高中数学知识点专题复习及练习专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式

精编高中数学知识点专题复习及练习

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、

复数、算法、合情推理、不等式

必考点一集合、常用逻辑用语

［高考预测］——运筹帷幄

1.以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间的交集、并集

及补集的基本运算.

2.利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围.

3.考查全称命题、特称命题的否定，以及全称命题与特称命题的真假判断.

4.考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向

量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题.

［速解必备］——决胜千里

1.设有限集合A,card(A)=〃(〃£N*),则

(1M的子集个数是2〃；(2)4的真子集个数是2，一1;

(3)A的非空子集个数是2“一1;(4)A的非空真子集个数是2〃一2.

2.(l)(CRA)nB=/?<=>ficcRA;

(2)AU8=80AGBoAnAA;

(3)Cu(AUB)=(Cu4)n(CuB);

(4)Cu(4nB)=(Cu4)U(Q，B).

3.若〃以集合A的形式出现以集合B的形式出现，即A="磔/)},B=30x)},

则关于充分条件、必要条件又可叙述为：

⑴若AG8,则〃是1的充分条件;

⑵若A3B,则〃是夕的必要条件；

⑶若4=8,则〃是q的充要条件.

［速解方略1——不拘一格

类型一集合的概念及运算

[例1]⑴已知集合A={-2,—1,0,1,2},8={疝九-1)(%+2)<0},则4。5=()

A.{-1,0)B.{0,1}

C.{—1,0,1}D.{0,1,2)

解析：基本法：化简集合丛利用交集的定义求解.

由题意知B={x[—所以ACB={-1,0}.故选A.

速解法：验证排除法：

V-1GB,故排除B、D.

Il赳，・・・1防08,排除C.

答案：A

⑵已知集合A={0」,2},则集合B={x—)廿)七川中元素的个数是()

A.1R.3

C.5D.9

解析：基本法：用列举法把集合3中的元素一一列举出来.

当x=0,y=0时，x—y=0;当x=0,y=1时，x—y=-1;

当x=0,y=2时，x—y=—2;当x=l,y=0时，x—y=1;

当x=1,y=1时，x-y=0;当x=1,y=2时，x—y=-1;

当x=2,y=0时，x-y=2;当x=2,y=1时，x—y=1;

当x=2,)，=2时，x-y=0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0,-1,

-2,1,2,共5个.故选C.

速解法一：排除法：估算x—y值的可能性，排除不可能的结果.

Ax—y=±l,x—y=±2.

B中至少有四个元素，排除A、B,而D选项是9个元素.

即3x3更不可能.故选C.

速解法二：当x=y时,x-y=0;

当工分时，x与y可以相差1,也可以相差2,即x-y=±l,x-y=±2.

故8中共有5个元素，8={0,±1,±2).故选C.

答案：C

错误！

。自我挑战)

1.设全集U={x£N*k*},集合A={1,4},B={2,4),则0/(八a3)=()

A.{1,2,3)B.{1,2,4)

C.{1,3,4}D.{2,3,4}

解析：基本法：本题主要考查集合的基本运算.

因为U={1,2,3,4},AAB={4},所以Q(AClB)={123},故选A.

速解法：・・Nri3={4}.・・・44®Afia,排除B、C、D只能选A.

答案：A

2.已知集合人={123},8={加2<9},则An8=()

A.{-2,—10,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2)

C.{1,2,3}D.{1,2}

解析：基本法：(直接法)先化简集合S再利用交集定义求解.

Vx2<9,,••一3<xv3,：.B={x|-3<r<3}.

乂4={1,2,3),

・・・4n/?={1,2,3}D任|—3<x<3}={1,2},故选D.

速解法：(代入检验法)12V9,22V9,32=9,S.AQBQA.

故"13={1,2},选D.

答案：D

类型二充分、必要条件

[例2](1)函数於)在工=其处导数存在.若p:/(xo)=O;4：x=xo是人x)的极值

点，则()

A.〃是q的充分必要条件

B.〃是夕的充分条件，但不是^的必要条件

C.，是q的必要条件，但不是夕的充分条件

D.〃既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时,

可以采用反例法.

当/。0）=。时，x=xo不一定是於）的极值点，

比如，>=工3在x=o时，F（o）=o,但在x=0的左右两侧F（x）的符号相同，因而X

=0不是_y=x3的极值点.

由极值的定义知,x=xo是/⑶的极值点必有八处）=。.

综上知，〃是夕的必要条件，但不是充分条件.

答案：c

（2）”［一季:}'是"函数尸/用）为单调递增函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：基本法：若函数y=sin（x+J为单调递增函数，贝［一］+2A兀4々兀，

kj

3兀7T

B|J-+2^KSV<^4-2kit,kGZ

从而函数）=5皿（工+2的单调递增区间是一手十2依，（+2%兀（A0Z）.

'1•*JtI-

因此若司-季力，则函数尸sinQ+灯为单调递增函数；

若函数尸sinQ+胃为单调递增函数=/—乎，•

所以“国一斗，升是“函数尸sinQ+9为单调递增函数”的充分不必要条件.故

选A.

速解法：当-y,（时=y=sinQ+力为增函数，

但y=s（+）为增函数囿期L/x+如一,外=/%《一苧，7•

'I*IL-J4」I—II—

答案：A

方略点评：1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关系.第（1）题采

用了特例。=炉）验证，第（2）题采用了“二”形式进行简单推理.

2.先后顺序：%的充分不必要条件是8”是指8能推出A,旦A不能推出B;而

%是B的充分不必要条件”则是指A能推出8,且8不能推出A.

3.准确转化：若㈱P是㈱^的必要不充分条件，则〃是q的充分不必要条件；

若㈱〃是㈱9的充要条件，那么〃是4的充要条件.

❹自我挑战）

1.已知XWR,则匕2-3x>0”是。-4>0%勺（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：基本法：判断N—3x>0=x-4>0还是x—4>0=12—3x>0.

注意至ijx2—3x>gxvO或x>3,x—4>0=工>4.由/—3x>0不能得出x—4>0;反过

来，由x-4>0可得出炉一3工>0,因此匕2—3Q0”是5-4>0”的必要不充分条件.故

选B.

答案：B

速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系.如x=4时，满足/一3x>0,

但不满足x—4>0,即不充分.

若x—4〉0,则x（x—3）>0,即必要.故选B.

答案：B

2.已知直线。，h分别在两个不同的平面a邛内,则“直线a和直线b相交”是“平

面«和平面p相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断.由题意知

aua,bup,若明人相交，则〃，匕有公共点，从而％夕有公共点，可得出。，

尸相交；反之，若。，A相交，则。，〃的位置关系可能为平行、相交或异面.因

此“直线Q和直线b相交”是“平面a和平面P相交”的充分不必要条件.

答案：A

类型三命题判定及否定

[例3]⑴设命题p：扪WN,标>2“，则㈱〃为()

A.V〃WN,n2>2HB.3/?eN,n2<2n

C.V/?N,n2<2nD.m〃£N,〃2=2"

解析：基本法：因为呵r£M,〃(幻"的否定是'VrEM,《p(x)”,所以命题叼〃£

N,序>2"的否定是>〃£N,H2<2W，\故选C.

答案：C

⑵已知命题〃：Vx£R2y3,命题q:玉ER,x3=]_x2,则下列命题中为真命

题的是()

A.pf\qB.(㈱p)/\g

C.〃八代弟。)D.皤〃)八皤4)

解析：基本法：当x=0时，有2*=3"不满足2y3”,・・・p:解£R,2y3%是假命

题.

如图，函数y=%3与y=l-—有交点,即方程硬=1一N有解,

:・q:3x^R,/=1—/是真命题.

・・・P八夕为假命题，排除A.

丁㈱〃为真命题，，(㈱P)A^是真命题.选B.

速解法：当工=0时，不满足2工<¥,・•・〃为假，排除A、C.利用图象可知，q为

真，排除D,必选B.

答案：B

方略点评：1基本法是具体判断P,㈱P,q,^4的真假.

速解法是利用“当P、9全真时，〃Aq为真”的道理，利用逻辑关系排除.

2要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证px成

立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.

3要判定一个特称存在性命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元

素加，使得pxo成立即可；否则，这一特称存在性命题就是假命题.特别注意：命

题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命

题的结论.

❹自我挑战）

1.已知命题p：mxWR2r＞3工；命题q:Vx£（（）,tanx＞sinx,则下列是真

命题的是（）

A.微p）八qB.（㈱p）V（㈱q）

C.〃八依弟q）D.pV（^q）

解析：基本法：先判断命题P、q的真假，然后根据选项得出止确结论.

当x=-l时，2]＞3-1,所以〃为真命题；当x£（0,m时，tanLsinx=

sinx1-cosx

――—＞0,所以q为真命题，所以是真命题，其他选项都不正确，

故选D.

速解法：〃为真时，〃或任何命题为直，故选D.

答案：D

2.已知命题p:3xeR,Iog2（3v+l）＜0,则（）

A.〃是假命题；㈱〃：VxeR,Iog2（3v+1）＜0

B.〃是假命题；㈱〃：VxGR,log2（3xH-1）＞0

C.〃是真命题；㈱p:VxeR,log2（3^+1）＜0

D.〃是真命题；㈱〃：VxWR,Iog2（3v+1）＞0

解析•：基本法：本题主要考查命题的真假判断、命题的否定.

V3x＞0,/.3X+1＞1,则叶蒯3"+1）＞0,，P是假命题;㈱P：VxeR,log2（3Y

+1）＞0.故应选B.

答案：B

［终极提升］——登高博见

选择题、填空题的解法一直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、

定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得

方法诠释出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出

相应的选择，从而确定止确选项的方法.

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

适用范围

解题规律基本法，单刀直入

限时速解训练一集合、常用逻辑用语

（建议用时40分钟j

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1.已知全集U={123,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则54=()

A.{1,356}B.(2,3.7)

C.{2,4,7)D.{2,5,7)

解析：选C由补集的定义,得Cu4={2,4,7}.故选C.

2.已知集合A={.心=|x|-1,x£R},B={x\x>2],则下列结论正确的是()

A.—3£AB.3cB

C.AC\B=BD.AUB=B

解析：选C.由题知A={)，|比一1},因此4皿={4仑2}=5,故选C.

3.设集合用=口片=门，N=31gxW0},则MUN=()

A.[0,1]B.(0,1]

c.[0,1)D.(—8,1]

解析：选A.M={x|x2=x}={o,i},N={x|lgr<0}=

W(Kr<l},MU7V=[0.I],故选A.

4.集合A={0,2,a},4={1,a2},若AU8={0,1,2,4,16},则〃的值为()

A.0B.1

C.2D.4

解析：选D.因为A={0,2,〃},B={1,〃2},

AU8={0,1,2,4,16},

«2=16,

所以则〃=4.

4=4,

5.已知a£R,则％>2”是成立的()

A.充分不必要条件

R.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.因为。>2,则。2>2〃成立，反之不成立,所以“〃>2”是、2>北”成

立的充分不必要条件.

6.已知集合4={z£C|z=l—2ai,a」R},B={zEC||z|=2},则ACB等于()

A.{1+亚1一血}B.{S-i}

C.{1+23ij—2#i}D.{1一病

解析：选A.问题等价于|1—2〃i|=2,解得。=土与.故选A.

7.已知命题p：对任意x>0,总有e?l,则^〃为()

A.存在xo三0,使得emVl

B.存在xo>O,使得exoVI

C.对任意x>0,总有厘〈1

D.对任意烂0,总有e*Vl

解析：选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p:对任意x>0,总

有的否定㈱〃为：存在xo>O,使得叱0cl.故选B.

8.已知命题p:Bxo^R,tan.ro=1,命题q:R,(>().下面结论正确的是()

A.命题"p八"'是真命题

B.命题“p八(㈱4)”是假命题

C.命题“(㈱p)Vd'是真命题

D.命题“依弟p)八(㈱<?)”是假命题

解析：选D.取犬0=彳，有tan：=l,故命题〃是真命题；当x=()时，/=(),故命

题q是假命题.再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的.

9.给出下列命题：

①不等式/+21>4]一3均成立；

②若k)g2X+logv2>2,则x>1;

③“若心力>0且cVO,则，?的逆否命题；

④若〃旦4为假命题，则P,夕均为假命题.

其中真命题是()

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

解析：选A.①中不等式可表示为(工-1)2+2>0,恒成立；

②中不等式可变为1。期+4工2,得工>1;

KJL^.\

③中由〃>b>0,得沼,而CVO,所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为

真；

④由〃口4为假只能得出〃，c/中至少有一个为假，④不正确.

10.设A,8是两个非空集合，定义运算4X8=3X£AU8,且X£ACW}.已知4

2

={x^=y/2x—x)>3={比，=2>x>0],则AxB=()

A.[0,1]U(2,+8)B.[0,l)U[2,+oo)

C.[0,1]D.[0,2]

解析：选A.由题意得4={x\2x-^>0]={.r|0<r<2),B={力>1},所以AUB=[0,

+8),4n8=(1,2],所以4X8=[0,1]或(2,+s).

11."直线+〃与圆/+产=1相交，，是*<〃<］，，的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选B.若“直线y=x+b与圆/+炉=|相交，则圆心到直线的距离为仁为

<1,即I例<啦，不能得到()</?<1;反过来，若()</.<1,则圆心到直线的距

离为"=鬟VI,所以直线与圆/+尸=1相交，故选B.

12.下列命题正确的个数是()

①命题Fxo£R,看+1>3X0”的否定是,9+1s3工，，；

②“函数./3=cos2or-sin2aK的最小正周期为兀”是“〃=1”的必要不充分条件；

③/+Z吟分在X£［1,2］上恒成立=(9+2x)min>(at)max在X£［1,2］上恒成立；

④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是％协VO”.

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B.易知①正确；因为/a)=cos2or,所以核=兀，即。=±1,因此②正

确；因为x2+2i->ar在［1,2］上恒成立=〃力+2在xW［1,2］上恒成立=g。+

2),„in,%e［i,2］,因此③不正确；因为钝角不包含180。，而由〃协<0得向量夹角

包含180。，因此“平面句量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“〃力VO且〃与〃

不反向”，故④不正确.

二、填空题(把答案填在题中横线上)

13.若关于x的不等式|x—刑<2成立的充分不必要条件是2%W3,则实数〃?的取

值范围是________.

解析：由W—〃?|<2得一2<x—m<2,即机一2<x<m+2.依题意有集合｛x|2Sv<3｝是｛x|m

in—2<2

-24〈加+2｝的真子集，于是有.、,由此解得1<〃2<4,即实数〃?的取值

〔小+2>3

范围是(1,4).

答案：(1,4)

14.若命题勺xoWR,.诏―2ro+壮0”是假命题,则m的取值范围是_______.

解析：由题意，命题“VxER,/一〃十根>(r是真命题，故/=(-2)2—4〃?<0,

即m>1.

答案：(1,+00)

15.已知p:3xo^R,//iro+2<O,q:VxWR,x2—2/?ir+1>0,若为假命

题，则实数机的取值范围是________.

解析：因为是假命题，

所以〃和4都是假命题.

由p:3.V0eR,加诏十200为假命题知，

㈱〃：VxGR,加/+2>0为真命题，

所以"G0.①

由q:VxCR,——2〃a+1为假命题知，

糠q:mxoER,.超一2mm+1W0为真命题，

所以/=(-2m)2—4>0=>m2>1=>m<-1或m>1.②由①和②得m>\.

答案：［1,+8)

16.下列四个命题中，真命题有.(写出所有真命题的序号)

①若〃，b,c£R,则“讹2>〃理”是%>夕'成立的充分不必要条件；②命题“加仁

R,舟+xo+l〈O”的否定是N+x+1汐;③命题“若昨2,则於2或烂

3

一2”的否命题是“若RV2,则一2VXV2”；④函数於)=lnx+x=在区间(1,2)上

有且仅有一个零点.

解析：①若。=0,则不论。，〃的大小关系如何，都有。理=/25，而若adAbc2,

则有心生故“觉2〉/^”是七>b”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特

称命题的否定是全称命题，故命题WxoWR,看+xo+lVO”的否定是N

+x+l>0-,故②为真命题；③命题“若p,则夕”形式的命题的否命题是“若女第〃，

则㈱立故命题“若I求2,则应2或后—2”的否命题是喏RV2,则—2OV2”,

故③为真命题；④由于川加2)=(历1+1一||卜］2+2—9=(一3卜,2+9<0,

33

则函数/U)=lnx+x—5在区间(12)上存在零点，又函数/U)=lnx+x—5在区间

3

(1,2)上为增函数，所以函数"r)=lnx+x—5在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故

④为真命题.

答案：①②③④

必考点二平面向量、复数运算

I高考预测I——运筹帷喔

1.用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运算.

2.复数的代数形式的四则运算及几何意义.

［速解必备］——决胜千里

1.向量共线的充要条件：。为平面上一点，则48,产三点共线的充要条件是

加=尢温十Q加(其中21-1-22=1).

2.三角形中线向量公式：若P为AQAB的边AB的中点，则向量力与向量加、

加的关系是0=：(次+仍).

3.三角形重心坐标的求法：G为"8C的重心oGA+融+Gt=

(XA+戈8+xcyA+ys+yc

I3,3J

U\ok=ohot=otoX<^o为AABC垂心.

4.a_Lb=0b=()(WO,厚0).

5.即=1,附+】=i,*+2=_],*+3=_]

—1+i1-i

6.z・z=|z|2,(l+i)2=2i,(l-i)2=-2i,--;=i,--=-L

1—i14-i

［速解方略］——不拘一格

类型一平面向量的概念及线性运算

［例1］⑴已知点40,1),8(3,2),向量祝=(-4,-3),则向量觉=()

A.(—7,—4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：基本法：设C(x,y)y则At=(x,y-1)=(—4,-3),

x=-4

所以彳'从而成=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.

速解法：・・,加=(3,2)—(0,1)=(3,1),

反:=At一息=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

答案：A

方略点评：1.基本法是设出点C坐标，并利用祝=(—4,—3)求出点C坐标，然

后计算比的坐标.

速解法是利用向量减法的意义：就=忒-戒

2.向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量

“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解.

⑵设E,b分别为AA8C的三边BC,C4,A8的中点，则助+汽=()

A.AT)B.^AZ>

C.BtD.；泥

解析：基本法一：设At=b,则品=一，+%成=一，+5，从而曲+

过=(-1+〃)+(-g〃+b)=g(a+b)=劝，故选A.

A

BD

基本法二：如图，或或十反:=反:+或=/祀+硒

=^2Ab=Ab.

答案：A

方略点评：基本法一是利用了基本定理运算.基本法二是利用了三角形法则进行运6

❹自我挑战)

1.在等腰梯形A3C。中，加一2计,“为BC的中点，则篇/=()

131

B+

2-24-2-

31>

劝

初

C十

4-4-

解析：基本法：由于M为8c的中点，所以加十痔=全诸十初十配)

=3(初+劝十加)

=(初+g劝,故选B.

答案：B

2.已知向量〃=(6,4),Z>=(3,—2),且〃〃乩fljm=.

解析:基本法：,・7〃九・・・。=劝

即(加,4)=2(3,—2)=(32,-2A)

["2=32,

1故〃7=-6.

14=一2九

速解法：根据向量平行的坐标运算求解：

V«=(/n,4),2=(3,-2),a//b

/〃x(—2)—4x3=0

/.—2m—12=0,in=­6.

答案：一6

类型二平面向量数量积的计算与应用

[例2]⑴向量〃=(1,-1),力=(-1,2),则(2。+<以=()

A.-1B.0

C.1D.2

解析：基本法：因为2a+b=2(l,-1)4-(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所

以(2a+b)s=(l,0>(l,-l)=lx]+0x(—1)=1.故选C.

速解法:Va=(l,-I),。=(一],2),・・02=2,〃力=一3,

从而(2a+b>a=2Q2+Q・b=4—3=1.故选C.

答案：C

方略点评：1.基本法是把2〃+力看作一个向量，求其坐标，最终用坐标法求数量

积.速解法是通过展开(2。+田也分别计算。2及。”较简单.

2.当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法;

当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向

量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单.

⑵已知正方形4BCO的边长为2,E为CO的中点，则助•即=.

解析：基本法：以用、4为基底表示助和劭后直接计算数量积.

林=初+抑，Bb=Ab-Ab,

：.At：Bb=+g珂(m-砌

=\At)^—。协F=2?—~x22=2.

L4

速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解.

如图，以A为坐标原点，A8所在的直线为x轴，所在的直线为)，轴，建立平

面直角坐标系,则40,0),8(2,0),ZX0,2),凤1,2),

y

D

/.A£=(l,2),初=(-2,2),

・,•砧那=1x(—2)+2x2=2.

答案：2

方略点评：1.向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角

形的某条边求其长.

2.求非零向量明。的夹角一般利用公式cos〈％b>=儒先求出夹角的余弦

值，然后求夹角.也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更

为直观形象.

O自我挑战)

1.已知向量夙=g,芈)，就=惇，9,则NABC=()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

解析：基本法：根据向量的夹角公式求解.

,助=(;,曰)®=偿,.J,二阕1=1,蛇=1网式=3日+冬上日,

Tf丽就小

/.cosZJABC—cos<BA,BC>—-----------=­.

I砌•品I2

V00<<BA,Bt><180°,AZABC=<助,觉〉=30°.

速解法：如图，8为原点，则4

・•・ZABx=60°,-ZCfix=30°,AZABC=30°.

答案：A

2.已知两个单位向量的夹角为60。,。=柩+(1—。力.若6・。=0,则/=.

解析：基本法：・・・"c=0,

，万［/。+(1—。。］=0,一山+(1—1)•力2=0,

又・・・［0|=网=1,<a,b>=60。，

1—t=0,t=2.

速解法：由，+(1—。=1知向量。、b、。的终点人B、C共线，在平面直角坐标

系中设a=(l,0),坐)，则,=白，一空).

把a、b、c的坐标代入c=m+(l—。b,得1=2.

答案:

类型三复数的代数运算及儿何意义

1+z

［例31⑴设复数Z满足匚;=i,则0=(

A.1B.也

C/V3

1+z

解析：基本法：由已知==i，可得

i-1i-12

i+1-i+li—1

二i,・・.|z|=|i|二l,故选A.

-2

1+i

速解法：：L=i,，z=i,・・・|z|=l.

1—i

答案：A

方略点评：1.基本法是利用解方程思想求出未知数z.

速解法是利用了一个常用特殊运算结果直接得出z.

2.复数的代数形式的运算，类比于多项式的乘除法与合并同类项，只是利用z1

=1邛，把i2换为一1,复数除法的关键是将分母实数化.

3.与复数的模、共扼复数、复数相等有关的问题，可设z=a+bi(明力£R),利

用待定系数法求解.

(2)若。为实数，且(2+〃i)(a—2i)=-4i,则。=()

A.-1B.0

C.1D.2

解析：基本法：・・,(2+〃i)m—2i)=-4i=4a+m2-4)i=-4i,

4。=0,

・•・24/解得。=0.

4=—4,

速解法：检验法：将〃=0代入适合题意，故选B.

答案：B

方略点评：1.基本法是利用复数相等的条件求解，速解法是代入检验排除法，较

简单.

2.利用复数相等转化为实数运算是复数实数化思想的具体应用，是解决复数问

题的常用方法.

O自我挑战)

1.设(i+2i)m+i)的实部与虚部相等，其中。为实数，则。=()

A.-3B.-2

C.2D.3

解析：基本法：先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解.

(l+2i)(a+i)=a—2+(l+2〃)i,由题意知a—2=l+2a,解得。=—3,故选A.

答案：A

2+〃i

2.若〃为实数，且:一=3+i,则〃=()

1+1

A.-4B.-3

C.3D.4

解析：基本法：由已知得2+〃i=(l+i)(3+i)=2+4i,所以。=4,故选D.

答案：D

［终极提升］——登高博见

速解选择题方法一排除法

排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除

法的前提条件是答案唯一，具体的做法

是采用简捷有效的手段对各个备选答案

方法诠释

进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干

扰项逐一排除，从而获得正确结论.

这种方法适用于直接法解决问题很困难

适用范围或者计算较烦琐的情况.

(1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采

用排除法，能剔除几个就先剔除几个.

⑵允许使用题干中的部分条件淘汰选

项.

(3)如果选项中存在等效命题，那么根据

规定——答案唯一，等效命题应该同时

解题规律

排除.

(4)如果选项中存在两个相反的或且不

相容的判断，那么其中至少有一个是假

的.

⑸如果选项之间存在包含关系，要根据

题意才能判断.

限时速解训练二平面向量、复数运算

(建议用时40分钟)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1.若复数z=i(3—2i)(i是虚数单位)，则7=()

A.2-3iB.2+3i

C.3+2iD.3-2i

解析：选A「・・z=i(3—2i)=3i—2i2=2+3i,所以7=2—3i,故选A.

2.在"BC中，(说+用则A4BC的形状一定是()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：选C.由(比+助)得(或+配一双＞At=0,则2网・祝=0,即

BAVAC,故选C.

1—p

3.已知丁=1+i(i为虚数单位)，则复数z=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

1-P-2i-2il-i

解析：选丁”~~

1+11+1l+il—i

4.已知菱形48CQ的边长为a,ZABC=60°,贝J就・e=()

A3,n3

A.—~«2B.—9

33

C-tz2D-tz2

I3

解析：选。.即8=俄+曲祖=就。+亦=于12+用=子，

5.已知i是虚数单位，I是复数z的共腕复数，若(l—i)I=2,则2为()

A.1+iB.1-i

C.2+iD.2-i

-221+i

解析：选B.依题意得2=";~：=：~——=14-i,.*.z=l-i,选B.

1—ii—il+i

6.若向量初=(2,4),犹=(1,3),则觉=()

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.(3,7)D.(-3,-7)

解析：选B.因为息=(2,4),祀=(1,3),所以就=求一牯=(1,3)—(2,4)=(-1,

-D,故选B.

fl+i)

7.i为虚数单位，则丁一201』()

A.—iB.—1

C.iD.1

解析:选B.因为n丁+一n2。18=61。09=(_"。。9=—1.

V-V

8.已知点4-1/)、8(1,2)、C(-2,—1)、8(3,4),则向量初在仍方向上的投

影为()

A.岁B.挛

。岑口.—平

解析：选A.油=(2,1),6=(5,5),|仍|=5也

故息在e上的投影为也辿=号=泳.

\cb\5啦2

9.设复数Z1和Z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且Zi=3-2i,则Z|・Z2

A.一5+12iB.-5-12i

C.-13+12iD.-13-12i

解析：选A.z】=3—2i,由题意知Z2=-3+2i,

.•.zi-Z2=(3-2i)-(-3+2i)=-5+12i,故选A.

10.在△ABC中，|露+&1=|初一而，AB=2,AC=\,E,产为BC的三等分

点，则仍冷=()

8

A9

C”-26

9叼

y

5

4-

3

了

@1234x

解析：选B.由|曲+和=|加一独，化简得加.祀=(),又因为43和AC为三角

形的两条边，它们的长不可能为0,所以息与At垂直，所以aABC为直角三角

形•以人。所在直线为工轴，以人〃所在直线为)，轴建立平面直角坐标系，如图

所示,则A(0,0),8(0,2),C(l,0),不妨令£为8c的靠近C的三等分点,则

痣所以|),#=Q所以电m=|x涌x;学

z2—2z

11.已知复数z=l+i,则一「=()

Z—1

A.-2iB.2i

C.-2D.2

z2-2z14-i2-21+i-2

解析：选B..=—:—=-=2i,故选B.

12.设x,y£R,向量。=//),b=(l,y),c=(2,-4),且。JLc,b//c,则|a

+加一()

A.«B.V10

C.2#D.10

2x-4=0(x=2,

解析：选B.由“y

lb//c2y+4=0[y=~2f

.*.a=(2,l),b=(l,—2),a+b=(3,—1),

・・・1。+例=而，故选R

二、填空题(把答案填在题中横线上)

13.已知向量％I满足闷=1,1=(2,1),且设已b=0(/l£R),则囚=.

解析：・・・〃+》=o,即析=一瓦・・・川同=固.

V|a|=l,\b\=y[5,.*.|Z|=,\/5.

答案：乖

14.设复数〃+oim,〃仁R)的模为则m+》i)m—历)=.

解析：复数。+8i(%Z?£R)的模为«*+82=他,则“2+力2=3,则3+33一人。

=a2—(历户=a1—=雇+从=3.

答案：3

15.已知向量8_L油，181=3,则次♦次=

解析：・・,汉，劝，，物•劝=0,

即国.（仍-况）=0,

:•乱确=永=9.

答案：9

16.i是虚数单位，若复数（1-2岫+。是纯虚数，则实数。的值为

解析：・・・(1-2i)("i)=2+"(l—2〃)i为纯虚数,

11一2"0,

[2+。=0,解得。=—2.

答案：一2

必考点三算法、框图与推理

［高考预测］—运筹帷幄

1.根据框图的程序进行结果的求解，判断条件的补写、完善过程.

2.以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理.

［速解必备1——决胜千里

1.程序框图中有S=S+>i=i+l时，表示数列裂项求和.

21—1214-1

2.程序中有“S=S+2〃+%〃=〃+1”表示等比数列与等差数列求和.

3.三角形数N（几3）=$2+）（第〃个三角形数）

四边形数N（〃,4）=〃2（第〃个四边形数）

五边形数N（〃,5）=多,十一以第〃个五边形数）

k边形数幻=仔_1）〃2_咚_2）*3X第n个k边形数）

4.类比推理常见的类比内容

平面几何中的点-空间几何中的线

平面几何中的线一空间几何中的面

平面几何中的三角形1空间几何中的三棱锥

平面几何中的圆一空间几何中的球

［速解方略］—不拘一格

类型一求算法与框图的输入或输出值

［例1］(1)执行下面的程序框图，如果输入的，=0.01,则输出的〃=()

A.5B.6

C.7D.8

解析：基本法：逐次运行程序，直至输出几

运行第一次：S=l-5=]=0.5,根=0.25,n=1,

S>0.01;

运行第二次：5=0.5-0.25=0.25,初=0.125,〃=2,

SX101;

运行第三次:5=0.25-0.125=0.125,m=0.0625,n=3,S>0.01;

运行第四次：5=0.1250.0625=0.0625,侑=0.03125,n=4,S>0.01;

运行第五次:5=0.03125,m=0.015625,n=5,S>0.01;

运行第六次：5=0.015625,加=00()78125,〃=6,

SX).O1;

运行第七次:5=0.0078125,m=0.00390625,〃=7,

SV0.01.

输出〃=7.故选C.

1

速解法：山框图可知5=122—O3-24--2Z,

••・2也U0,・"的最小值为7.

答案：C

方略点评：1.基本法是按程序一次次循环计算，当不满足条件时跳出循环得出结

果.

2.速解法是归纳S=S一m的运算规律利用数列求和进行估算，稍简单一点.

⑵下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减

损术”.执行该程序框图，若输入的b分别为14,18,则输出的〃=()

/输入4”

A.0B.2

C.4D.14

解析：基本法：逐次运行程序，直至程序结束得出。值.

〃=14,Z?=18.

第一次循环：14彳18且14V18,8=18—14=4;

第二次循环：14彳4且14>4,14—4=10;

第三次循环：10R4且1()>4,。=10—4=6;

第四次循环：6,4且6>4,4=6—4=2;

第五次循环：2*且2V4,〃=4—2=2;

第六次循环：a=b=2,跳出循环，输出a=2,故选B.

速解法：”更相减损术”是求两个正整数的最大公约数，本题求14,18的最大公约

数，结合选项知为2,选B.

答案：B

方略点评：1.基本法是按更相减损术的运算过程逐步求解.速解法是利用更相减

损术的作用和公约数的定义直接得答案，显然简单.

2.求输出结果的题目，要认消输出变量是什么，有的是求函数值，有的是求和、

差、积、商的运算结果，有的是计数变量等.

O自我挑战)

1.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执

行该程序框图，若输入的x=2,"=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的5=()

A.7B.12

C.17D.34

解析：基本法：逐次运行程序，直到满足条件时输出$值终止程序.

输入工=2,〃=2.第一次，4=2,s=2,k=\,不满足人＞明

第二次，。=2,s=2x2+2=6,k=2,不满足

第三次，4=5,5=6x2+5=17,k=3,满足2>〃，输出s=17.

答案：C

2.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.如果输入某个正整数〃后，输

出的S£(10,20),那么〃的值为()

A.3B.4

C.5D.6

解析：基本法：依据初始条件，逐步求出S的值，判断〃的值.

山S=0,攵=1得S=l,k=2,应该为否，即2刍

=>5=14-2x1=3,攵=3为否，即39

=S=1+2x3=7,%=4为否，即45〃

=>S=1+2x7=15,k=5为是,即5>〃

综上,名〃<5,，〃=4.故选B.

速解法：先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解.

框图功能为求和，即5=1+21+2?+…+2”r.

1x1—2"

由于S=।.=2〃-1£(10,20),

1—2

.•.10<2n-l<20,.\ll<2n<21,

，〃=4,即求前4项和.

.••判断框内的条件为Q4,即〃=4.故选B.

答案：B

类型二补写、完善程序框图

[例2](1)执行如图所示的程序框图，若输出2的值为8,则判断框内可填入的

条件是()

/输出&/

.T[

35

A.s<-?B.s<~?

46

C.端？D.号

解析：基本法：由s=0,%=0满足条件，则A=2,s=3，满足条件；女=4,5=

1133I11III25

弓+7=加满足条件；2=6,$=1+/=；，满足条件；％=8,5=;+$=工，不

244401212o24

满足条件，输出攵=8,所以应填

速解法：由题意可知S=：+：+；+!=g,此时输出8,是不满足条件，故选C.

Z4OoZ4

答案：C

方略点评：基本法是按程序过程逐步判断是否满足条件速解法是归纳了s=s+土

的作用求和直接验算.

⑵阅读如下程序框图，如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为

()

A.S=2*i~2

C.S=2*

解析：基本法：当i=2时，5=2x2+1=5<1();当i=3时，仍然循环，排除D;

当i=4时，5=2x44-1=9<10;当i=5时，不满足S<1（）,即此时相10,输出上

此时A项求得S=2x5-2=8,B项求得S=2x5—1=9,C项求得S=2x5=10,

故只有C项满足条件.故选C.

速解法：由D：S=2*i+4>10,得ii3.即输出i=3即可

由B：S=2*i—1210,得i25.5与输出i=5矛盾.

・••故只有选C.

答案：C

方略点评：L基本法是根据框图的程序对i的取值验证，速解法是根据当6>10时，

输出的i值验证答案.

2.循环结构有当型循环和直到型循环.当型循环是当满足条件时执行循环体.直

到型循环是直到满足条件时才跳出循环.

3.首先看懂每个图形符号的意义和作用，其次试走几步循环体，体会循环体的

内容和功能，最后利用判断框中的条件确定循环的次数.

。自我挑战）

1.给出30个数：1,2,4,7,11,16,要计算这30个数的和.下图给出了该问题

的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（）

A./<30?和+