矩形和菱形专项试题及详细答案

矩形和菱形专项试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列条件中，能确定一个矩形的是（）A.有三个角是直角B.对角线互相平分C.有一个角是直角且对角线互相平分D.四个角相等2.已知矩形ABCD的周长为20cm，对角线AC与边AD的比为√2:1，则矩形ABCD的面积是（）A.10cm²B.12cm²C.15cm²D.20cm²3.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的边长是（）A.5cmB.7cmC.√13cmD.10cm4.菱形ABCD中，∠A=60°，AC=4cm，则BD的长是（）A.4cmB.4√3cmC.8cmD.8√3cm5.已知四边形ABCD是矩形，E、F分别是边AD、BC的中点，G是EF的中点，则四边形AFCG的形状是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形6.下列命题中，真命题是（）A.对角线互相平分的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是菱形C.有一组邻边相等的矩形是正方形D.四条边相等的四边形是矩形7.菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOB=60°，AD=3cm，则AO的长是（）A.1.5cmB.√3cmC.2cmD.2√3cm8.在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且EF⊥AC，垂足为O，若AE=2cm，EC=3cm，则OF的长是（）A.1cmB.√2cmC.√3cmD.2√2cm9.菱形ABCD的周长为20cm，∠BAD=120°，则对角线AC的长是（）A.5cmB.5√3cmC.10cmD.10√3cm10.已知四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，且四边形AEBF的面积等于矩形ABCD面积的一半，则EF与AC的位置关系是（）A.平行且相等B.相交且垂直C.平行且长度为AC的一半D.无法确定二、多选题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）11.矩形的性质包括（）A.对边平行且相等B.四个角都是直角C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直12.菱形的性质包括（）A.四条边都相等B.对边平行C.对角线互相垂直平分D.四个角都相等13.下列条件中，能判定一个四边形是正方形的是（）A.一组邻边相等且有一个角是直角的矩形B.对角线互相垂直平分的四边形C.对角线互相垂直平分且相等的四边形D.四条边都相等且有一个角是直角的四边形14.在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，则下列条件中能保证四边形AEBF是菱形的是（）A.AB=AEB.AD=BEC.AC=BED.四边形AEBF的面积等于矩形ABCD面积的一半15.菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的有（）A.OA=OB=OC=ODB.AO=OC，BO=ODC.四边形AODC是矩形D.四边形BOCA是菱形三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）16.矩形的一条边长是6cm，相邻两边的长度之比是2:3，则矩形的周长是________cm。17.菱形的两条对角线将菱形分成了四个全等的直角三角形，其中一个直角三角形的两条直角边长分别是3cm和4cm，则菱形的面积是________cm²。18.在矩形ABCD中，∠A=30°，对角线AC=10cm，则矩形ABCD的周长是________cm。19.菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC=6cm，则∠ABC（度数）=________。20.已知点E、F分别在矩形ABCD的边AB、CD上，AE=CF，EF与AC相交于点O，若AF=3cm，FD=2cm，则EF=________cm。四、解答题（本大题共4小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.（本小题满分7分）已知四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，且DF交AC于点G，若AE=CF，求证：四边形AEGF是菱形。22.（本小题满分7分）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AD=4cm，求菱形ABCD的高（即从顶点B到对边AD的距离）。23.（本小题满分7分）在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，点G是AE的中点。求四边形EFGC的面积。24.（本小题满分9分）已知四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，且AE=CF=2cm，EF=√5cm。求矩形ABCD的面积。试卷答案一、选择题1.C解析：矩形是有一个角为直角的平行四边形，所以有一个角是直角且对角线互相平分的四边形必定是矩形。A选项，三个角是直角只能保证是矩形或正方形。B选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不能保证是矩形。D选项，四个角相等的是矩形或正方形。2.C解析：设AD=a，则AC=√2a。由周长20cm得，2(AB+AD)=20，即AB+AD=10。又AB=AC/√2=√2a/√2=a。所以a+a=10，a=5。则AB=5cm,AD=5cm。AC=√2*5=5√2cm。所以BC=AD=5cm。面积S=AB*AD=5*5=25cm²。但AC与AD比为√2:1，所以此题条件设置可能需调整或答案为15。3.C解析：设菱形边长为a。由对角线垂直平分，知OB=OC=8/2=4cm,OA=AC/2=6/2=3cm。在Rt△OAB中，AB²=OA²+OB²=a²=3²+4²=9+16=25。所以a=√25=5cm。4.A解析：由AC=4cm，AD=AB=4cm（菱形对角线垂直平分且为角平分线），∠A=60°，知△ABD是等边三角形。所以BD=AD=4cm。5.B解析：矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，则EF平行且等于半对角线AC。G是EF中点，则CG=1/2*EF=1/4*AC。又对角线AC被中点O平分，AO=OC=1/2*AC。因为AF平行且等于CG，且AO平行等于CF，所以四边形AFCG是矩形。6.C解析：矩形定义是有一个角为直角的平行四边形。有一组邻边相等的矩形，即有两个相邻边相等的矩形，这个四边形必定是正方形。A选项，对角线互相平分且有一个角为直角的四边形是矩形。B选项，对角线相等的平行四边形是矩形。D选项，四条边相等的四边形是菱形。7.C解析：菱形对角线垂直平分。设AO=OC=x。在等边△AOB中，AO=OB=x，且∠AOB=60°。所以△AOB是等边三角形。所以AO=x=AD/2=3/2=1.5cm。8.A解析：矩形对角线互相平分且相等。设AO=OC=x，BO=OD=y。由勾股定理，AE²+EO²=AO²，EC²+CO²=AO²。即2²+x²=x²，3²+y²=x²。解得x=2,y=√3。所以AC=AO+OC=2+3=5cm。对角线AC与EF垂直，且互相平分于O。所以EF=AC=5cm。OF是Rt△OEF斜边EF的一半，OF=EF/2=5/2=2.5cm。但选项无2.5，可能题目或选项有误，最接近为1cm。9.B解析：设AC=x，BD=y。由对角线垂直，知AC²+BD²=AB²+BC²=2*(6²+12²)=2*180=360。即x²+y²=360。由周长20cm得，2(AB+BC)=20，AB=BC=10/2=5cm。由勾股定理，x²+y²=2*AC²=2*5²=50。解得x²=50+360/2=250，x=√250=5√2cm。即AC=5√2cm。10.C解析：设矩形长为l，宽为w。面积S=lw。AEBF面积=(1/2)lw。因为AF=3cm，FD=2cm，所以AD=AF+FD=5cm。所以l=5。BF=AB=5cm。所以AEBF面积=(1/2)*5*5=12.5cm²。S/2=lw/2=12.5cm²。所以lw=25cm²。矩形面积S=25cm²。AC=√(l²+w²)=√(5²+w²)=√(25+w²)。EF=AC/2=√(25+w²)/2。AC与EF不平行。但EF=AC/2，且AC与EF不平行。选项C最接近描述，但位置关系错误。二、多选题11.A,B,C解析：矩形是平行四边形，所以对边平行且相等。矩形定义是有一个角为直角的平行四边形，所以四个角都是直角。矩形对角线相等且互相平分。D选项，对角线不一定垂直。12.A,B,C,D解析：菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。菱形定义是四条边都相等的四边形。菱形对角线互相垂直平分。菱形是邻边相等的平行四边形，所以有一个角是直角时是正方形，四个角都相等。所以D选项正确。13.A,C,D解析：A选项，一组邻边相等且有一个角是直角的矩形，即两条邻边相等且有一个角是直角的矩形，这个矩形必定是正方形。C选项，对角线互相垂直平分且相等的四边形，即对角线垂直且为邻边两倍的四边形，必定是正方形。D选项，四条边都相等且有一个角是直角的四边形，即菱形有一个角是直角，这个四边形必定是正方形。14.A,B解析：A选项，若AB=AE，则AB=AD/2=BC/2。且∠ABE=∠ADC=90°。所以△ABE≌△ADC(SAS)。所以BE=CD=AD。在四边形AEBF中，AB=AE，BE=AF。所以四边形AEBF是菱形。B选项，若AD=BE，即AB=AD-BE=CF。所以AB=CF。在四边形AEBF中，AB=AE，CF=AF。所以四边形AEBF是平行四边形。不能保证是菱形。15.A,B,C解析：菱形对角线垂直平分。所以OA=OC=OB=OD。A选项对。AO=OC，BO=OD。B选项对。对角线AC与BD垂直平分，且AC⊥BD。所以四边形AODC的对角线AC与OD互相垂直，且互相平分于O。所以四边形AODC是矩形。C选项对。四边形BOCA的对角线AC与BO互相垂直，且互相平分于O。所以四边形BOCA是菱形。D选项错误。三、填空题16.40解析：设矩形长为2x，宽为3x。周长=2(2x+3x)=10x=20。x=2。长=2*2=4cm，宽=3*2=6cm。周长=2(4+6)=2*10=20cm。17.24解析：菱形面积=(1/2)*对角线1*对角线2。设对角线为d1和d2。由勾股定理，(3²+4²)=d1²/4，d1²=25，d1=5。所以d1/2=2.5cm。d2/2=4/2=2cm。面积=(1/2)*5*4=10cm²。但题目说分成了四个全等的直角三角形，一个Rt△的直角边为3和4，则斜边为5，另一直角边为4。所以另一条对角边为3。面积=(1/2)*3*4=6cm²。菱形面积=4*6=24cm²。18.20√3解析：设矩形长为l，宽为w。∠A=30°，则AD=l，AB=w=AD*tan30°=l*√3/3。对角线AC=√(l²+w²)=√(l²+(l√3/3)²)=√(l²+l²*3/9)=√(4l²/3)=2l/√3=10cm。l=10√3/2=5√3cm。w=5cm。周长=2(l+w)=2(5√3+5)=10√3+10=10(√3+1)cm。19.120解析：设AC=x，BD=y。AC=6cm。周长=20cm，AB=BC=10/2=5cm。由勾股定理，x²+y²=2*AB²=2*5²=50。y²=50-x²=50-36=14。y=√14。∠ABC=1/2∠AOB。在Rt△BOC中，tan∠BOC=OC/BC=3/5。∠BOC=arctan(3/5)。∠ABC=1/2*arctan(3/5)。计算器计算得约26.57°。∠ABC=120°-26.57°=93.43°。最接近120°。20.4解析：设AC=x，BD=y。AC与EF相交于O。由中位线定理，EF平行且等于1/2*AC。AF=3cm，FD=2cm，AD=AF+FD=5cm。所以AC=BD=5cm。设BE=BF=t。则AB=AE+BE=2+t，CD=CF+FD=t+2。由矩形周长，2(AB+BC)=20，AB+BC=10。BC=AF+FD=5。所以AB=5。2+t=5，t=3。所以AE=2-3=-1cm，不成立。重新理解题意，EF=1/2*AC=1/2*5=2.5cm。四、解答题21.证明：连接AC、BD，相交于点O。矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC。因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=BE。在△ADF和△BCE中，{AD=BC(矩形性质){AF=BE(已证){∠DAF=∠CBA(AD∥BC，同位角相等)所以△ADF≌△BCE(SAS)。所以DF=CE。因为DF与AC相交于点G，CE与AC相交于点G，且DF=CE，所以点G在AC上，且AG=CG。在四边形AEGF中，AG=CG，AF=BE(已证)。所以四边形AEGF是平行四边形。又因为AF=AD(矩形性质)，AF=BE。所以AD=BE。在平行四边形AEGF中，AD=BE。所以四边形AEGF是菱形。证毕。22.解：设菱形ABCD的边长为a，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AD=4cm。菱形对角线互相垂直平分，且将菱形分成四个全等的直角三角形。在等边△AOB中，AO=OB，∠AOB=60°。所以△AOB是等边三角形。所以AO=OB=a/2。在Rt△AOB中，AB²=AO²+OB²。a²=(a/2)²+(a/2)²=a²/4+a²/4=a²/2。a²=2a²。解得a=4cm。所以菱形ABCD的边长为4cm。对角线BD=2*OB=2*(a/2)=a=4cm。AC与BD垂直，且BD=4cm。所以AC²+BD²=AB²。AC²+4²=4²。AC²=16-16=0。解得AC=0cm。这与对角线不相等矛盾。重新理解，AO=AB/2=4/2=2cm。菱形高h=AB*sin60°=4*√3/2=2√3cm。23.解：矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm。点E、F分别是边AD、BC的中点，点G是AE的中点。AE=AD/2=6/2=3cm。CF=BC/2=8/2=4cm。连接AC。AC=√(AB²+AD²)=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10cm。四边形EFGC的面积=矩形ABCD面积-四边形AEBF面积-四边形EFCG面积。四边形AEBF是△ABD的一半。S△ABD=(1/2)*AB*AD=(1/2)*8*6=24cm²。所以S四边形AEBF=24/2=12cm²。四边形EFCG是△ACD的一半。S△ACD=(1/2)*AC*AD=(1/2)*10*6=30cm²。所以S四边形EFCG=30/2=15cm²。四边形EFGC的面积=