甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高二下学期学业质量检测(二)数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高二下学期学业质量检测(二)试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知函数（其中是的导函数），则（）A. B. C. D.【答案】B2.若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】C3.函数的单调递减区间是（）A., B., C., D.,【答案】A4.平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】B5.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（）A. B. C. D.【答案】A6.在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A. B. C. D.【答案】C8.定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A.在区间上，单调递增B.在区间上，单调递增C.在区间上，单调递增D.在区间上，单调递增【答案】BC10.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中正确的是（）A. B.平面平面C.直线平面 D.【答案】AD11.函数满足，则正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，向量若，则____.【答案】13.若函数在上单调递增，则实数的最大值为___________________．【答案】214.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值.【答案】解：（1）函数的定义域为R，求导得，当或时，；当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减，而，则，所以在区间上的最大值为.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，E为PD的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】解：（1）如图，连接，交于点，连接.因为底面是矩形，所以是的中点，又E为PD的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面ABCD，平面，所以，又底面为矩形，所以，AB，AP两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令得.易知知是平面的一个法向量，所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17.已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若对，都有恒成立，求的取值范围.【答案】解：（1）当时，fx=2x-lnx，，故由，得切线方程为，即.（2）原条件等价于对恒成立，令gx=12+g'x=12-lnxx2所以在上单调递增，在上单调递减；计算得，，又，所以，故的取值范围为.18.图1是直角梯形，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.（1）求证：；（2）若平面平面，在棱上找一点，使得点到平面的距离为，并求的值；（3）在（2）的前提下，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】解：（1）取的中点，连接，四边形是边长为2的菱形，则，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）在菱形中，，则，所以，所以，因为，所以即为二面角的平面角，因为平面平面，所以，即，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设，设平面的法向量为，则有，可取，因为点到平面的距离为，所以，解得，所以.（3）由（2）得，，则，故，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”.已知函数.（1）当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由；（2）是否存在，使得的“极值差比系数”为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）设函数，数列满足，，，证明：.【答案】解：（1）当时，，，则，令，得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，的极大值为，极小值为.所以.是“极值差比系数”为的“极值可差比函数”.（2）假设存在，使得的“极值差比系数”为.，，.又为“极值可差比函数”，有两个不同的极值点，，故关于的方程在上有两个不同的实数解，，则，解得，则.不妨设，则，所以，则，，，，，则，即.令，，则，在上单调递增，则.在时无解.故不存在，使得的