天津英华实验学校2025−2026学年第二学期期末统练高一数学试卷（含答案）

天津英华实验学校2025−2026学年第二学期期末统练高一数学试卷一、单选题1．已知复数（是虚数单位），则对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件BA．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等5．在中，内角、、所对的边为、、，若，，．则的值为（

）A． B． C． D．6．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．7．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（

）nmile

A． B．8 C． D．8．下列说法正确的是（

）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01；B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32.9．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直；

④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④二、填空题10．已知，则=____.11．已知事件与事件相互独立，如果，，________．12．如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______．13．已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______.14．设向量满足，，，则的最大值为________.15．如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则________，若，则________．三、解答题16．已知向量满足，．（1）求；（2）若与同向，求的坐标；（3）若，求与的夹角的余弦值．17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.（1）证明：平面；（2）若F是BC上靠近B的四等分点；（i）求EF和平面夹角的正弦值；（ⅱ）求点P到平面的距离.18．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求、的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）；（3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.19．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.

（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，．（1）设单位向量，若与共线，且，求A；（2）当且为斜三角形时：（i）若，求B；（ii）求的最小值．

参考答案1．【答案】B【详解】，则，则对应的点在第二象限.故选B2．【答案】C【详解】对于A：如图，若，但直线平行，故A错误；对于B：如图，若，但是平面不平行，故B错误；对于C：如图，若，过直线作两个平面，可得则，故C正确；对于D：如图，若，则，故D错误.故选C.3．【答案】B【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得.【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得，所以该圆锥的高，所以该圆锥的体积．故选B．4．【答案】A【详解】由题意，得PA=12，PB=1又事件A,B可以同时发生，故它们不互斥也不对立，更不相等.综上，A正确，B，C，D错误.故选A.【规律方法】判断两事件是否互斥与对立，主要是利用定义，而判断两事件是否相互独立，可以看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若无影响，则两事件相互独立，也可以利用公式PAB=PAP5．【答案】A【详解】由余弦定理可得，可得.由正弦定理可得.故选A.6．【答案】D【详解】由，得——①再由，得，即——②联立①②解得，.所以.故选D7．【答案】D【详解】在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.故选D.8．【答案】C【详解】，A错误；，则，B错误；首先将数据从小到大排序：，共8个数据，则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确；根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍，这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误.9．【答案】C【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间的距离，而，所以的最小值为，故①正确；对于②，，而，所以四面体的体积为，故②正确；对于③，由题意可知，当与重合，与重合时，，因为，，，平面，所以平面，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，故③错误；对于④，当为等边三角形时，，而,，所以，所以只需要与的夹角能等于即可，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图，设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形，故④正确.10．【答案】5【详解】由题设，，∴.11．【答案】/【详解】由，得，因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立，所以.12．【答案】/【详解】如图，过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，易知为的中点，设正方形的边长为2，则，所以，则，因为，所以异面直线与所成的角即为（或其补角），在等腰中，，所以异面直线与所成角的余弦值为．13．【答案】【详解】设，由于，故；结合长方体性质可知四面体的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为，则外接球的表面积为，当且仅当时取等号，即的最小值为.14．【答案】【详解】如图所示，设，作，则，因为向量满足，，可得，即，又因为，可得，所以点在以为圆心，以为半径的圆上，所以当三点共线时，取得最大值，最大值为.15．【答案】【详解】连接DF，因为分别为的中点，所以是△ABC的中位线，所以，则，所以，所以；因为，所以，故.16．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）已知，则．（2）与同向的单位向量为，已知，．（3），解得，，．17．【答案】（1）证明：底面，且底面，，为正方形，，又，且平面，平面.平面，.由为线段的中点，可知，，且平面，平面．（2）（i）EF和平面夹角的正弦值为;（ⅱ）点P到平面的距离为.【详解】（1）略（2）（i）取的中点，连接．为中点，是的中位线，故，且．又底面，底面，因此是在底面内的投影，即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，，故．又是中点，，故．在中，．在中，．因此．（ⅱ）利用等体积法，设点到平面的距离为．由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为．在等腰中，，，，故．因此．由（1）知平面，故，即为直角三角形．又，，故．由得：．18．【答案】（1）（2）平均数为，中位数为（3）【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，解得；（2）由（1）知，平均数为；前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4；（3）第四、五两组志愿者分别有20人、5人，故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人选出2人，所有情况有，共10种，其中选出的2人来自同一组的有，共6种，所以选出的2人来自同一组的概率为.19．【答案】（1）

过作于点，则.以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，∵为的中点．∴，则，.设平面的法向量为，则,即，令，则，∴．∴，又平面．∴∥平面.（2）（3）【详解】（1）略（2）由（1）知.设平面的法向量为，则,即，令，则..所以平面与平面夹角的正弦值为（3）令，.设，∴，∴，

.由（1