高中数学：概率统计

1.(2020年全国I卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘

汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,

负者下一场轮空，直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛，直至其中一人被

淘汰，另•人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率

1

都为2(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.

2.受新冠肺炎疫情的影响.2020年一些企业改变了针对应届毕根牛的校园招聘方式.将线下招

聘改为线上招聘.某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节,

资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个

环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均己通

11

过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为目;乙通过笔试、面试的概率分别为

21

之三丙通过笔试、面试的概率与乙相同.(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业M正式录取

的概率;(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；

(3)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初

审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：

参与环节笔试面试

补贴(元)100200

记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.

3.（2023春•浙江•高三开学考试）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举

行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热

氛围中，某商场设计了--款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，

射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物"拉伊卜已知甲、

乙、丙3位顾客射进大门的概率均为】3，射进小门的概率依2次1为:1假设各次进球

4333

与否互不影响.（1）求这3人中至少有2人射进大门的概率；

⑵记这3人中得到“拉伊M的人数为X,求X的分布列及期望.

4.（2023•广东茂名•统考一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的

学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和

5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.

⑴求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；

⑵比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积。分，两人同时输

积-2分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为（3，乙赢概率为2:，比赛共进行二轮.

JJ

（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；

（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.

5.（2023•湖南•模拟预测）党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史〃知识对抗赛，

组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从

百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等•比赛细则为：选手抢

到试题且回答正确得100分，对方选手得。分:选手抢到试题但回答错误或没有回答得。分，

对方选手得50分：2道题目抢答完毕后得分多者获胜•已知甲、乙两名选手被分在同一组进行

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对抗赛，每道试题中问答王确的概率为《，乙问答正确的概率为《，两名选手每道试题问答

JJ

是否正确相互独立.

⑴求乙同学得100分的概率：（2）记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望.

6.（2023秋•江苏扬州•高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生

们进行了问卷调查.据统计，其中:1的学3生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选

择校本课程一又选择校本课程二.每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本

课程一乂选择校本课程二，则记2分.假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课

程二相互独立，视频率为概率.

⑴从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望：

（2）从学生中随机抽取〃人（，”!＜）,记这〃人的合计得分恰为〃+1分的概率为心，求

4+6++匕.

7.（2023・浙江嘉兴•统考模拟预测）糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中

国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟

蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，

其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、

钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖

糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是

优等品，二级品为合格品,为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选

取/200个糟蛋，产品质量情况统计如下表:

优等品合格品

合计

特级品一级品二级品

T厂甲1007525200

工厂乙1203050200

（1）从400个糟蛋中任取一个，记事件A表示

合计22010575400

取到的糟蛋是优等品，事件。表示取到的槽蛋

来自于工厂甲.求网4团）；

⑵依据小概率值。=0.01的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生

产的糟蛋质量有差异？__________________________

a0.100.050.0100.0050.001

附：参考公式”=（一）（黑篇/），其中

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n=a+h+c+d.独立性检验临界值表:

8.（2022秋•浙江绍兴•高三统考期末）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青

频率

春向党百年路，奋进学习二十大''知识竞赛活动，并从中抽取了200

份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分

布直方图如下.

⑴用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据

用该组区间的中点值为代表）.

⑵可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N（〃02）（用样本平均数工和标准差分别

作为〃，。的近似值），已知样本标准差$。8.65,如有84%的学生的竞赛成绩高F学校期望

的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？

⑶从［80,100］的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷