2023考研数学二押题卷｜真题逐题精讲

2023考研数学二押题卷｜真题逐题精讲一、单项选择题（每小题5分，共50分）1.已知函数$f(x)=\int_0^x\arctan(t^2)\,dt$，则$f'(1)$的值为（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{\pi}{8}$D.$\frac{\pi}{16}$2.设函数$g(x)$满足$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}$，且$g(0)=0$，则$g(1)$的值为（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{\pi}{8}$D.$\frac{\pi}{16}$3.已知函数$h(x)=x^3-3x^2+2$，则$h(x)$的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.34.设函数$\varphi(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x^2}=2$，则当$x\to0$时，$\varphi(x)$等价于（）A.$2x$B.$2x^2$C.$x^3$D.$x^4$5.已知函数$y=\ln(x^2+1)$，则$y''(0)$的值为（）A.0B.1C.-1D.26.设函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，则当$x\to1$时，$f(x)$的极限为（）A.1B.2C.0D.不存在7.已知函数$y=e^{x^2}$，则$y$的$n$阶导数$y^{(n)}(0)$的值为（）A.0（$n$为偶数）B.0（$n$为奇数）C.$2^n$D.$n!$8.设函数$g(x)$在$x=0$处可导，且$g(0)=0$，$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^2}=1$，则$g'(0)$的值为（）A.0B.1C.2D.不存在9.已知函数$h(x)=\sin(x)+\cos(x)$，则$h(x)$在$[0,2\pi]$上的最大值为（）A.$\sqrt{2}$B.1C.2D.$\pi$10.设函数$\varphi(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x}=3$，则当$x\to0$时，$\varphi(x)$的等价无穷小为（）A.$3x$B.$x^2$C.$x^3$D.$e^x$二、填空题（每小题6分，共30分）1.设函数$f(x)=\int_0^xt^2\,dt$，则$f'(2)$的值为__________。2.已知函数$g(x)$满足$g'(x)=\cos(x)$，且$g(0)=1$，则$g(\pi)$的值为__________。3.设函数$h(x)=x^3-3x^2+2$，则$h(x)$的极大值点为__________。4.已知函数$y=\ln(x^2+1)$，则$y'(1)$的值为__________。5.设函数$\varphi(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x^3}=1$，则当$x\to0$时，$\varphi(x)$的等价无穷小为__________。三、解答题（共70分）1.（10分）已知函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，求$f'(x)$，并计算$f'(0)$的值。2.（12分）设函数$g(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求$g(x)$在$x=2$处的泰勒展开式（前3项）。3.（12分）已知函数$h(x)=x^3-3x^2+2$，求$h(x)$的极值点，并判断其极值类型（极大值或极小值）。4.（12分）设函数$\varphi(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x^2}=2$，证明$\varphi(x)$在$x=0$处可导，并求$\varphi'(0)$的值。5.（12分）已知函数$y=\ln(x^2+1)$，求$y$的导数$y'$，并计算$y''(0)$的值。6.（10分）设函数$g(x)$在$x=0$处可导，且$g(0)=0$，$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^2}=1$，求$g'(0)$的值，并证明$g(x)$在$x=0$处二阶导数存在且$g''(0)=0$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：根据基本微积分公式，$f'(x)=\arctan(x^2)$，因此$f'(1)=\arctan(1^2)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$。2.A解析：根据积分上限函数求导公式，$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}$，因此$g(x)=\arctan(x)+C$。由$g(0)=0$，得$C=0$，故$g(1)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$。3.C解析：$h'(x)=3x^2-6x$，令$h'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。$h''(0)=-6<0$，$h''(2)=6>0$，因此$x=0$为极大值点，$x=2$为极小值点，共2个极值点。4.B解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x^2}=2$，得$\varphi(x)\sim2x^2$（当$x\to0$时），因此$\varphi(x)$等价于$2x^2$。5.B解析：$y'=\frac{2x}{x^2+1}$，$y''=\frac{2(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$，因此$y''(0)=\frac{2}{1^2}=2$。6.B解析：$f(x)=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$，当$x\to1$时，$\frac{1}{x-1}\to\infty$，但$x+1\to2$，因此极限为2。7.A解析：$y=e^{x^2}$，$y^{(n)}(x)=e^{x^2}\cdot(2x+4x(x-1)+\cdots+\frac{n!}{k!}\cdot2^k\cdotx(x-1)\cdots(x-k+1))$。当$x=0$时，$x(x-1)\cdots(x-k+1)=0$（$k\geq1$），因此$y^{(n)}(0)=0$（$n\geq1$）。8.C解析：由$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^2}=1$，得$g(x)\simx^2$（当$x\to0$时），因此$g'(x)\sim2x$，$g'(0)=0$。9.A解析：$h'(x)=\cos(x)-\sin(x)$，令$h'(x)=0$，得$\cos(x)=\sin(x)$，即$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）。在$[0,2\pi]$上，$h(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}$，$h(\frac{5\pi}{4})=-\sqrt{2}$，因此最大值为$\sqrt{2}$。10.A解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x}=3$，得$\varphi(x)\sim3x$（当$x\to0$时），因此$\varphi(x)$的等价无穷小为$3x$。二、填空题1.4解析：$f'(x)=x^2$，$f'(2)=2^2=4$。2.0解析：$g(x)=\sin(x)+C$，由$g(0)=1$，得$C=1$，因此$g(\pi)=\sin(\pi)+1=0+1=1$。3.0,2解析：$h'(x)=3x^2-6x$，令$h'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。$h''(0)=-6<0$，$h''(2)=6>0$，因此$x=0$为极大值点，$x=2$为极小值点。4.1解析：$y'=\frac{2x}{x^2+1}$，$y'(1)=\frac{2\cdot1}{1^2+1}=1$。5.x^3解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x^3}=1$，得$\varphi(x)\simx^3$（当$x\to0$时）。三、解答题1.解：$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，由基本微积分公式，$f'(x)=\sin(x^2)$。因此$f'(0)=\sin(0^2)=\sin(0)=0$。2.解：$g(x)=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$，在$x=2$处展开：$g(x)=g(2)+g'(2)(x-2)+\frac{g''(2)}{2!}(x-2)^2+\cdots$$g(2)=\frac{4}{1}=4$，$g'(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2}$，$g'(2)=1-\frac{1}{1^2}=0$，$g''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}$，$g''(2)=\frac{2}{1^3}=2$，因此$g(x)=4+0(x-2)+\frac{2}{2}(x-2)^2+\cdots=4+(x-2)^2+\cdots$。3.解：$h'(x)=3x^2-6x$，令$h'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。$h''(0)=-6<0$，$h''(2)=6>0$，因此$x=0$为极大值点，$x=2$为极小值点。4.证明：由$\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x^2}=2$，得$\varphi(x)=2x^2+o(x^2)$（当$x\to0$时）。因此$\varphi'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2x^2+o(x^2)}{x}=\lim_{x\to0}(2x+\frac{o(x^2)}{x})=0$。5.解：$y=\ln(x^2+1)$，$y'=\frac{2x}{x^2+1}$，$y''=\frac{2(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x