上海市华东理工大学附属中学2025−2026学年第二学期高一年级数学学科期末考试卷（含答案）

上海市华东理工大学附属中学2025−2026学年第二学期高一年级数学学科期末考试卷一、填空题1．化简向量运算：______．2．已知，则________．3．函数是____________函数（填“奇”或“偶”）．4．设，向量，，若，则______．5．已知为第二象限角，若，则的值为______.6．扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为__________.7．已知数列{}的前n项和为，则该数列的通项公式__________.8．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则__________．9．计算：________．10．设向量，满足，且，则向量在向量方向上的数量投影是________．11．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为__________.12．设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系Oxy中的斜坐标.若，向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，则在上的投影向量的斜坐标是______________.二、单选题13．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．15．等差数列的前项和为，若，则的值是A． B． C． D．16．在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为.其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．平面内给定两个向量.（1）求与夹角的余弦值；（2）若和垂直，求的值.18．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足：.（1）依次写出数列的前6项；（2）设数列的前n项和为，求．19．盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得．（1）求点P和点M之间的距离；（2）求两主峰M，N间的距离．20．记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.（1）证明：数列是等比数列；（2）若成立，求的最小值.21．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求函数在时的值域；（3）对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围．

参考答案1．【答案】【详解】.2．【答案】【详解】由可得，所以.3．【答案】偶【详解】由诱导公式有，因为是偶函数，所以函数是偶函数.4．【答案】【详解】因为向量，，若，所以，解得：.5．【答案】/【详解】因为为第二象限角，且，所以，所以.6．【答案】2【详解】则该扇形的面积为2.7．【答案】2n+1【详解】由题意时，，又适合上式，所以．8．【答案】26【详解】由题意，是方程的一个根，则是其另一个根，所以.9．【答案】【详解】和式是首项、公比的等比数列的前项和，，根据等比数列前项和公式得：，由于，故，因此：10．【答案】【详解】向量在方向上的数量投影为.11．【答案】60【详解】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，∴，，解得：，.12．【答案】【详解】若，则，因为向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，，所以，，则，，则在上的投影向量为.13．【答案】A【详解】若，则成立；若，则或，故不一定成立；综上所述：“”是“”的充分不必要条件.故选A.14．【答案】D【详解】根据向量运算关系可得：，所以所对应的复数为：.15．【答案】A【详解】由等差中项的性质得，，因此，，故选A.16．【答案】B【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确；当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误；当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误；易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确.故选B17．【答案】（1）（2）【详解】（1）由向量，则，又由，所以，所以与夹角的余弦值为.（2）由题意可得，因为和垂直，所以,即，化简得，解得：.所以若和垂直，的值为.18．【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意得，，则，，，，，．（2）中奇数项为，偶数项为．奇数项：，，和为．偶数项：，，首项为，公比为，项数为6，和为．故．19．【答案】（1）2km；（2）.【详解】（1）根据题意得，，，所以，在△PMG中，根据正弦定理，得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为.（2）在中，，，所以由正弦定理得，解得，在中，，由余弦定理得，解得.综上所述，两主峰M、N之间的距离为．20．【答案】（1）见详解（2）4【详解】（1）由可得，即，即，而，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，由可得，整理可得，解得，因为，所以的最小值为4.21．【答案】（1）（2）（3）