电路-邱关源教材课件-第3章

CircuitAnalysis电路第3章电阻电路的一般分析邱关源《电路》第五版·系统掌握电路方程的列写与求解方法Contents本章内容框架01电路的图与独立方程数02支路电流法与网孔电流法03回路电流法04节点电压法CHAPTER01电路的图与独立方程数从图论视角理解电路结构，确定独立KCL与KVL方程的数量CircuitAnalysis线性电路的一般分析方法概述线性电路一般分析方法具有普遍性和系统性两大特征，适用于任何线性电路的求解。其理论基础建立在电路拓扑约束与元件特性约束的结合之上。核心特征对任何线性电路均适用，计算方法有规律可循、可程式化操作，区别于仅适用于特定结构的等效变换法。✓不受电路结构限制✓步骤规范统一✓便于计算机实现普遍性·系统性理论基础电路拓扑约束包括KCL和KVL，与元件类型无关；元件特性约束即VCR，描述具体元件的电气特性。∑i=0KCL电流守恒∑u=0KVL电压守恒u=f(i)VCR元件约束KCL·KVL·VCR分析框架选定电路变量，根据KCL、KVL列写独立方程，结合VCR消去非目标变量，联立求解方程组。①选择变量（电压/电流）②列写独立方程③代入求解变量→方程→求解CircuitTopology电路的图与有向图电路的图是将电路中各支路的具体元件忽略、仅保留拓扑连接关系的抽象表示。有向图进一步赋予每条支路参考方向，为系统列写KCL和KVL方程提供正负号判据，是电路方程矩阵化表达的基础。电路的图将电路图中各支路的具体元件（电阻、电源等）忽略不计，代之以线段表示支路，用圆点表示节点，仅保留电路的拓扑连接关系，属于图论中的数学概念。Graph有向图在电路的图的基础上，为每条支路指定一个方向（即电压或电流的参考方向），赋予支路方向的图称为有向图，是列写带符号方程的前提。Directed分类与意义无向图仅反映连接关系，有向图同时反映连接关系和参考方向；同一个电路可以对应多种不同的有向图表示，取决于参考方向的选取。KCL·KVLGraphTheory·Fundamentals树、树枝与连枝树是连通图的一个特殊子图，它连通所有节点且不包含回路。对于具有n个节点、b条支路的连通图，树枝数恒为n-1，连枝数为b-(n-1)。01树（Tree）的定义n−1图中支路的一个集合，满足两个充要条件——连通图中全部n个节点，且不形成任何回路。一个连通图可以有多种不同的树，但每种树的树枝数始终为n−1。02树枝与连枝b−(n−1)属于树的支路称为树枝，数量为n−1；不属于树的其余支路称为连枝，数量为b−(n−1)。树枝与连枝之和恰好等于总支路数b。03基本回路（单连枝回路）KVL在树上每添加一条连枝，恰好形成一个唯一的回路，称为基本回路。基本回路的数量等于连枝数b−(n−1)，每个基本回路中只有一条连枝是独有的。CHAPTER02支路电流法与网孔电流法从支路电流直接求解到引入网孔电流降维的系统分析方法CircuitAnalysis·Method支路电流法的定义与原理支路电流法以各支路电流为未知变量，通过列写n-1个独立KCL方程和b-(n-1)个独立KVL方程构成b个方程的方程组。01核心变量选择：以b条支路的电流作为b个未知量，概念最为直接——每个支路电流都有明确的物理意义，便于理解电路的工作状态。02方程构成方式：从n个节点中选n-1个列写KCL方程，提供节点电流约束；选b-(n-1)个独立回路列写KVL方程，并利用VCR（u=Ri）将支路电压替换为支路电流表达式。03方法特点与局限：方程列写直观方便，物理意义清晰；但方程总数为b个，当支路数较多时计算量显著增大，更适合支路数较少的简单电路分析。电路实验中的支路与节点连接实景CIRCUITANALYSIS·METHODOLOGY支路电流法的操作步骤支路电流法的标准操作流程分为四步：标定参考方向→列KCL方程→列KVL方程并代入VCR→联立求解。每一步都有明确的规则和判据，体现了系统化分析方法的可程式化特征。01标定参考方向为每条支路选定电流参考方向并标示于电路图中。参考方向的选取是任意的，但决定了后续KCL和KVL方程中各项的正负号。通常在支路旁用箭头标明电流流向假设。02列写KCL方程从n个节点中任选n−1个，按"流入为正、流出为负"（或反之，保持一致）的规则列写电流代数和为零的方程。独立节点方程数等于节点数减一。03列写KVL方程选取b−(n−1)个独立回路（平面电路优先选网孔），设定绕行方向，列写电压代数和为零的方程，并利用u=Ri替换为电流表达式。独立回路数等于支路数减独立节点数。04联立求解将n−1个KCL方程与b−(n−1)个KVL方程组成b元一次方程组，用消元法或矩阵法求解各支路电流。负值表示实际方向与参考方向相反，需根据结果修正方向标注。CircuitAnalysis·示例支路电流法应用示例以含4个节点、6条支路的典型电路为例，支路电流法需要列写3个KCL方程和3个KVL方程共6个方程联立求解。该示例直观展示了方法的可操作性，同时也暴露了方程数多、计算量大的局限性，为引入网孔电流法提供了动机。6电路参数与方程总量4个节点（a,b,c,d）、6条支路、3个网孔；按支路电流法需列写6个独立方程（3个KCL+3个KVL），求解6个支路电流未知量n−1KCL方程列写选a、b、c三个节点（n−1=3），分别列写各节点电流代数和为零的方程；d节点的KCL方程可由前三个线性组合得到，不是独立方程3KVL方程列写与VCR代入选3个网孔作为独立回路，设定顺时针绕行方向，列写KVL方程时将每个电阻电压用u=Ri替换，方程变量统一为支路电流✓求解与验证联立6个方程求解6个支路电流；可通过功率平衡（电源发出功率=电阻消耗功率）验证结果正确性MeshCurrentAnalysis网孔电流的概念与优势网孔电流法仅需列写KVL方程，KCL自动满足，方程数从b降至b-(n-1)，显著降低计算复杂度。概念基础网孔电流的定义沿网孔边界闭合流动的假想电流，通常统一设为顺时针方向。虽无直接物理意义，但所有支路电流均可由其线性组合表示，是电路分析的巧妙数学工具。核心特征假想电流效率提升方程数量优势网孔数等于独立KVL方程数b-(n-1)，远少于支路数b。以4节点6支路电路为例，仅需3个方程而非6个，计算量减半以上，效率显著提升。方程数b-(n-1)内在约束KCL自动满足网孔电流流经每个节点时必然"流入又流出"，天然满足KCL约束。分析时仅需列写KVL方程，无需额外处理节点电流，这是方法简化的根本原因。KCL方程零个MeshCurrentMethod网孔电流法求解示例通过含3个网孔、6条支路的典型电路，完整演示网孔电流法从设定变量到求解的全过程。仅需列写3个KVL方程即可求解全部支路电流，计算量显著低于支路电流法的6个方程。01设定网孔电流为3个网孔分别设定顺时针方向的网孔电流im1、im2、im3，作为求解的3个未知变量；所有支路电流均可由网孔电流的线性组合表示。3未知变量02列写网孔方程按标准形式列出3个KVL方程：①(R₁+R₄+R₅)im1−R₅im2−R₄im3=us1+us4②−R₅im1+(R₂+R₅+R₆)im2−R₆im3=us2③−R₄im1−R₆im2+(R₃+R₄+R₆)im3=us3KVL×3方程03求解与支路电流计算代入具体电阻和电压源数值，解得im1=1.143A、im2=0.429A；支路电流由网孔电流组合得出：I₁=1.143A、I₂=−0.429A、I₃=−0.714A1.143安培(A)CIRCUITANALYSIS含电流源电路的网孔分析当电路中含有独立电流源时，若电流源位于某网孔的独有支路上，该网孔电流即等于电流源电流值，可直接确定为已知量，无需为该网孔列写KVL方程。01问题识别独立电流源的端电压是未知的，不能直接用u=Ri表示，因此含电流源支路不能直接套用网孔方程的标准形式。02独有支路电流源的巧妙处理若电流源仅属于某一个网孔（不被两个网孔共享），则该网孔电流直接等于电流源电流（注意方向正负），该网孔无需再列KVL方程，未知量和方程数同时减少。03示例验证含2A电流源的电路中，im2=2A直接已知；仅需列写网孔1的KVL方程(20+30)im1+30×2=40，解得im1=−0.4A；最终目标电流I=im1+im2=1.6A。MESHANALYSIS含受控源电路的网孔分析遵循"先当独立源列方程、再补列控制量辅助方程"的两步策略，通过辅助方程封闭变量耦合关系。01基本处理策略：列写网孔方程时先将受控源视为独立源处理，按正常步骤列写KVL方程；然后补列辅助方程，将控制量用网孔电流的线性组合表示，代入主方程封闭方程组。KVL+辅助方程02受控电压源的处理：受控电压源（CCVS、VCVS）直接写入KVL方程相应位置；若控制量是某支路电流i，则用网孔电流表示该支路电流（如i=im1−im2），代入后整理合并同类项。CCVS/VCVS03等效变换注意事项：受控源可像独立源一样进行电源等效变换（电压源串电阻→电流源并电阻），但变换过程中绝不能将控制量所在支路消除或合并，否则控制关系断裂，方程失去物理意义。控制量保护CHAPTER03回路电流法从网孔到基本回路的推广，适用于任意拓扑结构的电路分析CircuitAnalysis回路电流法的定义与推广回路电流法将网孔电流的概念从平面电路推广到任意电路的基本回路，通过选树→确定连枝→构建回路的系统化流程，实现对任意拓扑电路的分析。01回路电流的定义假想沿基本回路（单连枝回路）闭合流动的电流，方向由对应连枝的参考方向决定。每个基本回路对应一个回路电流，总数为b-(n-1)个。b-(n-1)个02与网孔电流法的关系网孔电流法是回路电流法在平面电路中的特例——当选定的树使基本回路恰好等于网孔时，两种方法完全等价。回路电流法不受平面性限制。平面特例03系统化操作流程选定树（n-1条树枝）→识别连枝及基本回路→设定回路电流方向→按标准形式列写KVL方程，四步完成系统化建模。四步流程CircuitAnalysis回路电流方程的建立回路电流方程遵循与网孔方程相同的标准形式：自电阻恒正、互电阻取决于回路电流方向关系、右端为电压升代数和。其独特之处在于回路的确定依赖于树的选择，不同树产生不同回路组合但解的唯一性不变，体现了电路分析的拓扑灵活性。自电阻的确定第k个基本回路上所有电阻之和，永远取正值；与网孔法中的自电阻概念完全一致，反映本回路电流在自身回路中产生的总电压降。互电阻的确定回路k与回路j公共支路上所有电阻之和；两个回路电流流过公共电阻时方向一致取正值、方向相反取负值；互电阻的对称性Rkj=Rjk仍然成立。方程右端项第k个回路中所有电压源电压升的代数和；沿回路电流方向从负极到正极经过电压源为电压升取正号，反之为电压降取负号。METHODSTRATEGY方法选择策略与特殊处理技巧平面电路优先选用网孔电流法（网孔唯一确定，无需选树），非平面电路必须使用回路电流法。含电流源时可采用'设电压法'——将电流源端电压作为附加变量并补列辅助方程。方法选择的核心原则是最小化方程数量和计算复杂度。平面电路优先网孔法网孔的识别不依赖人为选树，具有唯一性和直观性；对于可画在平面上无支路交叉的电路，网孔法是最简洁高效的选择。网孔唯一非平面电路使用回路法当电路无法画在平面上而不出现支路交叉时，网孔的概念不适用，必须通过选树→确定连枝→构建基本回路的流程使用回路电流法。选树→回路含电流源的设电压法当电流源被两个回路共享时，设其端电压u为附加未知量，在两个回路的KVL方程中都包含u，同时补列辅助方程使方程数与未知量同步增加。附加方程CircuitAnalysis回路电流法应用示例以5节点8支路电路为例，完整演示回路电流法从选树到求解的全过程。选4条树枝确定4条连枝及4个基本回路，列写4个KVL方程求解4个回路电流，再由回路电流组合得出全部8条支路电流。STEP01选树与确定基本回路从8条支路中选4条为树枝（连通5个节点且无回路），剩余4条为连枝。每条连枝添加到树上形成唯一的基本回路，共4个基本回路对应4个回路电流。b=8·n=5·l=4STEP02列写回路方程按标准形式列写4个KVL方程——自电阻为各回路上所有电阻之和（恒正），互电阻为公共支路电阻（正负取决于回路电流方向关系），右端为各回路电压源电压升的代数和。Rii·Rij·ΣUsSTEP03求解与支路电流计算联立4元一次方程组求解4个回路电流。连枝电流直接等于对应回路电流，树枝电流为流过该树枝的所有回路电流的代数和。il1–il4→8支路电流CHAPTER04节点电压法以节点电压为变量的KCL分析方法，现代电路仿真的算法基础CIRCUITANALYSIS·NODEVOLTAGEMETHOD节点电压的概念与基本原理节点电压是各独立节点相对于参考节点的电位差，共n-1个。节点电压法以节点电压为未知量列写KCL方程，KVL因支路电压可用节点电压差表示而自动满足。方程数仅为n-1个，在节点数少于网孔数的电路中比网孔法更高效。01节点电压的定义——选定一个参考节点（电位设为零，通常标记为接地符号），其余n-1个节点相对于参考节点的电位即为节点电压，记为un1、un2、…、un(n-1)n−1个02KVL自动满足原理——任意支路电压都可以表示为两端节点电压之差（如uab=una−unb），因此只要支路电压用节点电压表示，任何回路的KVL方程都自动成立，无需额外列写自动满足03方程数量优势——只需列写n-1个KCL方程（对应n-1个独立节点），当电路的节点数n远小于支路数b时，方程数量显著少于支路电流法和网孔电流法n−1方程CircuitAnalysis·NodalMethod节点电压方程的标准形式节点电压方程具有高度对称的标准形式：自电导×本节点电压+互电导×相邻节点电压=流入节点的电流源电流代数和。自电导恒正，互电导恒负，与网孔方程的正负号规则形成镜像对称。StandardFormGkk·Vk

+

Gkj·Vj

=

iskGkk自电导与第k个节点直接相连的所有支路电导之和，永远取正值；电导G＝1/R，反映该节点电压对流出本节点总电流的贡献。恒正+Gkj互电导节点k与节点j之间公共支路上的电导之和，永远取负值；相邻节点电压升高会减少从节点k流向j的电流，具有对称性Gkj＝Gjk。恒负−isk右端项流入第k个节点的所有独立电流源电流的代数和；流入该节点取正号，流出取负号；若无电流源直接注入则该端项为零。代数和ΣCircuitAnalysis节点电压法的操作步骤节点电压法的标准流程为：选参考节点→设节点电压变量→列KCL方程并代入VCR→联立求解→回算支路量。五步流程环环相扣、可程式化操作，这一系统化特征使其成为计算机辅助电路分析（如SPICE仿真）的首选算法基础。Step01选参考节点从n个节点中选一个作为参考节点（电位为零），通常选连接支路最多的节点以简化方程；其余n-1个节点为独立节点，需对其列写KCL方程。n-1个独立节点Step02设变量为n-1个独立节点分别设定节点电压变量un1、un2、…、un(n-1)，参考方向均为独立节点指向参考节点。un

节点电压变量Step03列写KCL方程利用VCR将各支路电流用节点电压表示（电阻支路i=G·Δun），按"流出节点的电流代数和为零"列写KCL方程，整理为标准形式。Σi=0KCL约束Step04–05求解与回算联立n-1个节点电压方程求解各节点电压；再由节点电压差计算各支路电压（uab=una-unb），进而用VCR计算各支路电流。uab=una-unb

支路回算CircuitAnalysis·Example节点电压法求解示例以3节点5支路电路为例，节点电压法仅需列写2个KCL方程即可求解全部支路电压和电流，远少于支路电流法的5个方程和网孔法的3个方程。STEP01选参考节点与设变量选节点3为参考节点（接地），设节点1电压为un1、节点2电压为un2，共2个未知量。参考节点的选择直接影响方程列写的复杂度，通常选择连接支路最多的节点作为参考点。2个未知量STEP02列写节点方程节点1：(1/R₁+1/R₂+1/R₃)un1−(1/R₃)un2=is1节点2：−(1/R₃)un1+(1/R₃+1/R₄+1/R₅)un2=is2自电导为正，互电导为负，方程右侧为电流源注入节点的电流代数和。自电导×un+互电导×un=注入电流STEP03求解与回算代入数值解出un1和un2。支路电压由节点电压差得到（如uR3=un1−un2），各支路电流由欧姆定律VCR关系计算得出，完成全电路分析。iR3=(un1−un2)/R₃电路分析·节点电压法含电压源电路的节点分析含独立电压源时节点电压法需特殊处理：电压源一端接参考节点则对端节点电压直接已知无需列方程；电压源悬空时采用"设电流法"——将电压源电流作为附加变量并补列电压约束辅助方程。这与网孔法处理电流源的策略形成完美的对偶关系。01问题识别独立电压源的电流是未知的，不能直接用VCR（i=G·u）表示，因此含电压源支路不能直接套用节点方程的标准形式，需要引入额外处理策略。i≠G·u02接地简化若电压源一端连接参考节点，另一端接独立节点k，则该节点电压unk直接等于电压源电压值（正负取决于极性），该节点无需列方程，未知量和方程数同步减少。unk=us03设电流法电压源两端均不接参考节点时，设其电流i为附加未知量，在两端节点KCL方程中均包含i，同时补列辅助方程us=una−unb，方程数与未知量同步增加。Δn=ΔeqCircuitAnalysis含受控源电路的节点分析含受控源时节点电压法遵循"先当独立源列方程、再补列控制量辅助方程"的策略，与网孔法的处理方式形成对偶。受控源的引入会破坏节点导纳矩阵的对称性（Gkj≠Gjk），体现了受控源的非互易特性对电路方程结构的深层影响。基本处理策略列写节点方程时先将受控源视为独立源处理；然后补列辅助方程，将受控源的控制量用节点电压表示，代入主方程整理后封闭方程组。Strategy受控电流源的处理受控电流源（如VCCS、CCCS）直接写入KCL方程右端的注入电流项；若控制量是某支路电压u=una−unb，代入后将其展开为节点电压的表达式，移项合并到方程左端。VCCS/CCCS非互易性影响受控源的存在使节点导纳矩阵失去对称性——互电导Gkj不再等于Gjk；这是受控源引入的非互易特性，意味着电路不再满足互易定理。Gkj≠GjkNodeVoltageMethod·Advanced综合示例：含多种特殊元件的节点分析综合运用节点电压法的各种特殊处理技巧，对含独立电压源、独立电流源和受控源的复杂电路进行完整分析。通过识别电压源接地简化、受控源辅助方程列写等关键步骤，展示了方法处理多种特殊情况时的系统性和灵活性。01电路特征识别电路包含独立电压源（一端接地）、独立电流源和VCCS受控电流源；接地的独立电压源使一个节点电压直接已知，减少一个未知量。接地简化02方程列写与辅助方程对剩余独立节点列写KCL方程，受控电流源先当独立源处理；控制量为某支路电压u=un1−un2，补列辅助方程并代入主方程整理。KCL·VCCS03求解与功率计算联立方程求解各节点电压；由各节点电压差计算支路电压，用VCR计算支路电流；最后验证功率平衡——各电源发出的功率之和等于各电阻消耗的功率之和。功率平衡ChapterReview本章核心要点与考试重点第三章的核心是牢固掌握网孔电流法和节点电压法的标准方程列写与求解，理解四种方法的内在联系与对偶关系。考试重点集中在独立方程数判定、标准方程列写、含特殊元件的处理技巧以及方法选择策略，是考研电路科目高频出题章节。理论基础n个节点b条支路的电路有n-1个独立KCL方程和b-(n-1)个独立KVL方程；树、树枝、连枝、基本回路等图论概念是确定独立方程数的核心工具。n-1&b-(n-1)核心方法网孔电流法（平面电路首选）和节点电压法（通用性强、可编程）是两大重点方法，必须熟练掌握标准方程的列写规则和求解流程。标准方程高频考点含独立电流源的网孔法处理（独有支路直接已知vs共享支路设电压法）、含独立电压源的节点法处理（接地已知vs悬空设电流法）、含受控源的辅助方程列写。受控源方法选择策略比较(n-1)与b-(n-1)的大小选择方程更少的方法；平面电路优先网孔法；计算机仿真统一采用节点法，兼顾效率与通用性。节点法优先Methodology方法论演进与内在联系四种分析方法遵循清晰的演进逻辑：支路电流法是基础原型，网孔/回路电流法通过引入假想电流变量减少方程数（KCL自动满足），节点电压法通过转换变量类型实现KVL自动满足。三者共同追求方程数量的最小化，体现了'降维'这一核心方法论思想。基于KVL的分析路径01支路电流法→网孔电流法：通过引入网孔电流变量，KCL自动满足，方程数从b个减少到b-(n-1)个02网孔法→回路法：将"网孔"推广为"基本回路"，突破平面电路限制，适用于任意拓扑结构03特殊处理：含电流源时独有支路直接已知、共享支路设电压法，方程数可进一步减少基于KCL的分析路径01支路电流法→节点电压法：通过引入节点电压变量，KVL自动满足，方程数从b个减少到n-1个02节点法的独特优势：方程标准形式高度规整（自电导、互电导），天然适合矩阵化表达和计算机编程求解03特殊处理：含电压源时接地端直接已知、悬空端设电流法，含受控源补列辅助方程CircuitAnalysis输入电阻的计算方法输入电阻是从电路端口看进去的等效电阻，纯电阻网络可用串并联等效变换直接求得；含受控源电路必须使用"外加电源法"计算。输