广东佛山市南海某校2025-2026学年高二下学期阶段一测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东佛山市南海某校2025-2026学年高二下学期阶段一测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，则（）A.1 B.5 C. D.【答案】B【解析】依题意得．故数列的周期为3，所以．2.记为等比数列的前项和．若，则（

）A.7 B. C. D.【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由，可得：a1q解得，所以，因此，所以.3.曲线在处的切线的倾斜角为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为y=f(x)=lnx-1，所以设在处的切线的倾斜角为，由导数的几何意义得，而，可得.4.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】，又因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以切线斜率，解得．故选：D．5.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，得，，所以，当时上式也符合，所以，则，所以.6.已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（）A.在上为增函数B.的最小值为C.的极大值为，极小值为D.的极小值点为0，极大值点为1【答案】D【解析】由图像可知，当时，，所以.所以，所以在上为减函数，A错误；当时，，所以.所以，所以在上为增函数，当时，，所以.所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误；因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确；故选：D.7.设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（）A.264 B.520 C.521 D.263【答案】D【解析】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，可得，由是以1为首项，2为公比的等比数列，可得，则，所以．8.已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，＝（

）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】由得：，两式相减整理得(n≥2,n∈N*令，解得，故是首项为，公比为2的等比数列，所以，，可知，则，即当时，取得最小值.因为当时，；当时，，所以时，取最小值，此时．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是A. B.C.数列是等比数列 D.数列是等比数列【答案】AC【解析】因为为数列的前项和，且，所以，因此，当时，，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；因此，故A正确；又，所以，故B错误；因为，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：AC.10.（多选）已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，曲线在点处的切线方程为B.当时，曲线在点处的切线方程为C.当时，曲线上不存在斜率为0的切线D.当时，曲线在点处的切线斜率为0【答案】BD【解析】对于AB,当时，，有，又，故曲线在点处的切线方程为，故错误，B正确；对于CD，当时，，则，显然，即曲线在点处的切线斜率为0，故C错误，D正确．故选：BD．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递增，在上单调递减B.C.若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是D.当时，若方程有且只有一个根，则或【答案】BCD【解析】对于选项A，由，得，令，得，当，，单调递增；当，，单调递减，故选项A错误；对于选项B，，因为，而函数在区间上单调递减，所以，即，故选项B正确；对于选项C，不等式在上恒成立，即在上恒成立.令，，则，令，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得最大值，最大值为，所以，故选项C正确；对于选项D，方程在上有且只有一个根，等价于在上有且只有一个解.令，，由选项C分析知，在上单调递增，在上单调递减.，，，因为，所以当或时，与的图象在上有且只有一个交点，即当时，若方程有且只有一个根，则或，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________．【答案】【解析】设公比为，由题意得，即，所以，故，又，解得.13.已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_________℃/min.【答案】【解析】，，，即当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.故答案为：.14.函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______.【答案】【解析】设切点坐标为，因为，所以切线的斜率，所以切线方程是，因为切线过点，所以，即，因为过点可以作曲线的两条切线，所以方程有两个不同的根，所以，解得或.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值．解：（1）定义域为，，令，得，列表如下：20↗↘由上表知，在上，单调递增；在上，单调递减；∴的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），，∵，∴，由（1）知，在上递增，在上递减，∴当时，取最大值；∴当时，取最小值.16.已知数列满足，且对任意的，都有.（1）令，证明：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式及数列的前项和Sn.（1）证明：因为，即，又，即，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得，所以，所以.17.记数列的前项和为，已知为常数列.（1）求的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.解：（1）由，可得，又为常数列，所以，即，当时，，所以，当时，，又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故；（2）因为，所以，，，，所以，所以18.已知函数在处有极值为.（1）求；（2）已知数列的前项和，满足=，记求.解：（1）由题意得：化简得：.化简得：.联立方程代入求解得：或.当此时，导数在处不变号，不是极值点，舍去；当此时，导数在处左右符号变号，是极值点.；（2）由（1）得，故，.当时，；当时，=而不满足上式，.时，==.且也满足上式，.19.已知函数，（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；（3）求证：当时，存在极大值，且极大值小于．（1）解：由可得，，则，由题意，可得，解得，即；（2）解：由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，也即在区间上恒成立.因函数在区间上为增函数，故，则的取值范围为；（3）证明：