江苏省宿迁市泗阳实验高级中学2025-2026学年高二（下）第一次学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省宿迁市泗阳实验高级中学高二（下）第一次学情调研数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.=（）A.8 B.13 C.63 D.662.设平面α的法向量为=（x，1，-2），平面β的法向量为=（1，x，x-3），若α∥β，则x的值为（）A.-5 B.-3 C.1 D.73.如图所示，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（）A.

B.

C.

D.4.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A.16种 B.18种 C.24种 D.36种5.在空间直角坐标系O-xyz中，=（1，-1，0），=（-2，0，1），平面α的一个法向量为=（-1，0，1），则平面α与平面ABC夹角的正弦值为（）A. B. C. D.6.（n-1998）（n-1999）…（n-2025）（n-2026）（n∈N，n＞2026）可表示为（）A. B. C. D.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则点A1到平面ABD的距离为（）A. B. C. D.8.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CD=BC=1，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A.（0，]

B.（0，]

C.（0，1]

D.（0，]二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1），下列结论中正确的是（）A.AP⊥AB B.存在实数λ，使=λ

C.是平面ABCD的法向量 D.四边形ABCD的面积为810.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）A.B1G⊥BC

B.平面AEF∩平面AA1D1D=AD1

C.A1H∥面AEF

D.二面角E-AF-C的大小为

11.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P，Q，M，N分别是AB1，CC1，A1C1，BC的中点，则下列说法中正确的有（）A.PQ//平面ABC

B.MN⊥BC

C.PQ⊥平面ABB1A1

D.PQ与MN相交

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若，且，则实数λ=

.13.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到A、B、C、D四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A服务的排法有

种.14.在矩形ABCD中，已知，AD=1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到空间四边形ABCD，若，则二面角D-AC-B的大小的余弦值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的九个点，且=k，=k，=k，=+m，=+m．求证：

（1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；

（2）AC∥EG；

（3）=k．16.(本小题15分)

有5名男生，4名女生排成一排，

（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？

（2）若男生甲不站排头，女生乙不站排尾，则有多少种不同的排法？

（3）要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？

（4）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？17.(本小题15分)

如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG=2GE．

（1）试用，，表示向量；

（2）若OA=2，OB=3，OC=4，∠AOC=∠BOC=60°，∠AOB=90°，

求•的值．18.(本小题17分)

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A-BE-C的正弦值.19.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AP=2，BC=2AD=，∠ABC=45°，E为线段PB上一个动点.

（1）若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离；

（2）求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值.

​

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】6

14.【答案】

15.【答案】证明：（1）∵=+m，∴A，B，C，D四点共面；

∵=+m，∴E，F，G，H四点共面．

故得证．

（2）∵=+m=-+m（-）

=k（-）+km（-）=k+km

=k（+m）=k，

∴AC∥EG．

（3）由（2）知，=k，

∴=-=k-k=k．

故得证．

16.【答案】解：（1）从中选出3人排成一排，有=504种排法；

（2）男生甲不站排头，女生乙不站排尾，有-2+=57；

（3）根据题意，将4名女生看成一个整体，考虑其顺序有A44种排法，将4名女生的整体与5名男生全排列，有A66种排法，则不同的排法有A44×A66=17280种；

（4）排男生，有A55种排法，排好后连同两端共有6个空位，将4名女生插入到空位中，有A64种情况，则不同的排法共有A55×A64=43200种．

17.【答案】解：（1）因为，

所以，

即，

又，

即；

（2）已知OA=2，OB=3，OC=4，∠AOC=∠BOC=60°，∠AOB=90°，

由（1）可得知：====．

18.【答案】解：（1）因为OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，

由题意，以O为原点，以OB，OC，OA所在的直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），

E（0，1，0），

故=（2，-1，0），=（0，2，-1），

•=2×0+（-1）×2+0×（-1）=-2，||==，

||==，

所以cos＜＞=，

由于异面直线BE与AC所成的角在（0，]内，

所以其余弦值是；

（2）由（1）知=（0，1，-1），

设平面ABE的法向量为=（x,y,z），

则，即，取x=1，

则=（1，2，2），

平面BEC的一个法向量为=（0，0，1），

•=2，||==3，||=1，

所以cos＜，＞===，

则二面角A-BE-C的正弦值为=．

19.【答案】解：（1）过点A作AM⊥AD，与BC交于M，

因为PA⊥平面ABCD，AM⊂面ABCD，AD⊂面ABCD，

所以PA⊥AM，PA⊥AD，

以A为原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标：

A（0，0，0），B（，-，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，2），E（，-，1），

=（0，，-2），=（，，-2），=（-，，-1），

设平面PDC的法向量为=（x,y,z），

所以，

令y=，则x=0，z=1，

所以=（0，，1），

cos＜，＞====，

所以ED与平面PDC所成角的正弦值为，

所以点E到平面PDC所成角的正弦值为|ED|•=•=•=．

（2）设=λ，则0＜λ＜1，

所以（xE，yE，zE-2）=λ（，-，-2），

所以xE=λ，yE=-λ，zE=-2λ+2，