2026年江苏省北师大版高中数学第9单元课后同步作业

2026年江苏省北师大版高中数学第9单元课后同步作业一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋2)－x，若f(a)＝0，则a的值为（）A．－1B．1C．2D．3解析：由f(a)＝0得ln(a＋2)－a＝0，即ln(a＋2)＝a。令g(x)＝ln(x＋2)－x，则g(x)在(－2，＋∞)上单调递减，且g(1)＝ln3－1＞0，g(2)＝ln4－2＜0，由零点存在性定理知，a的取值范围为(1，2)。又因为ln(a＋2)＝a在a＝1时取等号，故a＝1。2.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[a，b]上的最小值为3，则实数a，b的取值范围可能为（）A．a∈(－∞，1)，b∈(2，＋∞)B．a∈[1，2]，b∈[1，2]C．a∈(－∞，0)，b∈(3，＋∞)D．a∈[－1，1]，b∈[2，4]解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的图像是V形折线，顶点为(1.5,0.5)，在x＝1和x＝2时分别取得最小值1。若f(x)在区间[a，b]上的最小值为3，则区间[a，b]必须包含x＝1和x＝2的至少一个点，且不包含顶点(1.5,0.5)。选项A中，a∈(－∞，1)和b∈(2，＋∞)不满足条件；选项B中，a∈[1，2]和b∈[1，2]包含顶点，不满足条件；选项C中，a∈(－∞，0)和b∈(3，＋∞)满足条件；选项D中，a∈[－1，1]和b∈[2，4]包含顶点，不满足条件。故正确答案为C。3.已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋1，则f(x)的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．8π解析：f(x)＝2cos2x－sin2x＋1＝2(2cos²x－1)－2sinxcosx＋1＝4cos²x－2sinxcosx＝2(2cos²x－sinxcosx)。令t＝cosx，则f(x)＝2(2t²－t)，其中t∈[－1,1]。函数2(2t²－t)在t＝1/4时取得最小值，但周期与t无关，而是由cosx的周期决定。cosx的最小正周期为2π，故f(x)的最小正周期为2π。4.不等式|3x－2|＜5的解集为（）A．(－1，3)B．(－3，7)C．(－2，4)D．(－5，8)解析：由|3x－2|＜5得－5＜3x－2＜5，解得－3＜3x＜7，即－1＜x＜7/3。故解集为(－1，7/3)。选项A为(－1，3)，不完全符合；选项B为(－3，7)，不符合；选项C为(－2，4)，不完全符合；选项D为(－5，8)，不符合。正确答案为A。5.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则向量a＋2b的模长为（）A．√13B．√15C．√17D．√19解析：a＋2b＝(2，－1)＋2(－1，3)＝(0，5)，其模长为√0²＋5²＝√25＝5。选项均不符合，可能题目有误，但按计算结果应为5。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值分别为（）A．8，－4B．8，－2C．10，－4D．10，－2解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5。故最大值为5，最小值为－5。选项均不符合，可能题目有误，但按计算结果应为5，－5。7.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则线段AB的垂直平分线的方程为（）A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y＋1＝0解析：AB中点为(2，1)，斜率为(0－2)/(3－1)＝－1，垂直平分线斜率为1，方程为y－1＝1(x－2)，即x－y－1＝0。8.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4时取得最大值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：sin(2x＋φ)在x＝π/4时取得最大值，即2(π/4)＋φ＝π/2＋2kπ，解得φ＝π/4＋2kπ。取k＝0得φ＝π/4。9.已知数列{a_n}是等差数列，a₁＝2，a₅＝10，则a₁₀的值为（）A．14B．16C．18D．20解析：设公差为d，则a₅＝a₁＋4d＝10，解得d＝2。a₁₀＝a₁＋9d＝2＋18＝20。10.已知函数f(x)＝e^x－lnx在x＝1时取得极值，则f(x)的单调递增区间为（）A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，1)解析：f'(x)＝e^x－1/x，f'(1)＝e－1＝0。f'(x)在x＝1时变号，由负变正，故x＝1为极小值点。f'(x)在(0，1)和(1，＋∞)上分别大于0和小于0，故单调递增区间为(1，＋∞)。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在x＝a处取得最小值，则a的取值范围是________。参考答案：(1，2)解析：f(x)在x＝1.5时取得最小值，故a∈(1，2)。2.函数f(x)＝sin(2x－π/3)的最小正周期为________。参考答案：π解析：sin(ωx＋φ)的周期为2π/|ω|，此处ω＝2，故周期为π。3.不等式3x－7＞2的解集为________。参考答案：(3，＋∞)解析：直接解得x＞3。4.已知向量a＝(3，－2)，b＝(－1，4)，则向量a－b的坐标为________。参考答案：(4，－6)解析：a－b＝(3，－2)－(－1，4)＝(4，－6)。5.函数f(x)＝cos²x－sin²x的最小正周期为________。参考答案：2π解析：cos²x－sin²x＝cos(2x)，周期为2π。6.已知数列{a_n}是等比数列，a₁＝1，a₃＝8，则a₅的值为________。参考答案：64解析：设公比为q，则a₃＝a₁q²＝8，解得q＝2。a₅＝a₁q⁴＝16。7.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值为________。参考答案：5解析：f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5，最大值为5。8.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则线段AB的中点坐标为________。参考答案：(2，1)解析：中点坐标为((1＋3)/2，(2＋0)/2)＝(2，1)。9.函数f(x)＝e^x－lnx在x＝1时取得________值。参考答案：极小解析：f'(x)在x＝1处变号，由负变正，故为极小值。10.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4时取得最大值，则φ的取值可能为________。参考答案：π/4＋2kπ解析：2(π/4)＋φ＝π/2＋2kπ，解得φ＝π/4＋2kπ。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)。参考答案：正确解析：单调递增函数在区间端点取得最值。2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则向量a＋b与向量b－a垂直。参考答案：正确解析：a＋b＝(1，2)，b－a＝(－3，4)，(a＋b)•(b－a)＝1×(－3)＋2×4＝5≠0，故不垂直。3.函数f(x)＝cos²x－sin²x的最小正周期为π。参考答案：正确解析：cos²x－sin²x＝cos(2x)，周期为π。4.已知数列{a_n}是等差数列，a₁＝2，a₅＝10，则a₁₀＝18。参考答案：正确解析：a₁₀＝a₁＋9d＝2＋16＝18。5.不等式|2x－1|＜3的解集为(－1，2)。参考答案：正确解析：解得x∈(－1，2)。6.函数f(x)＝sin(2x＋π/3)在x＝π/4时取得最大值。参考答案：错误解析：2(π/4)＋π/3＝2π/3≠π/2，故不取最大值。7.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则线段AB的斜率为－1。参考答案：正确解析：斜率＝(0－2)/(3－1)＝－1。8.函数f(x)＝e^x－lnx在x＝1时取得极小值。参考答案：正确解析：f'(x)在x＝1处变号，由负变正，故为极小值。9.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4时取得最大值，则φ＝π/4。参考答案：错误解析：φ＝π/4＋2kπ。10.已知数列{a_n}是等比数列，a₁＝1，a₃＝8，则a₅＝16。参考答案：错误解析：a₅＝a₁q⁴＝16。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋2)－x，求f(x)的定义域。参考答案：f(x)的定义域为(－2，＋∞)。解析：ln(x＋2)要求x＋2＞0，即x＞－2。2.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值范围。参考答案：最小值为1，x∈[1，2]。解析：f(x)在x＝1.5时取得最小值1。3.已知向量a＝(3，－2)，b＝(－1，4)，求向量a•b。参考答案：a•b＝(－5)。解析：a•b＝3×(－1)＋(－2)×4＝－5。4.已知数列{a_n}是等差数列，a₁＝2，a₅＝10，求a₃。参考答案：a₃＝6。解析：a₃＝(a₁＋a₅)/2＝6。5.已知函数f(x)＝cos²x－sin²x，求f(x)的最小正周期。参考答案：f(x)的最小正周期为π。解析：f(x)＝cos(2x)，周期为π。6.已知函数f(x)＝e^x－lnx，求f'(x)。参考答案：f'(x)＝e^x－1/x。解析：直接求导。7.已知点A(1，2)和点B(3，0)，求线段AB的垂直平分线方程。参考答案：x－y－1＝0。解析：中点(2，1)，斜率1，方程为y－1＝1(x－2)，即x－y－1＝0。8.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4时取得最大值，求φ的可能取值。参考答案：φ＝π/4＋2kπ。解析：2(π/4)＋φ＝π/2＋2kπ，解得φ＝π/4＋2kπ。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为4，最小值为1。解析：f(－1)＝4，f(1)＝1，f(2)＝1，f(3)＝2，最大值为4，最小值为1。2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，求向量a＋2b的模长。参考答案：模长为√17。解析：a＋2b＝(0，5)，模长为√0²＋5²＝√25＝5。3.已知数列{a_n}是等差数列，a₁＝2，a₅＝10，求a₁₀＋a₉。参考答案：a₁₀＋a₉＝22。解析：a₁₀＝a₁＋9d，a₉＝a₁＋8d，a₁₀＋a₉＝2a₁＋17d＝22。4.已知函数f(x)＝cos²x－sin²x，求f(x)在区间[0，π]上的值域。参考答案：值域为[－1，1]。解析：f(x)＝cos(2x)，在[0，π]上取值范围为[－1，1]。5.已知点A(1，2)和点B(3，0)，求线段AB的长度。参考答案：长度为√8。解析：AB＝√(3－1)²＋(0－2)²＝√8。6.已知函数f(x)＝e^x－lnx，求f(x)在x＝1时的值。参考答案：f(1)＝2。解析：e^1－ln1＝e－0＝e≈2.718。7.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4时取得最大值，求φ的取值。参考答案：φ＝π/4＋2kπ。解析：2(π/4)＋φ＝π/2＋2kπ，解得φ＝π/4＋2kπ。8.已知数列{a_n}是等差数列，a₁＝2，a₅＝10，求a₁₀－a₅。参考答案：a₁₀－a₅＝6。解析：a₁₀＝a₁＋9d，a₅＝a₁＋4d，a₁₀－a₅＝5d＝6。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.A5.C6.A7.A8.A9.D10.B解析：2.f(a)＝ln(a＋2)－a＝0，ln(a＋2)＝a，g(x)＝ln(x＋2)－x在(－2，＋∞)上单调递减，g(1)＝ln3－1＞0，g(2)＝ln4－2＜0，故a∈(1，2)，取等号时a＝1。3.f(x)＝|x－1|＋|x－2|在x＝1.5时取得最小值1，若最小值为3，则区间[a，b]必须包含x＝1和x＝2的至少一个点，且不包含顶点(1.5,0.5)。选项C中，a∈(－∞，0)和b∈(3，＋∞)满足条件。4.f(x)＝2cos2x－sin2x＋1＝2(2cos²x－1)－2sinxcosx＋1＝4cos²x－2sinxcosx，令t＝cosx，则f(x)＝2(2t²－t)，周期由cosx决定，为2π。5.由|3x－2|＜5得－5＜3x－2＜5，解得－3＜3x＜7，即－1＜x＜7/3，故解集为(－1，7/3)。选项A为(－1，3)，不完全符合。6.a＋2b＝(2，－1)＋2(－1，3)＝(0，5)，模长为√0²＋5²＝√25＝5。选项均不符合，可能题目有误。7.f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5，最大值为5，最小值为－5。选项均不符合。8.AB中点为(2，1)，斜率为(0－2)/(3－1)＝－1，垂直平分线斜率为1，方程为y－1＝1(x－2)，即x－y－1＝0。9.sin(2x＋φ)在x＝π/4时取得最大值，即2(π/4)＋φ＝π/2＋2kπ，解得φ＝π/4＋2kπ。取k＝0得φ＝π/4。10.设公差为d，则a₅＝a₁＋4d＝10，解得d＝2。a₁₀＝a₁＋9d＝2＋18＝20。11.f'(x)＝e^x－1/x，f'(1)＝e－1＝0。f'(x)在x＝1处变号，由负变正，故为极小值。f'(x)在(0，1)和(1，＋∞)上分别大于0和小于0，故单调递增区间为(1，＋∞)。二、填空题1.(1，2)2.π3.(3，＋∞)4.(4，－6)5.π6.647.58.(2，1)9.极小10.π/4＋2kπ解析：2.f(x)在x＝1.5时取得最小值，故a∈(1，2)。3.sin(ωx＋φ)的周期为2π/|ω|，此处ω＝2，故周期为π。4.直接解得x＞3。5.a－b＝(3，－2)－(－1，4)＝(4，－6)。6.cos²x－sin²x＝cos(2x)，周期为π。7.设公比为q，则a₃＝a₁q²＝8，解得q＝2。a₅＝a₁q⁴＝16。8.f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5，最大值为5。9.中点坐标为((1＋3)/2，(2＋0)/2)＝(2，1)。10.f'(x)在x＝1处变号，由负变正，故为极小值。11.2(π/4)＋φ＝π/2＋2kπ，解得φ＝π/4＋2kπ。三、判断题1.正确2.错误3.正确4.正确5.正确6.错误7.正确8.正确9.错误10.错误解析：2.单调递增函数在区间端点取得最值。3.a＋b＝(1，2)，b－a＝(－3，4)，(a＋b)•(b－a)＝1×(－3)＋2×4＝5≠0，故不垂直。4.f(x)＝cos(2x)，周期为π。5.a₃＝(a₁＋a₅)/2＝6。6.解得x∈(－1，2)。7.2(π/4)＋π/3＝2π/3≠π/2，故不取最大值。8.斜率