陕西省西安市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年陕西省西安市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（）A. B. C. D.2.已知直线l经过点A（1，0），B（2，-1），则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.3.若点P（0，1）在圆C：x2+y2+3y+a=0外，则a的取值范围为（）A. B. C.（-4，+∞） D.（-4，9）4.已知双曲线的一条渐近线与直线x+3y-4=0垂直，则m=（）A.3 B.6 C.12 D.365.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，，若，则x+y+z=（）A. B. C. D.6.若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为P（1，1），则C的短轴长为（）A. B.2 C. D.47.在正项等比数列{an}中，a1a10＜1，a5a6a7＞1，则当a1a2⋯an取得最小值时，n=（）A.5 B.6 C.7 D.88.在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，将△ABD沿BD所在直线进行翻折，二面角A-BD-C为，则AC=（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列命题正确的是（）A.若空间向量，，满足，，则

B.若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α

C.点M（1，2，3）关于平面Oyz对称的点的坐标是（-1，2，3）

D.若，是两个单位向量，则10.已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是C的准线，B（-2，0）是l与坐标轴的交点，P是C上的动点，则下列说法正确的是（）A.p=4

B.若点P的横坐标是点F的横坐标的2倍，则|PF|=6

C.|PF|的最小值为4

D.若点A的坐标为（4，4），则|AP|+|PF|的最小值为611.任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列{an}满足a1=m（m为正整数），当an为偶数，则；当an为奇数，则an+1=3an+1，下列结论正确的有（）A.若m=26，则使得an=1需要10步“雹程”

B.若m=4，则a2025=1

C.若m=1，则数列{an}的前2025项和为4726

D.若a6=4，则m的所有可能取值之和为190三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线x-y=0与圆（x+3）2+（y-1）2=10交于A，B两点，则|AB|=

.13.A（1，-1，1）是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点P（2，1，1）到直线l的距离是

.14.已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，以OF2为直径的圆在第一象限与C交于点P，延长F2P与C的另一个交点为Q，若P为QF2的中点，则双曲线C的离心率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，已知a2=-6，a3为a1，a4的等比中项.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求满足Sn≤an的n的最大值.16.(本小题15分)

已知圆C经过A（-1，-1），B（-1，-5）两点，且圆心C在直线2x+y+1=0上.

（1）求圆C的方程；

（2）已知圆D：（x+3）2+（y-1）2=8，判断圆C与圆D的位置关系，并写出一条圆C与圆D的公切线方程.17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2AC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AC，CC1，A1B1的中点，点G在棱BB1上，且B1G=3BG.

（1）证明：DF⊥EG.

（2）证明：BD∥平面AEG.

（3）求平面AEG与平面ABC夹角的正弦值.18.(本小题17分)

在数列{an}中，a1=1且an+1an=an-an+1.

（1）证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式.

（2）记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}满足.

（ⅰ）求{bn}的通项公式；

（ⅱ）求Sn；

（ⅲ）若不等式对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.19.(本小题17分)

已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，是E的右焦点，且|A1A2|=8.

（1）求E的方程.

（2）过点G（1，0），且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点.

（ⅰ）若l的斜率为1，P是直线x=5上的一点，且△PMN的面积为，求点P的坐标.

（ⅱ）设直线A1M与A2N交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d,d≠0，所以a2=a1+d=-6，

因为a3为a1=2，a4的等比中项，所以，

即，化简可得a1+4d=0，

联立解得a1=-8，d=2，故an=-8+2（n-1）=2n-10；

（2），

由Sn≤an，可得n2-9n≤2n-10，即n2-11n+10≤0，

解得1≤n≤10，故满足Sn≤an的n的最大值为10．

16.【答案】解：（1）由A（-1，-1），B（-1，-5），可知直线AB的方程为x=-1，

AB中点的坐标为（-1，-3），

线段AB的中垂线方程为y=-3，∴圆心C在直线y=-3上，

又圆心C在直线2x+y+1=0上，∴直线y=-3与直线2x+y+1=0的交点就是圆心C．

由得即C（1，-3）．

又，

∴圆C的方程为（x-1）2+（y+3）2=8．

（2）由题可知C（1，-3），D（-3，1），

∴，

两个圆的半径之和为，

∴圆C与圆D外切，

∴圆C与圆D有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为y=kx+b,

由圆心到切线的距离等于半径，得，

解得或或

∴公切线的方程为y=x或y=-x+2或y=-x-6，

故其中一条公切线方程为：y=x.（也可答另外两条中的其中一条）

17.【答案】证明：由题意可知A1B1，A1C1，A1A两两垂直，

则以A1为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2，则AA1=4．

所以D（0，1，4），F（1，0，0），E（0，2，2），G（2，0，3），

则，．

因为，

所以，

即DF⊥EG

证明：由题中数量关系可得A（0，0，4），B（2