机械振机械波经典例题详解

第八章机械振机械波

第一单元简谐振动、振动图像

【例1】如图，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于0位置，现将小

球由0位置再下拉一小段距离后释放(在弹性限度内)，试证明释放后小球的上下振动是

简谐振动，

证明：设小球的质量为m,弹簧的劲度系数为k,小球处在0位置有：

mg—kAx=0.....①干

式中Ax为小球处在0位置时弹簧的伸长量.|

再设小球离开0点为位移x(比如在0点的下方)，并取x为矢量正方向，j

此时小球受到的合外力£Fx为：EFx=mg-k(x+Ax)②。一°

由①②两式可得：LFx=—kx,

所以小球的振动是简谐振动，。点即其振动的平衡位置.

点评：这里的F=-kx,不是弹簧的弹力，而是弹力与重力的合力，即振动物体的回

复力.此时弹力为k(x+Ax)；所以求回复力时尸=10(,x是相对平衡位置的位移，而不是

相对弹簧原长的位移.

三.弹簧振子：

1.一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子.一

般来讲，弹簧振子的回复:力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹簧振

子)提供的.弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型.

2、弹簧振子振动周期：T=2,只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧

振动情况(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或

在绕地球运转的人造卫星上)无关。

3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谑运动，周期公式也是。这个结论

可以直接使用。

4.在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子

的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

［例2］如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M2in)

的D.B两物体.箱子放在水平地面上，平衡后剪断D.B间的连线，此后D将做简谐运动.当

D运动到最高点时，木箱对地压力为()

A.Mg；B.(M-m)g；C.(M+m)g；D.(M+2m)g

【解析】当剪断D.B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动,

其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置.初始运动时D的速度为零，故剪断D.B

连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D.B连线时的伸长

量为xl=2nig/k,在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2=mg/k,故振子振动过程中

的振幅为A=x2—xl=mg/k

D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的

平衡位置在弹簧自由长度以下mg/k处，刚好弹簧的自日长度处就是物D运动的最高点，说

明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Ug.

【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历

时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为()。

(A)1Hz；(B)1.25Hz(C)2Hz；(D)2.5Hz

解析：振子经a、h两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、h两点对平衡

位置(0点)一定是对称的，振子由b经。到a所用的时间也是0.2s,由于“从b再回到

a的最短时间是0.4s,“说明振子运动到b后是第一次回到a点，且0b不是振子的最大位

移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b-c-b历时0.2s,同理，振子从a-dfa,也

历时0.2s,故该振子的周期T=0.8s,根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子

的振动频率为1.25Hz。综上所述，本题应选择(B)o

1.简谐运动的特点

【例4】(1995年全国)一弹簧振子作简谐振动，周期为T()

A.若t时刻和(t+At)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则At一定等于

T的整数倍

B.若t时刻和(t+At)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于

T/2的整数倍

C.若At;T,则在t时刻和(t+At)时刻振子运动的加速度一定相等

I).若At=T/2,则在t时刻和(t十At)时刻弹簧的长度一定相等

解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经

过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A

错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反

的位里之间的时间间隔小于T/2,选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等,

振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错

误。若At=T,则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所

以，选项C正确。

本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。

【例5】如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，0为平衡位置，A,B为最大

位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在0

点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到。点

处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？

解析：由已知振子从A点开始运动，第一次经过0点的时间是1/4周期，第二次经过0

点是3/4周期，设其周期T,所以有：t=3T/4,T=4t/3；

振子第一次到。点的时间为：振子第二次到点的时间为；振子第三次到。点的时间

为……第n次到0点的时间为(n=0.1,2,3……)

C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有

2.弹簧振子模型

【例5】如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使A

随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是。当A

的速度达到最大时，A对B的压力大小为。

解析：根据题意，只要在最高点A.B仍能相对静止，则它们就会始终不脱离。

而在最高点，外界对A所提供的最大回复力为mg,即最大加速度ainax=g,故A.B不脱离的

条件是aWg,可见，在振动过程中，是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。

因为A在系统的平衡位置时，速度最大，此时A所受重力与B对它的支持力

的合力为零，由牛顿第三定律可知，a对B的压力大小等于其重力mg。

拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系

数为k,B的质量为mB,因为mg=mamax,振幅最大时，a才有最大值，，是由kAmax=(m+mB)

g,得Amax=m+mB)g/k。

②运动至最低点时A对B的最大压力是多少？

③若让A从离静止的B上方h处自由下落与B相碰一起运动,则在最低点的加速

度一定满足a>g,为什么？

【例6】在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的

一轻弹簧固定相连.弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩xO后用细绳将m栓住,

m静止在小车上的A点，如图所示，山与M间的动摩擦因数为0点为弹簧原长位置，将

细绳烧断后，m、M开始运动.求：①当m位于0点左侧还是右侧且跟0点多远时，小车的

速度最大？并简要说明速度为最大的理由.②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速

运动还是相对往复的运动？

【解析】①在细线烧断时，小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用，开始时F

必大于f.m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加

速度减小的加速运动.当F=f时车速达到最大值，此时m必在0点左侧。设此时物体在0

点左侧x处，

则kx=umg。所以，当x=umg/k时，小车达最大速度.

②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续

向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动.由于摩擦力的存在，小车和

物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度v,因两物体组成的系统动最

守恒，且初始状态的总动量为零，故v=0,即m与M的最终运动状态是静止的

3.利用振动图像分析简谐振动

[例7]一弹簧振子沿x轴振动，振幅为.cm.振子的平衡位置位于x袖上的0点.图甲中

的.，b,c,d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向.图

乙给出的①②③④四条振动图线，

可用于表示振子的振动图象是（AD）

A.若规定状态a时t=0,则图象为①

B.若规定状态b时t=0,则图象为②

C.若规定状态c时t=0,则图象为③

D.若规定状态d时1=0,则图象为④

解析:若t=0,质点处于a状态，则此时x=+3cm运动方向为正方向，只有图①对；若t

=0时质点处于b状态，比时x=+2c叫运动方向为负方向，②图不对；若取处于C状态

时t=0,此时x=-2c叫运动方向为负方向，故图③不正确；取状态d为t=0时，图④刚好

符合，故A,D正确.

点评：对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根

据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动

试题展示

A.1.某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4km/s和9km/s.一种简易地震

仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成（题20阿）.在一次地震中，震源地地震仪

下方，观察到两振子相差5s开始振动，则

B.P先开始振动，震源距地震仪约36km

C.P先开始振动，震源距地震仪约25km

D.H先开始振动，震源距地震仪约36km

H先开始振动，震源距地震仪约25km

答案：A

解析：本题考查地震波有关的知识，本题为中等难度题目。由于纵波的传播速度快些,

所以纵波先到达地震仪处，所以P先开始振动。设地震仪距震源为x,则有解得：x=36km.

2.如图所示的单摆，摆球a向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘

性小球b发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不变。已知碰撞前a球摆动的最高点与最低点

的高度差为h,摆动的周期为T,a球质量是b球质量的5倍，碰撞前a球在最低点的速度

是b球速度的一半。则碰撞后D

A.摆动的周期为

B.授动的周期为

C.摆球最高点与最低点的高度差为0.3h

D.摆球最高点与最低点的高度差为0.25h

3.一列简谐横波沿x轴负方向传播，图1是t=1s时的波形图，图2是波中某振动质

元位移随时间变化的振动图线（两图用同同一时间起点），则图2可能是图1中哪个质元的

振动图线？（A）

A.x=0处的质元；B.x=1m处的质元；

C.x=2nl处的质元；D.x=3m处的质元。

4.简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中王确的是（D）

A.振幅越大，则波传播的速度越快

B.振幅越大，则波传播的速度越慢

C.在一个周期内，振动质元走过的路程等于一个波长

D.振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短

5.公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间

内货物在坚直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻作为

计时起点，即，其振动图象如图所示，则（C）

A.时，货物对车厢底板的压力最大

B.时，货物对车厢底板的压力最小

C.时，货物对车厢底板的压力最大

D.时，货物对车厢底板的压力最小

6、一破码和一轻弹簧构成弹簧振子，图1所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振

动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以卵动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期

就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，

给祛码一向下的初速度，法码便做简谐运动，振动图线如图2所示.当把手以某一速度匀速

转动，受迫振动达到稳定时，祛码的振动图线如图3所示.若用TO表示弹簧振子的固有周期,

T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后跌码振动的振幅，则AC

A.由图线可知％=4s

B.由图线可知B=8s

C.当T在4s附近时，Y显著增大；当T比4s小得多或大得多时，Y很小

D.当T在8s附近时，Y显著增大；当T比8s小得多或大得多时，Y很小

7、某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次，鸟飞走后,

他把50g的祛码挂在P处，发现树枝在10s内上下振幻了12次.将50g的祛码换成500g

跌码后，他发现树枝在IEs内上下振动了6次，你估计鸟的质最最接近B

A.50gB.200g

C.500gD.550g

8、一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是（D）

A.时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小

B.时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C.时刻摆球速度为零：悬线对它的拉力最大

D.时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

第二单元单摆、振动中的能量

一、单摆

1.单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以

忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆.这是一种理想化的模型，一般情况

下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆.

2.单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角0<100.

3.单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子

所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

4、单摆的周期：当1、g一定，则周期为定值T=2n,与小球是否运动无关.与摆球质

量ni、振幅A都无关。其中摆长1指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测

量值。要区分摆长和摆线长。

5.小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐

运动。这时周期公式中的1应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

6.秒摆：周期为2s的单摆.其摆长约为1m.

【例1】如图为一单摆及其振动图象，回答：

（1）单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位

移x（F回、a、Ep）最大的时刻为

解析：由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3crn.横坐标可直接读取完成一

个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间.轴长度就是周期T=2s,进而算

出频率f=l/T=0.5Hz,算出摆长1:gT2/4兀2=lm-

从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5s末和1.5$末.

（2）若撰球从E指向G为正方向，a为最大摆角，则图象中0、A.B.C点分别对应单摆中的

点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是。势能增加且速度

为正的时间范围是

解析：图象中。点位移为零，0到A的过程位移为正.且增大.A处最大，历时1/4周期，显

然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以0对应E,A对应G.A到B的过程分

析方法相同，因而0、人8.（：对应£、G、E、F点.

摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的

运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1.5-2.0s间

接球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向C的过

程.在图象中为从0到A,时间范围是0—0.5s间.

（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是O

A.位移：B.速度；C.加速度：D.动量；E.动能；F.摆线张力

解析：过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不

变，摆线张力mgcosa+iiv2/L也不变；由运动分析，相邻两次过同一点，速度方向改变,

从而动量方向也改变，故选B.D.

如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值

是变小的？

从（1）、（2）、（3）看出，解决此类问题的关键是把图象和实际的振动一一对应起

来.

（4）当在悬点正下方0/处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且=%.则单摆周期

为s,比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力

解析：放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆线长

为1m,所以1左二n=ls:钉右侧的半个周期T右=八=0.5s,所以T=T左十T右二1.

5s.

由受力分析，张力T=mg+mv2/L,因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，

挡后摆线长为挡前的1/4.所以挡后绳张力变大.

（5）若单接接球在最大位移处接线断了，此后球做什么运动？若在接球过平衡位置时

摆线断了，摆球又做什么运动？

解析：问题的关键要分析在线断的时间，摆球所处的运动状态和受力情况.在最大位移处

线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体运动.在平衡位置线断，此时

球有最大水平速度，又只受重力，所以做平抛运动.

【例2】有一个单摆，其摆长1=1.02m,摆球的质量m=0.1kg,从和竖直方向成摆角6=40

的位置无初速度开始运动（如图所示），问：

（1）已知振动的次数n=30次，用了时间t=60.8s,重力加速度g多大？

（2）摆球的最大回复力多大？

（3）摆球经过最低点时速度多大？

（4）此时悬线拉力为多大？

（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？为什么？（取sin40=0.0698,cos40=

0.9976,n=3.14）

【解析】（1）0<50,单摆做简谐运动，其周期T=t/n=60.8/30s=2-027s,根据T=2

得，g=4XJIXI.02/2.0272=9.791m/s2<,

（2）最大回复力为Fl=mgsin4o=0.1X9.791X0.0698N=0.068N

（3）单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力，机械能守恒，其总机械能

E等于摆球在最高处的重力势能E,或在最低处的速度v==0.219m/so

（4）由T—mg=mv7L得

悬线拉力为T=mg十mv2/L=0.IXIO+O.1X0.2192/1.02=0.52N

（5）秒摆的周期T=2s,设其摆长为L0,根据T=2得，g不变，

贝I」Toe41

即T:T产JZ：

故L0=T02L/T2=22XI.02/2.0272=0.993m,

其摆长要缩短AL=L—LO=1.02m—0.993m=0.027m

二、振动的能量

1.对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定,

振动的能后就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和.

2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大.若无能

量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动.

3.阻尼振动与无阻尼振动

(D振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动.

(2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动.

注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻

力作用.

4.受迫振动

(1)振动系统在周期性驱动力作用卜的振动叫做受迫振动.

(2)受迫振动稳定时。，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固

有频率无关.

5.共振

(1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振.

(2)条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率.

(3)共振曲线.如图所示.

【例3】行驶着的火车车轮，每接触到两根钢轨相接处的缝隙时，就受到一次撞击使车厢在

支着它的弹簧上面振动起来.已知车厢的固有同期是0.58s,每根钢轨的长是12.6叫当

车厢上、下振动得最厉害时，火车的车速等于m/s.

解析：该题应用共振的条件来求解.火车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就会受到一次

冲击力，该力即为策动力.当策动周期T策和弹簧与车厢的国有周期相等时，即发生共振，

即丁策=丁固=0.58s.....①T策=t=L/v……②

将①代入②解得v二L/0.58=21.7m/s答案：21.7m/s

规律方法1.单摆的等效问题

①等效摆长：如图所示，当小球垂直纸面方向运动时，摆长为8.

②等效重力加速度：当单摆在某装置内向上运动加速度为a时，

T=2“；当向上减速时T=2n,影响回复力的等效加速度可以这样求，摆球在平衡位

置静止时，挖线的张力T与摆球质量的比值.

【例4】如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A,质量为2叫轴上系一根长为L的线，下

端悬挂一个摆球B,质量为m,设B摆小球作小幅度振动，求振动周期。

【分析】将2m的A球和m的B球组成系统为研究对象，系统的重心0点可视为单摆的悬

点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。

【解析】A和B两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此A

和B速度之比跟质量成反比，即vA/vB=mB/mA=l/2.因此A和B运动过程中平均速度

/=1/2,亦即位移SA/SB=l/2o,

因为△OAA/sAOBB/,则OB/OA=2/1。

对B球来说，其摆长应为2/3L,因此B球的周期T=2。

说明：据动量守恒条件，2m在A位置时，m在B位置，当2m运动到A/时，m运动到

B/。

【例5】如图所示，三根细线OA,OB,OC结于0点，A,B端固定在同一水平面上且相距

为L,使AOB成一直角三角形，ZBA0=300,己知0C绳长也为L,下端C点系一个可视为

质点的小球，下面说法中正确的是

A.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为：

B.当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为

C.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为

D.当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为

解析:当小球在纸面内做简谐振动时，是以0点为圆心,0C长L为半径做变速圆周运动，

0A和0B绳没有松弛，其摆长为L,所以周期是；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振

动时，摆球是以0C的延长线与AB交点为圆心做振动，其等效的摆长为L十Lsin600/2=L十

L/.,其周期为，故选

A...........................................................................

拓展:若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗，在漏斗摆动的过程中，让沙子匀速的从

漏斗底部漏出，则单摆的周期如何变化？（因沙子遂渐漏出，其重心的位置先下移后上升,

等效摆长先增加后减小，所以周期先变长后减小）。

［例5］在图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是

（）

A.T1>T2>T3>T4；B.T1<T2=T3<T4

C.T1>T2=T3>T4.；、D.T1<T2<T3<T4

【解析】单摆的周期与重力加速度有关.这是因为是重力的分力提供回复力.当单摆处于

（1）图所示的条件下，当摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量（mgsin。）沿切

向分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆是减小的，则运动中的加速度减小，回到

平衡位置的时间变长，周期T1>T3.对于（2）图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中

要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回

复力，故单摆的周期不变，T2=T3.在（4）图所示的条件下，单摆与升降机一起作加速上

升的运动，也就是摆球在该升降机中是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动的切向分

量也增大，也就是回复力在增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小，T4<

T3.综上所述，只有C选项正确.

点评：对于单摆的周期公式，在摆长不变的条件下，能影响单摆振动的周期的因素就是运

动过程中的回复力发生的变化，回复力增大，周期变小，回复力变小，周期变大.这是判

断在摆长不变时单摆周期变化的唯一

2.摆钟问题

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用

以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数,

也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

【例6】有一摆钟的摆长为11时，在某一标准时间内快amin。若摆长为12时，，在同一标准

时间内慢bmin。，求为使其准确，摆长应为多长？（可把钟摆视为摆角很小的单摆）。

【解析】设该标准时间为ts,准确摆钟摆长为bn,走时快的钟周期为Tls,走慢时的周期

为T2s,准确的钟周期为T3o不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时

间都是Ts。

（法一）由各摆钟在ts内钟面上显示的时间求解，

对快钟：t+60a=T；对慢钟：t—60a=T

联立解，可得==

最后可得L二/（二"」匕。

(法二)由各摆钟在ts内的振动次数关系求解：

设快钟的ts内全振动次数为nl,慢钟为n2,准确的钟为no显然，快钟比准确的

钟多振动了60a/T次，慢钟比准确的钟少振动60b/T次，故：

对快钟：n1=t/T1=n+60a/T=t/T+60a/T

对慢钟：n2=t/T2=n-60b/T=t/T-60b/T

联解①②式，并利用单摆周期公式T=2同样可得I产

点窍：对走时不准的摆钟问题，解题时应抓住：由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成

一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T。

3.单摆的综合应用

【例7】图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好触.现将摆球A在两摆线所在平面向左拉

开一小角度后释放，碰撞后，两球分开各自做简谐运动.以mA.砧分别表示摆球A.B的质

量，则()

A.如果下一次碰撞将发生在平衡位置右侧

B.如果mAVmB,下一次碰撞将发生在平衡位置左恻

C.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧

D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧

解析：由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种

可能:①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相

等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移

处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期，两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一

球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在

平衡位置相遇.

因此，不管mA>mB,还是mA<mB还是mA=mB,无论摆球质量之比为多少，下一

次碰撞都只能发生在平衡位置.，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项

C、D正确.

拓展:两球的碰撞是否是弹性碰撞？

【例8】如图所示，两个完全相同的弹性小球1,2,分别挂在长L和L/4的细线上，重心

在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释

放，经过多长时间两球发生第10次碰撞？

解析:因将第1个小球拉开一个不大的距离，故摆动过程应符合单摆的周期公式有，，

系统振动周期为，在同一个T内共发生两次碰撞，球1从最大位移处由静止释放后.经

发生10次碰撞，且第10次碰后球1又摆支最大位移处.

［例9］如图所示，AB为半径R=7.5.m的光滑的圆弧形导轨，BC为长s=0.90m的光滑水

平导轨，在B点与圆弧导轨相切,BC离地高度h=1.8.m,一质量ml=0.Lkg的小球置于边

缘C点，另一质量m2=0.2.kg的小球置于B点，现给小球ml一个瞬时冲量使它获得大小

为0.9.m/s的水平向右速度，当ml运动到B时与m2发生弹性正碰，g取Lm/s2,求：

(1)两球落地的时间差At；

(2)两球落地点之间的距离As

解析：(1)ml与m2发生弹性正碰，则设碰后ml和m2速度分别为v"和v2/,有

得vl=-0..m/s,v*2=0..m/s

可见ml以0..m/s速度反弹，从B到C,t=s/vl/=3s.m2以0..m/s速度冲上圆弧轨道，可证

明m2运动可近似为简谐运动，在圆弧上运动时间为=2.7.s,再从B到C.t.=s/v2/=L5s

则△t=t2+T/2—tl=l.2.s.(2)利用平抛运动知识不难求得△$=().1.m.

【例10】在长方形桌面上放有：秒表、细绳、铁架台、天平、弹簧秤、钩码，怎样从中选

取器材可较为准确地测出桌面面积S?并写出面积表达式.

【解析】用细绳最桌面长，并用此绳（包括到钩码重心）、钩码、铁架台做成单摆，由秒表

测出其振动周期T1;同理量桌面宽，做单摆，测出周期T2.答案：S二

试题展示

1.一单摆的摆长为L,摆球的质量为叫原来静止，在一个水平冲量I作用下开始

摆动.此后，每当摆球经过平衡位置时，便给它一个与其速度方向一致的冲量I,求摆球

经过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到a?（a这50,不计阻力，所施冲

量时间极短）

解析：设摆球经过平衡位置的次数为n,则摆球达最大偏角a时需用时间

TT

t=（n-1）一十.......①

24

由动量定理和机械能守恒定律得：nl=mv.....②

Vzmv'=mgl（1—cos«）......（3）

单摆周期7=2万④

联立①一④式得:

第三单元波的性质与波的图像

【例1】一简谐横波的波源的振动周期为1s,振幅为Icrn,波速为Im/s,若振源质

点从平衡位置开始振动，且从振源质点开始振动计时，当t=0.5s时（）

A.距振源外入处的质点的位移处于最大值B.距振源外入处的质点的速度处于最大

值

C.距振源％入处的质点的位移处于最大值【）.距振源％入处的质点的速度处于最大值

解析：根据题意，在0.5s内波传播的距离Ax=vt=0.5m.即△x4U.也就是说,

振动刚好传播到吸人处，因此该处的质点刚要开始振动，速度和位移都是零，所以选项C、D

都是不对的，振源的振动传播到距振源％、位置需要的时间为T/4=0。25s,所以在振源开始

振动0.5s后.％入处的质点，振动了0.25s,即1/4个周期，此时该质点应处于最大位

移处，速度为零.答案：A

规律方法

1.机械波的理解

【例2】地震震动以波的形式传播，地震波有纵波和横波之分。

（1）图中是某一地震波的传播图，其振幅为A,波长为入，某一时刻某质点的坐标为（入，

0）经1/4周期该质点的坐标是多少？该波是纵波还是横波。

A.纵波（5X/4.0）B,横波（入，-A）

C.纵波（入，A）D.横波（5X/4.A）

（2）若a、b两处与c地分别相距300km和200km。当C处地下15km处发生地震，

则

A.C处居民会感到先上下颠簸，后水平摇动

B.地震波是横波

C.地震波传到a地时，方向均垂直地面

D.a、b两处烈度可能不同

解析：（1）由题图知，该地震波为横波，即传播方向与振动方向垂直。

某质点的坐标（入，0）即为图中a点，经1/4周期，a点回到平衡位置下面的最大位移处,

即位移大小等于振幅，坐标为（入，-A）,（水平方向质点并不随波逐流）。故答案为B

（2）由于地震波有横波、纵波之分，二者同时发生，传播速度不同而异，传到a、b两处，由

于距离，烈度也当然不同，故答案为A.D。

【例3】1999年9月台湾南投地区发生了里氏7・4级大地震，己知地震中的纵彼和横波在

地表附近的传播速度为9.lkm/s和3.7km/s,在某地的观测站中，记录了南投地震的

纵波和横渡到达该地的时间差5.4S.

（1）求这个观测站距南投的距离.

（2）观测站首先观察到的是上下振动还是左右晃动？

解析：（1）设观测站距南投的距离为S,则一=t,s=t=34km

（2）因为纵波先到观测点，因而先观察到的是左右晃动。

2.质点振动方向和波的传播方向的判定

【例4】如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在X轴上的距离s=30m,波沿

x轴正方向传播，当a振动到最高点时b恰好经过平衡位置，经过3s,波传播了30叫并且

a经过平衡位置，b恰好到达最高点，那么.

A.这列波的速度一定是10m/s

B.这列波的周期可能是0.8s

C.这列波的周期可能是3s

D.这列波的波长可能是24m

解析：因波向外传播是匀速推进的，故丫=A5/AtGOm/s,设这列波的振动周期为T,

由题意知经3s,a质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2=3（n=l,2……）

另由v="T得波长入=,（n=0,1,2....）

在n=2时，对应的波长入=24m；在n=7时，T=0.8s.故选项A.B.D正确.答

案：ABD

点评：本题在写出周期T的通式时即应用了“特殊点法”，对a质点，同波峰I可到

平衡位置需T/4时间，再经T/2又回到平衡位置……，这样即可写出T的通式.当然，若

考虑质点b,也能写出这样的通式（问时须注意到开始比b怡好经过平衡位置，包括向上通

过平衡位置和向下通过平衡位置这两种情况）.

【例5】一列波在媒质中向某一方向传播，图所示的为此波在某一时刻的波形图，并

且此时振动还只发生在M、N之间.此列波的周期为T,Q质点速度方向在波形图中是向下

的，下列判断正确的是（）

波源是M,由波源起振开始计时，P质点已经振动的时间为T；

B.波源是N,由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为3T/4

C.波源是N,由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T/4。

D.波源是M,由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T/4

解析:若波源是此则由于Q点的速度方向向下，在Q点的下向找一相邻的质点，这样的质

点在Q的右侧，说明了振动是由右向左传播，N点是波源，图示时刻的振动传到M点，P与

M点相距人/4,则P点已经振动了T/4.故C选项正确。

点评：本题关键是由质点的运动方向确定波的传播方向，从而确定波源的位置.

【例6】如图所示，0为上下振动的波源，振动频率为100Hz,它P所产生的横波同时

向左、向在传播.波速为80m/s,M、N两质点距波源的距离分别为0M=17.4m,0N=16.

2m,当波源通过平衡位置向上振动时，M、N两质点的位置分别为（）

A.M点在波峰，N点在波谷；B.M、N两点均在波峰

C.N点在波峰，M点在波谷；D.N两点均在波谷

解析：由题意可知该列波的波长为入=v/f=80/100m=0.8m.

M、N两点与波源的距离分别为

0M=17.4=（21+3/4）入，

0N=16.2=（204-1/4）A.这说明M、N两点为反相点，当波源（）在平衡位置向

上振动时波形图如图所示：图中的P点与M点是同相点，Q点与N点是同相点，所以M在波

峰，N点在波谷，A选项正确

3.已知波速V和波形，画出再经At时间波形图的方法.

【例7】图是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。已知波是沿x铀正方向传播，波

速为4m/s,试计算并画出经过此时之后1.25s的空间波形图。

解析：由波形图已知A=0.08m,由T=入/v=0.08/4=0.02s,经过t=l.25s,即相当于

1.25/0.02=62.5个周期,而每经过一个周期,波就向前传播一个波长。经过62.5个周期，波

向前传播了62.5个波长。据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了

整数倍个波长，而原有波形不会发生改变,所以可以先画出经过1/2周期后的波形，如图。

再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图。

【例8】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。已知波速v=0.5m/s,画出该

时刻7s前及7s后的瞬时波形图。

解析：X=2m,v=0.5m/s,=4s.所以⑴波在7s内传播的距离为x=vt=3.5m=7入/4,⑵质点

振动时间为7T/4o

方法1波形平移法：现有波形向右平移可得7s后的波形；

现有波形向左平移3%X可得7s前的波形。

由上得到图中7s后的瞬时波形图（粗实线）和7s前的瞬时波形图（虚线）。

方法2特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊

点（如平衡点和峰点）在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。请读者试着自

行分析画出波形。

【例9】一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q

两质点。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t,Q质

点第一次运动到波谷。则t的可能值（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

解析：由题意：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符

合这一条件的波形图有4个，如图所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可

能值有4个。故D选项正确。

【例10］一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P和Q的振动图象分别用图中

的实线和虚线表示，若P点离振源较Q点近，则该波的波长值可能为多少？若Q点离

振源较P点近，则该波的波长值又可能为多少？

分析：由图可知，T=4s,P近，波由P向Q传，P先振动，Q后振动，(t=Kt+3T/4,所以，

SPQ=k(+3(/4,则

k=0,1,2(

若Q近，波由Q向P传，Q先振动，P后振动，(t=Kt+T/4,所以，WQ=k(+(/4,则

k=0,1,2(

4.已知振幅A和周期T,求振动质点在At时间内的路程和位移.

求振动质点在At时间内的路程和位移，由于牵涉质点的初始状态，需用正弦函

数较复杂.但At若为半周期T/2的整数倍则很容易.

在半周期内质点的路程为2A.若At=n•T/2,n=1.2.3……，

则路程s=2A・n,其中n=.

当质点的初始位移(相对平衡位置)为xl=xO时，经T/2的奇数倍时x2=-x0,经T/2

的偶数倍时x2=x0.

【例11］如图所示，在xOy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐振动横波,波速为lm/s,

振幅为4cm,频率为2.5Hz,在t=0时刻,P点位于其平衡位置上方最大位移处，则距P点为0.2m

的Q点▲

A.在0.1s时的位移是4cm;7-

B.在0.Is时的速度最大；-।，

C.在0.1s时的速度向下；QZ~又7~一

D.在0到0.1s的时间内路程是4cm;-Q

解析：％=%•=%5=04'〃，P与Q相距入/2,先画出若干个

波长的波形，经过0.1s也就是T/4后,Q点将回到平衡位置,且向上运动,B项正确;在0到

0.1s时间内通过的路程为振幅，即4cm,D项正确

拓展:若求经At=2.5s时Q的路程和Q的位移,如何求？

试题展示

1..一列简谐横波沿x轴传播，周期为T,t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于

x=3m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2.5m,xb=5.5m,

则

A.当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷

B.t=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动

C.P3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动

D.在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同

答案：C

解析：由图可看出波长为4m,t=0时刻x=3m处的质点向上振动，可得该波向左传播。

将整个波形图向左平移L5nl时，a质点到达波峰，此时b质点正好在平衡位置，与t=0时

刻平衡位置在7m处的质点振动状态一样，故a质点到达波峰时，b质点正在平衡位置并向

上振动，A错；将图像整体向左平移1m,即波传播T/4时，a的振动状态与与t=0时刻平衡

位置在3.5m处的质点振动状态一样，即处在平衡位置上方并向y轴正方向运动，B错；将

图像整体向左平移3m,即波传播3T/4时，a的振动状态与与t=0时刻平衡位置在9.5m处

和1.5m的质点振动状态一样，即处在平衡位置下方并向y轴负方向运动，C对：a、b质点

相隔3叫即相差3T/4,速度相同的质点应该在半周期内才会出现，故D错。

2.一列简谐横波沿x轴正方向传播，振幅为A°t=O时，平衡位置在x=0处的质元位

于y=0处，且向y轴负方向运动；此时，平衡位置在x=0.15m处的质元位于y=A处.该波

的波长可能等于

A.0.60mB.0.20mC.0.12mD.0.086m

答案：AC

解析，因为波沿正方向传播，且