考研数学（数学一）模拟试卷479

考研数学(数学一)模拟试卷479

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设函数f(x)连续,除个别点外二阶可导,其导函数y=r(x)的图像如图(1),

q,曲线y=f(x)拐点的个数为r,则

A、p=g=r=3

B、p=3,q=r=2

C、p=3,q=2,r=3

D^p=3,q=2,r=l

标准答案：C

点，极值点，拐点的概念及判别法知：驻点是：x=a,c,e.因为x=a,c,e时，

f(x)=O.P=3.驻点中只有x=a,c是极值点，因为x=a,c两侧导数变号.x=e两

侧导数均负，f(x)是单调下降的，x=e不是极值点.*4是心)的连续而不可导点,

x=b两侧的导数均正，x=b也不是f(x)的极值点.q=2.(xo,f(xo))为拐点的必要条

件是:r'(xo)=O或f'(xc)不工8m时X=xo是「(X)的驻点.x=d,e是「(X)的

驻点且这些点的两侧『(X)的单调性相反即产f(x)的国形的凹凸性相反，(d,f(d)),

(e,f(e))是拐点.『(b)不三，但x=b是f(x)的连续点,x=b两侧f*(x)的单调性和

反，因而(b,f(b))也是拐点.r=3.综上分析，应选C.

②j(arctandx=arctan-'=-y-

/sin-,x/0,则//(x)dx=0,

③设/⑴④/二FT?dx=0

0,X=0,

中正确的共

有

A1个

、2

B个

、

c3个

、

D4个

、

标准答案：B

知识点解析：要逐一分析.对于①：由

广皿dx=「5+广皿dx=「』+「皿士

JQxJoxJvXJoXJoITft

可知①正确.在于

1

arctan—

②：因为'在点x=0处无定义，不能在［一1,1］上用牛顿-莱布尼兹公式,

因此②不正确.事实上

/［"an4=门

arctan

0-1

=arctan-+arctan一

TT

T9

或由于(arctan—)=----1占,因此

fT

J(arctan—jdx='=-2广占=-2w=——17

-11+xJoi+x22

易知lin^(x)=limx2&in-=0=/(0),

对于③：,7”故f(X)在［-1,1］上连续，且是奇函

g⑴=X

数=>J-1f(x)dx=0.故③正确.对于④：这里i丁在(一8,+00)连续，虽

Z♦»yI'♦«

---、dx=71nlI+k2)=+x,

是奇函数，但I.8"g(X)dx发散，因为九I丁2°故④

不正确.综上分析，应选B.

①设的收敛域为(-AM),则£与产"T的收敛域为(-乩外；

B

②设薜级数在*=-1条件收敛，则它的收敛半径&=1；

府・0

■■■

③设募级数Z3x"的收敛半径分别为"心,则£(4+Aa)z-的收敛半径

R・09・0itS0

R=min(&,R2)

中正确的个数是

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个

标准答案：B

知识点解析：此类选择题必须逐一判断.关于命题①：对幕级数

•B

£4丁，逐项积分保持收敛区间不变,但收敛域可能起变化.如£>"

一。7。的收敛域为(一1,

V--

1),但一。"十|的收敛域是[一1,1).关于命题②：若熟悉事级数的收敛性特点

立即可知该命题正确.记该辕级数的收敛半径为R.若R>1,由于

■

Vx.I*<R,ga。*”绝对收敛n

-I)"绝对收敛，与已知矛盾.若R<I,由VT.|T|>/?.£4/发敝n-I)"

ftS0.=0j«30

发散，也与已知矛盾.因此，R=l.关于命题③：当R#R2时，R=min(R|,R2),

n

于是要考察R]=R2的情形.设有级数…八"2""-八易求得它优的

£[(上+斗(一切<=£■

收敛半径为R产R2=l.但->2'的收敛半径为

R=2.因此命题不正确.综上所述，应选B.

(T"Ci

/=Id。]/(rcos*rsin6)rdr,

4、已知累次积分1-TJ。其中a>0为常数，则I可写成

⑴J.产J.RrA")dy./(x.r)dx.

f-tJ3-十

(C)/。呵R/(7)dy・6)“(为/(")也

A、

B、

c、

D、

标准答案：C

知识点解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分

/=侦

的问题.先将I表示成0由D的极坐标表示

-0《rSacosb.799―

220<r<acos9.B|Jr=x2+y2<arcosO=ax,可知

可知-y:，如右图.y

C-

^J。*

1若是先y后x的积分顺序,

则D：02，于是/山故应选

C.

5、设中，112，巾为3个。维向量，AX=0是n元齐次方程组.则()正确.

A、如果rji，r|2，都是AX=0的解，并且线性无关，则r)l，42，Q3为AX=0的一

个基础解系

如果中，"2，T]3都是AX=0的解,并且r(A)=n—3,则rp,rp，。3为AX=0的

一个基础解系

C、如果中，42,m等价于AX=0的一个基础解系则它也是AX=0的基础解系

D、如果r(A)=n-3,并且AX=0每个解都可以用中,碓，用线性表示,则中,

r)2»Q3为AX=0的一个基础解系

标准答案：D

知识点解析：A缺少n—r(A)=3的条件.B缺少中，0，也线性无关的条件.C例

如中，碓是基础解系⑴+加二中，则巾，碓，巾和M，nz等价，但是中，g阴不

是基础解系.要说明D的正确，就要证明中，碓，邛都是AX=O的解，并且线性

无关.方法如下：设四，C12，是AX=0的一个基础解系，则由条件，ai，S，

。3可以用ni，112，r)3线性表示，于是3次ni，-2，13)=1*011，D2，"3，。1，。2，

a3)>r(ai,az，as)=3,则r(r)i，目2，巾尸「(中，92,93,。1，«3)=r(ai,a?,

a3)=3,于是中，r|2，中线性无关，并且和ai,(X2，013等价，从而都是AX=0的

解.

6、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是

00'11!"11ri-I2-

(A)025(B)222(C)222•(D)—103•

-3-3」233-

-003-■333--3

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：A矩阵的3个特征值两两不同，D是实对称矩阵，因此它们都相似于

对角矩阵.C矩阵的秩为1,它的特征值都为0,其重数3>3—(C)矩阵的秩.因

此C不相似于对角矩阵.B矩阵的秩也为1,它的特征值为0,0,6,0的重数2=3

一(B)矩阵的秩.因此相似于对角矩阵.

X.J-1

7、已知随机变量9505350.5/且与X2独立.记

A={Xi=l},B={X2=lbCi={XiX2=lbC2={X|X2=-1},则

A、A,B,C］相互独立，A,B,C2相互独立

B、A,B,Ci相互独立，A,B,C2两两独立

C、A,B,Ci两两独立，A,B,C2相互独立

D、A,B,C］两两独立，A,B,C2两两独立

标准答案：D

知识点解析：由题设条件计算得P(A)=P(B户P(Ci)=P(C2)=0.5,

P(A)P(B)P(Ci)=0.125=P(A)P(B)P(C2)，

P(AB)=P(ACI)=P(BCI)=P(AC2)=P(BC2)=0.25,P(ABCi)=0.25,P(ABC2)=0,由

此验证知D正确.应选D.

8、设Xi；X2，…，Xn+i是取自正态总体N(0,的简单随机样本，记

X*=WkWn,则cov(,X()=

*iVlA4

a2

A、k

B、k+1

C、ko2

D、a2

标准答案：B

知识点解析：^由于X］,X2,…，Xn+1相

互独立,当峋时,cov(Xj,Xj)=0；当i=j时,cov(Xj,X))=G2,所以

cov区片“)=­L—^^2=鼻・

A+1故选B.

二、填空题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

9、设x>0时，Jx2f(x)dK=arcsinx+c,F(x)是f(x)的原函数，满足F(1)=O,则

F(x尸______•

八一7

标准答案：x

x

知识点解析：按题意，F(x)=fIf(t)dt.为先求f(x),将Jx2f(x)dx求导得

x2f(x)=[Jx2f(x)dx],=(arcsinx+C)

/(t)dr

(X>0).

10、函数在点Mo(l,1,1)处沿曲面2z=x?+y2在点M0处外法线

du

方向n的方向导数.

1

标准答案：T'

知识点解析：记r=〃+2+/•则1。

du1du

S■,

.「幺3'"与

乳.E2oMo在曲

面2z=x2+y2上，曲面方程改写为F(x,y,z)=0,F(x.y,z)=x2+y2-2z,M()处曲面

外法向n的方向余弦

___;r_a_d_F__(7,-1)

(cosa,co肛cosy)=口1/，-1);

I2加F|/+/+1且3。代公式得

*dudu_du\11

+石”曜+£8。)

£CO"333T,

y(«)-1-f平]市(x>0)

11、已知函数y(x)可微(x>0)且满足方程J/'J则

y(x)=.

标准答案：।~

知识点解析：这是含变限积分的方程.先将原方程两边求导，转化为常微分方程得

,7工NX

x,在原方程中令z=l得y(l)=l.于是原方程与初值问题叮(口

14=」得*当+U=“2+U,即=U2.

xdxnx

分离变量得当=业.电--J-=Inx+C,

u2xu

得C」.代小一得”自小>。).

由y(I)

等价.这是齐次方程，令

/=(r_d5

12、设有曲面S：x2+y2=a2(0<x<a),则s/'

尤

标准答案：爹’

知识点解析：用S的方程简化被积表达式，并注意S关于yz平面，zx平面均对

称，被积函数对X,y均为偶函数，于是♦’具中

Si=Sn{x>0,y>0},投影到yz平面上，

S):x=v/V-y2(0WzW«.OWvWa)

01O^rl0Oirl0of

A=100050011,

13、已知L°oi」L。o3」L()01」则A」=

•o01

1/50-4/3

标准答案：°01/3-

oioroi0101O'

因为ioo&所以io0100

ooi-oo-001-

Io014100-

又oii=014.

■ooi-■001-

于是

■010■

1/50-4/3

知识点解析:001/3

三、解答题(本题共9题，每题分，共9分。)

J=fdyf.Jl.£dx.；

14、(I)求累次积分J。J#(11)设连续函数曲)满足电)=1+2

1

LJf(y)f(y一X)dy,记I=1o】f(x)dx,求证：I=l+2j(jf(y)dyj()yf(y—x)dx,(HI)求出I

的值.

/=IT}.

标准答案：(I)将J表示成l其中D：0<y<l,y如图

=--f'(l-x4)^d(1-X4)

4Jo

y-y(*7/I=yJ

4306(D)因为f(x)=1+2fx1f(y)f(y--X)dy,所以在

[0,1]上积分上式可得I=fo'f(x)dx=l+2j()idxJx'f(y)f(y—x)dy.将累次积分表示成

二重积分后交换积分顺序，可得

=1T【〃⑷出门：=।+十巴

故，…A解得，=2.

知识点解析：暂无解析

15、求f(x,y,z)=x+y—z?+5在区域Q：x?+y2+z2s2上的最大值与最小值.

标准答案：f(x,y,Z)在有界闭区域。上连续，一定存在最大、最小值.第一

，、亚=1

步，先求f(x,y,z)在Q内的驻点.由彩=>f(x,y,z)在。内无驻点，因此

f(x,y,z)在。的最大、最小值都只能在。的边界上达到.第二步，求f(x,y,z)

在Q的边界x?+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x,y,z)在条件x?+y2+z2-2=0

下的最大、最小值，令F(x,y,z,X)=x+y—z2+5+X(x2+y2+z2—2),解方程

丝

打

"o

一

力

黑=-2=0,④

”由①,

@=>x=y,由③=>z=0或入=1.由x=y,z=0代入④=>x=y=±l,z=0.当人=1时由

-可,代入④得工=+

①_，②_，得*=y=272.因此得驻点P|(—1,-1,0),

PiLO),«卜＞周MT'T图

计算得知f(Pi)=3,

工之

f(P2)=7,f(P3)=f(p4)=T,因此，f(x,y,z)在C的最大值为7,最小值为T

知识点解析：暂无解析

16、设f(x,y)在全平面有连续偏导数，曲线积分JiJ(x,y)dx+xcosydy,在全平面与

/(x,y)dxscosydy=r2,

路径无关，且J(。•。/求f(x,y).

标准答案：(I”Lf(x,yjdx+xcosydy在全平面与路径无关<=>

—(xcosy)=即直^—cosy,

ax打dy积分得f(x,y)=siny+C(x).(口)求取，y)转化为求

yf

C(x).取特殊路径如图所不，R'”由于Mf(x,O)dx+J°cosydy=t\H|J

Jo'C(x)dx+tsint2=t2廿C(t)=2t—sint2—2t2cosr.因此f(x,y)=siny+2x—sinx2—

2x2cosx2.

知识点解析：暂无解析

ZM.S.=£%

17、设正项级数一।是它的部分

(I)证明z(=-3收敛并求和；

(口证明级数三■绝对收敛.

和.S：

标准答案：(I)级数211一荣)的部分和Tn易求出

«*

因为limS,=+8(若正项级数发放)，或■吧=S(是正数.若卫」.收

卜£(£-3=!吧乙=X若发放)，或£(£-七)1吟=

敛

X若收敛卜

亚（-1尸4=

（口）考察级数S：-IS：由Sn与an的关系：Sn=ai+a2+...+an-i+an,

将一般项*改写成只与S”有关，即

上-SR-S-i

S

an=Sn—Sn-b-S：.因正项级数的部分和数列Sn单调上

nS需一工-11I/—

（…）.

99

由题：I）E（——1■）收敛，再由比较原理知，£三收敛.

升，上式可放大成"2"T,",%因此，原

级数绝对收敛.

知识点解析：暂无解析

18、若函数f(c)在［0,1］上连续,在(0,1)内具有二阶导数，f(0)=f(l)=0,f,(x)<

0,且f(x)在［0,1］上的最大值为M.求证：(I)f(x)>0(x6(0,1))；(n)V自然数

M

n,存在唯一的Xn£(0,1),使得'("n)=7，

标准答案：(I)由题设条件及罗尔定理，

3ae(0,1),广(a)=0.由"(％)<0(xe(0,1))=.(外在(0,1)、♦/

>/，(a)=0,U<x<a,

"f'M=o.….

</*(<»)=0ta<X<1,/

n/(#)在在：\

0Ia|x

=>f(x)>f(0)=0(0<x<a,f(x)>f(l)=0(0<x<l),=>f(x)>0(xG(0,1)).(口)由题

M

设知存在XM30，1）使得f（XM尸M＞0.先证片是r（x）的某一中间值.因

f（XM）=0,由拉格朗H中值定理，存在&£（。，XM）使得

/（**）-/（0）“，、g、MM,

-----；-------=/（打），即/（-）=—＞—（n1,2,3,…).

u

亦即

这里r（x）在

岛，XM］连续，再由连续函数中间值定理。存在XnE&，X^4）C（0,1）,使得

"""♦最后再证唯一性.由尸（x）＜o（xc（o,1）尸＞r（x）在（0,1）单调减少二＞在

区间（0,1）内”a的点是唯一的，即Xn.

知识点解析：暂无解析

19、设囚，a2,。3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记尸ai+a2+a3.①

证明Y，Ay,A?、/线性无关，y,Ay,A、，A、线性相关.②设ai，a2，(13的特

征值依次为1,一1,2,记矩阵B=(Y，Ay,A2y),P=A3y,求解线性方程组

BX=p.

标准答案：(1)设四，。2，的特征值为a,b,c,由于它们两两不同，叫，。2，013

线性无关，Y=ai+a2+a3，Ay=aai+ba2+ca3»A2y=a2a1+b2a2+c2a3,

"1aa2'

IIbb2»

A,y=a3a1+b3a2+c3a3,则y,Ay,A2丫对a1，a2，Q3的表示矩阵为1cJ」其

行列式为范德蒙行列式，并且(因为a,b,c两两不同)值不为0,于是r(y,Ay,

A2y尸r(ai，012，a3)=3,因此y,Ay,A2y无关.y,Ay,A2y,A、可以用a1，

a2，(13线性表示，因此线性相关.(2)y=ai+a2+a3，Ay=ai—a2+2a3，

11V

1-11,

A2y=ai+a2+4a3»A3y=ai—a2+8a3，B=(y,Ay,A~y)=(ai,3a3)*-l24

■I-

1・1,

p=A3y=(ai，a2,a3)*-8-I则BX邛具体写出就是

11inI'

(at，。3)1-11X=(ai,a2,a3)-1,

「24」L8」由于山，a2,013线性无关，它和

11111"

1—12X=-1,

Ll14」L8」司解.解此方程组得唯一解(一2,1,2)T.

知识点解析：暂无解析

123-

A=0-1IJ

20、设二次型XTAX=X)2+4x22+x32+2ax।X2+2bx1X3+2CX2X3,矩阵】。

满足AB=0.①用正交变换化XTAX为标准形，写出所作变换.②求(A—3E)6.

1ab-

A=a4c•

标准答案：)。J①先作正交矩阵Q，使得Q“AQ是对角矩阵.条件说

明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0.由于B的秩大于I,特

征值的重数大于1.于是A的特征值为0,0,6.(tr(A)=6.)求属于特征值0的两

个单位正交特征向量：对B的第1,2两个列向量ai=(l,0,1)T,a2=(2,—1,

G巨

0)丁作施密特正交化：m=ai/aiII=2(1,0,1)T,r|2邛2/IIP2II=3

(I,一1,一1)T.求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向

“2=5-=(1'T'~D，，

即是方程组

f%1+盯=0,

量与囚，(12都正交，’。，的非零

解，求出。3=(1，2,—1),是属于6的一个特征向量，单位化邛=。3/II«3I=

000-

色°0°.

6(1,2,-1)T.记Q=(ni，n2,巾，则Q是正交矩阵，Q-，AQ=L006」作正交

变换x=Qy,它XTAX化为标准二次型6y32.②A的特征值为0,0,6,则A—3E

的特征值为一3,—3,3,(A—3E)6的3个特征值都是36.于是(A—3E)6〜

36E=>(A-3E)6=36E.

知识点解析：暂无解析

21、有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有1个红球，2个白球，2个黑球；乙袋

装有2个红球，1个白球，2个黑球；丙袋装有2个红球，3个白球.现任取一

袋，从中任取2个球，用X表示取到的红球数，Y表示取到的白球数，Z表示取到

的黑球数，试求：(I)(X,Y)的联合分布；(n)cov(X,Y)+cov(Y,Z).

标准答案：(I)用全概率公式求(X,Y),(Y