广东惠州市惠东县2025-2026学年高一年级第二学期期中质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东惠州市惠东县2025-2026学年高一年级第二学期期中质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以．2.已知向量，满足，，，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】3.已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（）A.8 B. C. D.4【答案】C【解析】根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示，原图中，，，所以.4.已知，，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.【答案】B【解析】选项A，取，满足，但不成立，A错；选项B，设，，则，B正确．选项C，取，满足，但，C错；选项D，取，则，，D错；故选：B．5.已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；由题可知：，，解得；设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：若要满足题意，则，也即，，解得，故，则该圆台外接球表面积.故选：B.6.在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】因为，，所以，方法一：设（），则，所以，所以，解得；方法二：因为三点共线，由三点共线的性质定理可知，所以．故选：A7.已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，令，则，，可得.故选：D．8.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）A.63颗 B.126颗 C.378颗 D.504颗【答案】B【解析】作出轴截面图如图，由题意，设，则，解得，则最大放入珍珠的体积，一颗珍珠的体积是，由，所以最多可以放入珍珠126颗.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC【解析】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确．对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确．对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为，球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确．对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为，圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误.故选：ABC.10.设复数z满足，则以下结论正确的是（）．A.z在复平面上对应的轨迹是圆B.的最大值为2C.的最小值为0D.复数z的虚部取值范围是【答案】ABC【解析】设（为虚数单位），则表示点与之间的距离.对于A，z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确；对于B，，当时即可取最大值，故B正确；对于C，，当时即可取最小值，故C正确；对于D，因为，则符合题意，故D错误.故选：ABC.11.在中，已知，，，若，则（）A. B.C.是在上的投影向量 D.【答案】BC【解析】对于，由，则有，即，所以可得，故错误；对于，因，，展开则有，移项整理可得，故正确；对于，由投影向量求法可知在上的投影向量为，因为，，，代入上式可求得在上的投影向量为，故正确；对于，，故错误.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.，12.定义运算．若复数，，则_____________，_____________．【答案】1；【解析】由题意可得，则；所以．13.如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________【答案】【解析】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，其中，则，，所以，因为，所以，则，故，即的取值范围是.14.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________.【答案】【解析】因为圆筒内径长为，所以内圆半径.外径长为，所以外圆半径上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分：上下外圆柱体积+中部正方体体积=.空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，.所以玉琮的体积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量.（2）设两个非零向量，不共线，，，.①若和共线，求实数的值；②求证：三点共线.解：（1）如图：保持不变，将平移，使其起点落在的终点上，然后将向量平移，使其起点落在平移后的的终点上，最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是.（2）①和共线，则有，，因为非零向量，不共线，所以有且，得，即；②，因为，所以和共线，所以三点共线.16.记的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最小值及的面积.解：（1）由和正弦定理，可得，整理得，由余弦定理，，因，则.（2）由化简得，由余弦定理，，当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.的面积为.17.已知函数．（1）求函数的周期、单调增区间、对称中心；（2）当时，求函数的值域；（3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．解：（1）先化简函数：.所以函数的周期.由，，所以单调增区间为，.由横坐标为，，纵坐标为，所以对称中心为，.（2）由，得，，所以.（3），解得，所以当有3个实数根时，依次为，，；当有4个实数根，此时为临界点，由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知.18.已知函数，其中t为常数.（1）当时，恒成立，求实数t的取值范围；（2）设函数在上有两个零点m，n，①求t的取值范围；②证明：解：（1）由题意，令，因为，所以，则，即求在上恒成立，因为为开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，则的最大值为，所以，解得，故实数t的取值范围为.（2）①令，因为，所以，因为函数在上有两个零点，所以在上有两个根，则在上有两个根，令为开口向下，对称轴为的抛物线，则的最大值为，作出与的图象，则与的图象有2个不同交点，由图象可得，则t的取值范围是.②由①得为与的图象的交点，则，即，因为，不妨设，所以，则，则，因为，所以，所以，则，所以，即.19.已知定