2023考研数学一专项训练｜真题逐题精讲

2023考研数学一专项训练｜真题逐题精讲1.设函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上可导，且满足$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{\sqrt{x}-1}=-3$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为________。（A）$y=-6(x-1)+f(1)$（B）$y=6(x-1)+f(1)$（C）$y=-3(x-1)+f(1)$（D）$y=3(x-1)+f(1)$2.已知函数$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$g'(x)$等于________。（A）$x\sinx^2$（B）$\sinx^2$（C）$2x\sinx^2$（D）$0$3.设函数$h(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$h'(0)$的值为________。（A）$1$（B）$0$（C）$-1$（D）$2$4.已知函数$\varphi(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，则$\varphi'(x)$等于________。（A）$\frac{\sinx}{x}$（B）$0$（C）$\sinx$（D）$1$5.设函数$F(x)=\int_x^1\frac{dt}{t^2+1}$，则$F'(x)$等于________。（A）$\frac{1}{x^2+1}$（B）$-\frac{1}{x^2+1}$（C）$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{1+x^2}$（D）$0$6.设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2,&x\leq0,\\e^x-1,&x>0,\end{array}\right.$则$f(x)$在$x=0$处________。（A）不可导（B）可导但导数不连续（C）可导且导数连续（D）不可微7.设函数$G(x)=\int_1^x\frac{\lnt}{t}dt$，则$G'(x)$等于________。（A）$\lnx$（B）$\frac{\lnx}{x}$（C）$1$（D）$0$8.设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sinx,&x<0,\\x^2,&x\geq0,\end{array}\right.$则$f(x)$在$x=0$处的右导数为________。（A）$0$（B）$1$（C）$-1$（D）$2$9.已知函数$H(x)=\int_0^x(\sint+t)dt$，则$H'(x)$等于________。（A）$\sinx+x$（B）$\sinx$（C）$x$（D）$0$10.设函数$K(x)=\int_1^{x^2}\lnt\,dt$，则$K'(x)$等于________。（A）$2x\lnx^2$（B）$x\lnx^2$（C）$\lnx^2$（D）$0$11.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)=$________。12.设函数$g(x)=\int_x^1\frac{dt}{t^2+1}$，则$g'(x)=$________。13.设函数$h(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$h'(0)=$________。14.设函数$\varphi(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，则$\varphi'(x)=$________。15.设函数$F(x)=\int_x^1\frac{dt}{t^2+1}$，则$F'(x)=$________。16.设函数$K(x)=\int_1^{x^2}\lnt\,dt$，则$K'(x)=$________。17.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且满足$\int_0^xf(t)dt=x^2(1-x)$，求$f(0.5)$的值。18.（10分）设函数$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，求$g'(x)$并在$x=1$处求值。19.（10分）设函数$h(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，求$h'(x)$并在$x=0$处求值。20.（10分）设函数$\varphi(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，求$\varphi'(x)$并在$x=\frac{\pi}{2}$处求值。21.（10分）设函数$F(x)=\int_x^1\frac{dt}{t^2+1}$，求$F'(x)$并在$x=0$处求值。22.（10分）设函数$K(x)=\int_1^{x^2}\lnt\,dt$，求$K'(x)$并在$x=1$处求值。标准答案及解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：由$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{\sqrt{x}-1}=-3$，得$f'(1)=-6$（利用洛必达法则或导数定义）。切线方程为$y=f(1)-6(x-1)$，即$y=-6(x-1)+f(1)$。2.参考答案：B解析：由基本定理，$g'(x)=\sinx^2$。3.参考答案：A解析：$h(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，利用商法则，$h'(x)=\frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$。当$x=0$时，$h'(0)=1$（洛必达法则）。4.参考答案：A解析：由基本定理，$\varphi'(x)=\frac{\sinx}{x}$。5.参考答案：B解析：由基本定理，$F'(x)=-\frac{1}{x^2+1}$。6.参考答案：C解析：左导数$f'_-(0)=0$，右导数$f'_+(0)=1$，不可导；但$f(x)$在$x=0$处连续。7.参考答案：B解析：由基本定理，$G'(x)=\frac{\lnx}{x}$。8.参考答案：B解析：右导数$f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2-0}{x}=0$，但$f(x)$在$x=0$处不可导。9.参考答案：A解析：由基本定理，$H'(x)=\sinx+x$。10.参考答案：A解析：由链式法则，$K'(x)=2x\lnx^2$。二、填空题1.参考答案：$\sinx^2$解析：由基本定理，$f'(x)=\sinx^2$。2.参考答案：$-\frac{1}{x^2+1}$解析：由基本定理，$g'(x)=-\frac{1}{x^2+1}$。3.参考答案：$1$解析：$h'(x)=\frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$，$h'(0)=1$。4.参考答案：$\frac{\sinx}{x}$解析：由基本定理，$\varphi'(x)=\frac{\sinx}{x}$。5.参考答案：$-\frac{1}{x^2+1}$解析：由基本定理，$F'(x)=-\frac{1}{x^2+1}$。6.参考答案：$2x\lnx^2$解析：由链式法则，$K'(x)=2x\lnx^2$。三、解答题1.解：由$\int_0^xf(t)dt=x^2(1-x)$，对$x$求导得$f(x)=2x(1-x)-x^2$。$f(0.5)=2\cdot0.5(1-0.5)-(0.5)^2=0.25$。2.解：$g'(x)=\sinx^2$，$g'(1)=\sin1$。3.解：$h(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，$h'(x)=\frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$。$h'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}=1$（洛必达法则）。4.解：$\varphi'(x)=\frac