2026年高考数学函数专项习题

2026年高考数学函数专项习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3，故选C。2.函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间[0，π]上单调递增，则φ的取值范围是（）A．[－π/2，π/2]B．[－π/4，π/4]C．[－3π/4，π/4]D．[－5π/4，－π/4]解析：由2kπ－π/2≤2x＋φ≤2kπ＋π/2，k∈Z，得kπ－π/4≤x≤kπ＋π/4，k∈Z，在[0，π]上单调递增需满足0≤kπ－π/4且kπ＋π/4≤π，解得k＝1，即－π/4≤φ≤π/4，故选B。3.若函数f(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，则a的值为（）A．3B．2C．1D．0解析：f′(x)＝3x²－a，由f′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3，验证f′(x)在x＝1两侧异号，故选A。4.函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域为（）A．(－∞，1)∪(1，+∞)B．[1，3]C．(－1，3)D．R解析：由x²－2x＋3＞0恒成立，解得定义域为R，故选D。5.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的值域为（）A．[－1，3]B．[－3，3]C．[－2，2]D．[－1，2]解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)＝1＋√2sin(2x－π/4)，值域为[1－√2，1＋√2]，即[－1，3]，故选A。6.函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极小值，则a的值为（）A．eB．e²C．1/eD．1/e²解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e，验证f′(x)在x＝1两侧异号，故选A。7.函数f(x)＝x³－3x＋2的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(－2)＝0，零点为x＝1，x＝－2，故选B。8.函数f(x)＝sin(x＋π/6)cos(x－π/3)的最小正周期为（）A．2πB．πC．2π/3D．π/3解析：f(x)＝(√3/2sinx＋1/2cosx)(1/2cosx－√3/2sinx)＝1/4sin(2x)－3/4sin²x＝1/4sin(2x)－3/8(1－cos(2x))＝1/4sin(2x)＋3/8cos(2x)－3/8＝1/2sin(2x＋π/6)－3/8，周期为π，故选B。9.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[－1，3]上的最大值为（）A．3B．4C．5D．6解析：分段函数f(x)＝{3－2x,x≤1；1,1＜x＜2；2x－3,x≥2，在x＝－1时取最大值5，故选C。10.函数f(x)＝x²e^x的拐点坐标为（）A．(0，0)B．(－1，1/e)C．(1，e)D．(－2，4/e²)解析：f′(x)＝2x＋x²e^x，f′′(x)＝2＋2xe^x，令f′′(x)＝0得x＝－2，f(－2)＝4/e²，拐点为(－2，4/e²)，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝sin(2x－π/3)的最小正周期为________。参考答案：π解析：周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。2.函数f(x)＝ln(x＋1)的定义域为________。参考答案：(－1，+∞)解析：x＋1＞0得x＞－1。3.函数f(x)＝x³－3x＋1的极值点为________。参考答案：x＝±1解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。4.函数f(x)＝e^x－2x在x＝0处的切线方程为________。参考答案：y＝x解析：f′(0)＝1，f(0)＝1，切线方程为y－1＝1(x－0)，即y＝x。5.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值为________。参考答案：1解析：在x＝1.5处取最小值1。6.函数f(x)＝sin²x－cos²x的最小正周期为________。参考答案：π解析：f(x)＝－cos(2x)，周期为π。7.函数f(x)＝x²－4x＋3的零点为________。参考答案：1，3解析：x²－4x＋3＝0得x＝1，3。8.函数f(x)＝ln(x²－1)的定义域为________。参考答案：(－∞，－1)∪(1，+∞)解析：x²－1＞0得x∈(－∞，－1)∪(1，+∞)。9.函数f(x)＝e^x－x在R上的单调性为________。参考答案：单调递增解析：f′(x)＝e^x－1＞0恒成立。10.函数f(x)＝sin(x＋π/4)cos(x－π/4)的值域为________。参考答案：[－√2/4，√2/4]解析：f(x)＝1/2sin(2x)，值域为[－√2/4，√2/4]。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝sin(2x)在区间[0，π]上单调递减。参考答案：×解析：在[0，π/2]上单调递增，在[π/2，π]上单调递减。2.函数f(x)＝x³－3x＋1在x＝0处取得极大值。参考答案：×解析：f′(0)＝0，f′′(0)＝0，需更高阶导数判断。3.函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的切线斜率为1。参考答案：√解析：f′(0)＝1。4.函数f(x)＝|x－1|在x＝1处不可导。参考答案：√解析：左右导数不相等。5.函数f(x)＝sin²x的最小正周期为π。参考答案：√解析：f(x)＝1/2(1－cos(2x))，周期为π。6.函数f(x)＝e^x－x在R上存在唯一零点。参考答案：√解析：f(0)＝1，f′(x)＝e^x－1＞0，零点唯一。7.函数f(x)＝x³－3x＋2在x＝1处取得极小值。参考答案：×解析：f′(1)＝0，f′′(1)＝0，需更高阶导数判断。8.函数f(x)＝cos(x＋π/2)在R上单调递减。参考答案：√解析：f′(x)＝－sin(x＋π/2)＝－cosx，在R上单调递减。9.函数f(x)＝x²e^x在x＝0处取得极小值。参考答案：√解析：f′(0)＝0，f′′(0)＝2＞0。10.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[1，2]上恒等于1。参考答案：√解析：在[1，2]上f(x)＝x－1＋2－x＝1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝sin(2x－π/3)在区间[0，π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√3/2，最小值－1/2解析：由2x－π/3∈[－π/3，5π/3]，得sin(2x－π/3)∈[－1/2，√3/2]。2.求函数f(x)＝x³－3x＋2的极值点。参考答案：x＝1，x＝－1解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＝6＞0，f′′(－1)＝6＞0。3.求函数f(x)＝ln(x²－1)的单调区间。参考答案：增区间(1，+∞)，减区间(－∞，－1)解析：f′(x)＝2x/(x²－1)，x＞1时f′(x)＞0，x＜－1时f′(x)＜0。4.求函数f(x)＝e^x－2x在x＝0处的切线方程。参考答案：y＝x解析：f′(0)＝1，f(0)＝1，切线方程为y－1＝1(x－0)，即y＝x。5.求函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值及取值点。参考答案：最小值1，取值点x＝1.5解析：分段函数在x＝1.5处取最小值1。6.求函数f(x)＝sin²x－cos²x的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)＝－cos(2x)，周期为π。7.求函数f(x)＝x²－4x＋3的零点。参考答案：x＝1，x＝3解析：x²－4x＋3＝0得x＝1，3。8.求函数f(x)＝e^x－x在R上的单调性。参考答案：单调递增解析：f′(x)＝e^x－1＞0恒成立。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，若f(x)在x＝π/4处取得极大值，求φ的值。参考答案：φ＝π/4＋2kπ，k∈Z解析：2x＋φ＝π/2＋2kπ，得φ＝π/4＋2kπ，k∈Z。2.已知函数f(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，求a的值及极值类型。参考答案：a＝3，极小值解析：f′(x)＝3x²－a，由f′(1)＝0得a＝3，f′′(1)＝6＞0，极小值。3.已知函数f(x)＝ln(x²－1)，求其定义域。参考答案：(－∞，－1)∪(1，+∞)解析：x²－1＞0得x∈(－∞，－1)∪(1，+∞)。4.已知函数f(x)＝e^x－2x，求其单调区间。参考答案：增区间(－∞，ln2)，减区间(ln2，+∞)解析：f′(x)＝e^x－2，令f′(x)＝0得x＝ln2，x＜ln2时f′(x)＜0，x＞ln2时f′(x)＞0。5.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求其在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值4，最小值1解析：分段函数在x＝－1时取最大值4，在x＝1.5时取最小值1。6.已知函数f(x)＝sin²x－cos²x，求其最小正周期。参考答案：π解析：f(x)＝－cos(2x)，周期为π。7.已知函数f(x)＝x²e^x，求其拐点坐标。参考答案：(－2，4/e²)解析：f′′(x)＝2＋2xe^x，令f′′(x)＝0得x＝－2，f(－2)＝4/e²。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)＝x²－4x＋5，求其边际成本函数及在x＝2时的边际成本。参考答案：边际成本函数MC(x)＝2x－4，x＝2时MC(2)＝0解析：边际成本函数为MC(x)＝C′(x)＝2x－4，MC(2)＝0。2.某商品的需求函数为p＝10－0.1x，求其收入函数及边际收入函数。参考答案：收入函数R(x)＝10x－0.1x²，边际收入函数MR(x)＝10－0.2x解析：R(x)＝px＝10x－0.1x²，MR(x)＝R′(x)＝10－0.2x。3.某产品的成本函数为C(x)＝x³－6x²＋15x＋10，求其边际成本函数及在x＝3时的边际成本。参考答案：边际成本函数MC(x)＝3x²－12x＋15，x＝3时MC(3)＝6解析：边际成本函数为MC(x)＝C′(x)＝3x²－12x＋15，MC(3)＝6。4.某商品的需求函数为p＝50－2x，求其收入函数及边际收入函数。参考答案：收入函数R(x)＝50x－2x²，边际收入函数MR(x)＝50－4x解析：R(x)＝px＝50x－2x²，MR(x)＝R′(x)＝50－4x。5.某产品的成本函数为C(x)＝x²＋4x＋5，求其边际成本函数及在x＝1时的边际成本。参考答案：边际成本函数MC(x)＝2x＋4，x＝1时MC(1)＝6解析：边际成本函数为MC(x)＝C′(x)＝2x＋4，MC(1)＝6。6.某商品的需求函数为p＝20－0.5x，求其收入函数及边际收入函数。参考答案：收入函数R(x)＝20x－0.5x²，边际收入函数MR(x)＝20－x解析：R(x)＝px＝20x－0.5x²，MR(x)＝R′(x)＝20－x。7.某产品的成本函数为C(x)＝x³－3x²＋3x＋1，求其边际成本函数及在x＝2时的边际成本。参考答案：边际成本函数MC(x)＝3x²－6x＋3，x＝2时MC(2)＝3解析：边际成本函数为MC(x)＝C′(x)＝3x²－6x＋3，MC(2)＝3。8.某商品的需求函数为p＝30－x，求其收入函数及边际收入函数。参考答案：收入函数R(x)＝30x－x²，边际收入函数MR(x)＝30－2x解析：R(x)＝px＝30x－x²，MR(x)＝R′(x)＝30－2x。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间[0，π]上单调性的判断方法。参考答案：由2x＋φ∈[φ，φ＋2π]，得sin(2x＋φ)的单调区间为[φ－π/2，φ＋π/2＋2kπ]，k∈Z，在[0，π]上需具体分析。2.论述函数f(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值的条件及判断方法。参考答案：由f′(1)＝0得a＝3，再由f′′(1)判断极值类型，f′′(1)＝6＞0为极小值。3.论述函数f(x)＝ln(x²－1)的定义域及单调性。参考答案：定义域为(－∞，－1)∪(1，+∞)，由f′(x)＝2x/(x²－1)判断单调性，x＞1时增，x＜－1时减。4.论述函数f(x)＝e^x－2x在x＝0处的切线方程的求法。参考答案：由f′(0)＝1，f(0)＝1，切线方程为y－1＝1(x－0)，即y＝x。5.论述函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值及取值点。参考答案：分段函数在x＝1.5处取最小值1，由f(1.5)＝1得。6.论述函数f(x)＝sin²x－cos²x的最小正周期的推导方法。参考答案：f(x)＝－cos(2x)，周期为2π/|ω|＝π。7.论述函数f(x)＝x²－4x＋3的零点的求解方法。参考答案：由x²－4x＋3＝0得x＝1，3，解一元二次方程得。8.论述函数f(x)＝e^x－x在R上的单调性的判断方法。参考答案：由f′(x)＝e^x－1＞0恒成立，得函数在R上单调递增。9.论述函数f(x)＝sin(x＋π/4)cos(x－π/4)的值域的求解方法。参考答案：f(x)＝1/2sin(2x)，值域为[－√2/4，√2/4]。10.论述函数f(x)＝x³－3x＋2的极值点的求解方法。参考答案：由f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，再由f′′(x)判断极值类型。标准答案及解析一、单项选择题1.C2.B3.A4.D5.A6.A7.B8.B9.C10.D解析：2.由绝对值三角不等式|a|＋|b|≥|a＋b|，最小值为3，故选C。3.由2kπ－π/2≤2x＋φ≤2kπ＋π/2，k∈Z，得kπ－π/4≤x≤kπ＋π/4，k∈Z，在[0，π]上单调递增需满足0≤kπ－π/4且kπ＋π/4≤π，解得k＝1，即－π/4≤φ≤π/4，故选B。4.由f′(x)＝3x²－a，由f′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3，验证f′(x)在x＝1两侧异号，故选A。5.由x²－2x＋3＝0无实根，x²－2x＋3＞0恒成立，定义域为R，故选D。6.由f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)＝1＋√2sin(2x－π/4)，值域为[1－√2，1＋√2]，即[－1，3]，故选A。7.由f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e，验证f′(x)在x＝1两侧异号，故选A。8.由f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(－2)＝0，零点为x＝1，x＝－2，故选B。9.由f(x)＝(√3/2sinx＋1/2cosx)(1/2cosx－√3/2sinx)＝1/4sin(2x)－3/4sin²x＝1/4sin(2x)－3/8(1－cos(2x))＝1/4sin(2x)＋3/8cos(2x)－3/8＝1/2sin(2x＋π/6)－3/8，周期为π，故选B。10.分段函数f(x)＝{3－2x,x≤1；1,1＜x＜2；2x－3,x≥2，在x＝－1时取最大值5，故选C。11.由f′(x)＝2x＋x²e^x，f′′(x)＝2＋2xe^x，令f′′(x)＝0得x＝－2，f(－2)＝4/e²，拐点为(－2，4/e²)，故选D。二、填空题1.π2.(－1，+∞)3.x＝±14.y＝x5.16.π7.1，38.(－∞，－1)∪(1，+∞)9.单调递增10.[－√2/4，√2/4]解析：11.周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。12.x＋1＞0得x＞－1。13.f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。14.f′(0)＝1，f(0)＝1，切线方程为y－1＝1(x－0)，即y＝x。15.分段函数在x＝1.5处取最小值1。16.f(x)＝1/2(1－cos(2x))，周期为π。17.x²－4x＋3＝0得x＝1，3。18.x²－1＞0得x∈(－∞，－1)∪(1，+∞)。19.f′(x)＝e^x－1＞0恒成立。20.f(x)＝1/2sin(2x)，值域为[－√2/4，√2/4]。三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√解析：11.由2x－π/3∈[－π/3，5π/3]，得sin(2x－π/3)∈[－1/2，√3/2]，在[0，π/2]上单调递增，在[π/2，π]上单调递减，故×。12.f′(x)＝3x²－3，由f′(1)＝0得a＝3，f′′(1)＝6＞0，f(1)＝1，为极小值，故×。13.f′(0)＝1，√。14.f(x)＝|x－1|在x＝1处左右导数不相等，不可导，√。15.f(x)＝1/2(1－cos(2x))，周期为π，√。16.f′(x)＝e^x－1＞0恒成立，零点唯一，√。17.f′(x)＝3x²－3，由f′(1)＝0得a＝3，f′′(1)＝6＞0，f(1)＝1，为极小值，故×。18.f′(x)＝－sin(x＋π/2)＝－cosx，在R上单调递减，√。19.f′(x)＝e^x－1＞0恒成立，极小值，√。20.分段函数在x＝1.5处取最小值1，√。四、简答题1.由2x－π/3∈[－π/3，5π/3]，得sin(2x－π/3)∈[－1/2，√3/2]，最大值√3/2，最小值－1/2。2.f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(x)＝6x，f′′(1)＝6＞0，极小值；f′′(－1)＝－6＜0，极大值。3.f′(x)＝2x/(x²－1)，x＞1时f′(x)＞0，增区间(1，+∞)；x＜－1时f′(x)＜0，减区间(－∞，－1)。4.f′(0)＝1，f(0)＝1，切线方程为y－1＝1(x－0)，即y＝x。5.分段函数在x＝1.5处取最小值1。6.f(x)＝－cos(2x)，周期为π。7.x²－4x＋3＝0得x＝1，3。8.f′(x)＝e^x－1＞0恒成立，单调递增。五、应用题1.由2x＋φ＝π