陕西省西安高新第三中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

陕西省西安市高新第三中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题一、单选题1．如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（

）A． B． C． D．2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（

）A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情况是()A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根4．如图，，若，，，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．95．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．7．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（

）A． B． C． D．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（）A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm9．如图，在矩形中，，点在边上，于点，且平分，若，则的长为（

）A． B． C． D．510．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．已知，那么________．12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____．13．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____．14．如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________．15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为______．16．如图，在中，．以为直角边作，且，连接，则的最大值是________．

三、解答题17．计算：18．解方程：19．如图，已知在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）20．如图，把矩形沿对折，点A与点C恰好重合，已知，．(1)求证：四边形为菱形；(2)求折痕的长．21．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转A，B两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘）(1)转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是_____；(2)请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．22．现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．(1)填空：，；(2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）23．12月10日，中央广播电视总台发布2026年春晚的主题为——“骐骥驰骋势不可挡”．《楚辞·离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场推出一款“2026势骋”卡片深受大家喜爱，卡片进价35元，规定销售单价不低于40元，且不高于49元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销量减少8个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；(2)将卡片的销售单价定为多少元时，商家每天销售卡片获得的利润元最大？最大利润是多少元？24．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BE＝5，BF＝12，求CD的长．25．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米．以为原点，地面所在的水平线为轴，墙面所在的直线为轴建立平面直角坐标系．(1)求这条抛物线的解析式；(2)已知车棚的宽度为米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）．请通过计算，回答至少需要多少个消防喷淋头．26．【问题提出】（1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______；【问题探究】（2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值；【问题解决】（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案1．C解：由图可知，几何体的俯视图是：故选C．2．A解：四边形是矩形，，∵，，，∵，，，四边形是矩形，，，，，∴是等边三角形，，．故选：A．3．B解：∵，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．4．B解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故选：B．5．A解：∵反比例函数解析式为，，∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，∵点，，都在反比例函数的图象上，且，∴点A和点B在第三象限，点C在第一象限，∴，故选：A．6．D解：∵，∴，又∵点，∴，，由题意知，，∴，∴，∴，即，，即，∴点B坐标为，故选：D．7．A解：二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴的右侧，，，反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项A符合题目要求．故选：A．8．C解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴故选C．9．C解：∵矩形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴．故选：C．10．A解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，，对称轴为：直线，，，故①正确；②由对称轴可知：，，时，，，，故②正确；③关于直线的对称点为，时，，故③正确；④当时，的最小值为，时，，，即，故④错误；⑤抛物线与轴有两个交点，，即，，故⑤正确；错误的个数只有个，故选：A．11．解：由已知，设，，∴故答案为：．12．解：由题意，得且．解，得或，∴或．∵，∴，因此．13．9解：如图，连接，∵点为正多边形的中心，∴是这个正多边形的外接圆，由圆周角定理得：，∴该正多边形的边数为，故答案为：9．14．解：∵是的直径，，，∴，∴；故答案为：．15．2解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则，，，∴，∴，∴．故答案为：2．16．【详解】如图所示，作，且使，连接，

∵以为直角边作，且，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴解得，∵，，∴，∵，∴当点A，E，D三点共线时，即时，取得最大值，∵，∴的最大值为．故答案为：．17．1【详解】．18．，解：，移项，得，，，∴，．19．解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，∴的周长为，则点即为所求．20．(1)证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵把矩形沿对折，点A与点C恰好重合，∴，，又、相交于点，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形为菱形；(2)【详解】（1）略（2）∵矩形，，∴，，∵，∴，∵四边形为菱形，∴，，，设，则，在中，，∴，解得：，∴，∵，∴．21．(1)(2)列表如下：AB2341234236912由表可知：共有12种等可能的结果，其中积为正数的结果有7种，积为负数的结果有5种，∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，∵，∴游戏不公平．（1）解：∵A盘被分成面积相等的3个扇形，∴转动一次A盘，转出的数字是负数的概率是．故答案为：．（2）解：列表如下：A

B

2341234236912由表可知：共有12种等可能的结果，其中积为正数的结果有7种，积为负数的结果有5种，∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，∵，∴游戏不公平．22．(1)64；53；(2)（1）解：过点C作，∵垂直于，∴，∴，∵与水平线平行，∴，∴，∴，故答案为：64；53；（2）解：过点D作，过点E作，如图所示：∴四边形为矩形，同理得：四边形为矩形，∴，∵为，∴，∵，∴，∴，∵为，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．23．(1)(2)将卡片的销售单价定为49元时，商家每天销售卡片获得的利润W最大，最大利润是1792元（1）解：根据题意得，∵规定销售单价不低于40元，且不高于49元，∴，即．（2）解：根据题意得∵，∴当时，W随x的增大而增大，∵，∴当时，W有最大值，最大值为．答：将卡片的销售单价定为49元时，商家每天销售卡片获得的利润W最大，最大利润是1792元．24．（1）证明：连接AB，OA，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵DB是⊙O的切线，∴DB⊥BC，∴∠DBO＝90°，在RT△ABD中，E是斜边BD的中线，∴AE＝DE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠EAB+∠OAB＝∠EBA+∠OBA∴∠EAO＝∠DBO＝90°，∴OA⊥AF，∴AF是⊙O的切线；（2）．解：（1）略（2）∵在RT△BEF中，BE＝5，BF＝12，∴EF＝＝13，∵FA、DB是⊙O的切线，∴EA＝EB＝5，∴AF＝EF+EA＝13+5＝18，∵AF2＝FB•FC，∴FC＝∴BC＝FC﹣FB＝27﹣12＝15，∵E是BD的中点，∴BD＝2BE＝10，在RT△DBC中，．25．(1)(2)个（1）解：由题意可知点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，可得：，解得：，抛物线的解析式为．（2）