<5，两边都减去4，得到2-4<5-4，即-2<1，不等号方向不变。性质4（乘除法性质——正数）：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即：如果a>b，且c>0，那么ac>bc，a/c>b/c；如果a<b，且c>0，那么ac<bc，a/c<b/c。例如：由6>4，两边都乘以2（正数），得到6×2>4×2，即12>8，不等号方向不变。由8<12，两边都除以4（正数），得到8÷4<12÷4，即2<3，不等号方向不变。性质5（乘除法性质——负数）：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变！即：如果a>b，且c<0，那么ac<bc，a/c<b/c；（注意，这里不等号方向从>变成了<）如果a<b，且c<0，那么ac>bc，a/c>b/c。（这里不等号方向从<变成了>）这是不等式非常重要且容易出错的一个性质！一定要牢记：乘除负数，不等号方向改变！例如：由6>4，两边都乘以-2（负数），得到6×(-2)<4×(-2)，即-12<-8，不等号方向改变了。由8<12，两边都除以-4（负数），得到8÷(-4)>12÷(-4)，即-2>-3，不等号方向改变了。三、不等式的解与解集3.1不等式的解我们来看一个含有未知数的不等式：x+3>5。当x取什么值时，这个不等式成立呢？当x=3时，左边=3+3=6，6>5，不等式成立。当x=2时，左边=2+3=5，5>5？不成立，5等于5。当x=4时，左边=4+3=7，7>5，成立。当x=1时，左边=4，4>5？不成立。像这样，能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。比如，x=3，x=4，x=5.5等等，都是不等式x+3>5的解。3.2不等式的解集我们发现，对于x+3>5这个不等式，它的解不止一个，而是有无数个。所有大于2的数，代入x后，不等式都成立。我们把一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。因此，不等式x+3>5的解集就是x>2（读作：x大于2）。求不等式解集的过程，叫做解不等式。3.3用数轴表示解集不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，这有助于我们理解和解决问题。数轴表示解集的方法：1.画数轴：标出原点、正方向和单位长度。2.确定边界点：解集包含边界点，则用实心圆点表示；不包含边界点，则用空心圆圈表示。3.确定方向：“大于”向右画，“小于”向左画。例如：*解集x>2：在数轴上找到表示2的点，因为不包含2，所以画空心圆圈，然后向右画线。*解集x≤-1：在数轴上找到表示-1的点，因为包含-1，所以画实心圆点，然后向左画线。（此处若为实际教学，应配合数轴图示，文字描述时需清晰准确）四、解简单的一元一次不等式类似于一元一次方程，我们把只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。例如：x-1<0，2y+3≥5，(z-1)/2>3等。解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，主要依据是不等式的基本性质，特别是要注意性质5的应用。基本步骤可概括为：1.去分母（如果需要）：根据不等式性质2或3，在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数。注意，如果分母是负数，或者乘以的是负数，不等号方向要改变。2.去括号（如果需要）：利用去括号法则和分配律。3.移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。移项要变号（与方程移项相同）。4.合并同类项：化为ax>b或ax<b或ax≥b或ax≤b的形式（a≠0）。5.系数化为1：根据不等式性质2或3，在不等式两边都除以未知数的系数a。关键：若a是正数，不等号方向不变；若a是负数，不等号方向必须改变！例题：解不等式2x-1<5，并把解集在数轴上表示出来。解：2x-1<5移项，得2x<5+1（根据性质3，两边同时加1，不等号方向不变）合并同类项，得2x<6系数化为1，得x<6÷2（因为2是正数，两边同时除以2，不等号方向不变）即x<3所以，原不等式的解集是x<3。在数轴上表示时，在3的位置画空心圆圈，向左画线。总结与思考本节课我们初步认识了不等式，学习了不等号、不等式的概念，重点掌握了不等式的五个基本性质（尤其注意乘除负数时方向改变），理解了不等式的解与解集的含义，并学习了如何在数轴上表示解集，最后初步尝试了解简单的一元一次不等式。不等式是描述现实世界中不等关系的重要数学工具，它在解决实际问题中有着广泛的应用。希望同学们能多结合生活实例来理解不等式的意义，在练习中熟练掌握不等式的基本性质和求解方法，为后续学习不等式组打下坚实的基础。思考与练习：1.用不等式表示下列数