2023考研全国统考数学三历年真题（重难点专项突破）

2023考研全国统考数学三历年真题（重难点专项突破）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，若当$x\to0$时$f(x)-a-x$是比$x$高阶的无穷小，则$a$等于（）A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.02.极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x^2}-\cosx}{x^2}$等于（）A.1B.2C.0D.-13.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(0)=0,f(1)=1$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使得（）A.$\xif'(\xi)=1$B.$\xif'(\xi)=\lambda$C.$(1-\xi)f'(\xi)=1$D.$(1-\xi)f'(\xi)=\lambda$4.已知函数$f(x)=\lnx-\frac{x}{\mathrm{e}}+a$在$x=\1$处取得极值，则$a$等于（）A.1B.2C.0D.-15.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f''(x)>0$，若$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则当$x\to0$时（）A.$f(x)$是$x$的高阶无穷小B.$f(x)$与$x^2$是同阶但非等价无穷小C.$f(x)$是$x$的低阶无穷小D.$f(x)$与$x^2$是等价无穷小6.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)>0$，则$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{f\left(\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{f\left(\frac{2}{n}\right)}+\cdots+\sqrt{f\left(\frac{n}{n}\right)})\frac{1}{n}$等于（）A.$\int_0^1\sqrt{f(x)}\mathrm{d}x$B.$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x$C.$\int_0^1f(x)^2\mathrm{d}x$D.$\int_0^1\sqrt{f^2(x)}\mathrm{d}x$7.已知函数$y=y(x)$由方程$\int_0^y\mathrm{e}^t\mathrm{d}t+\int_0^x\sint^2\mathrm{d}t=0$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$等于（）A.$\mathrm{e}^y\sinx^2$B.$\mathrm{e}^y\cosx^2$C.$-\mathrm{e}^y\sinx^2$D.$-\mathrm{e}^y\cosx^2$8.设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上具有连续导数，且$f'(x)$单调递减，若$f(0)=0$，则函数$y=xf(x)$在区间$[0,+\infty)$上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增9.设函数$f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f(x)=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t+\mathrm{e}^{x^2}$，则$f(x)$等于（）A.$\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$B.$\mathrm{e}^{x^2}$C.$2\mathrm{e}^{x^2}$D.$-\mathrm{e}^{x^2}$10.已知函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上可导，且$f'(x)>0$，若极限$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(\lnx)}{\lnx}=1$，则$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\lnx}{x^2}f(x)$等于（）A.0B.1C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{2}$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。）1.已知函数$f(x)=x^3+px^2+qx+1$在$x=1$处取得极值，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-1}{\sinx}=2$，则$p=$________，$q=$________。2.设函数$f(x)$具有连续导数，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{-f(x)}-1}{x^2}$等于________。3.若函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{xy}+y^3-x^2=1$确定，则$\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=1}=$________。4.已知函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上连续，且$f(x)\geq0$，若$\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$，则$\lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac{\pi}{2}\int_0^{\sinx}f(t)\mathrm{d}t-xf(x)\right)$等于________。5.设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上具有连续导数，且$f'(x)=f(x)+\frac{\ln(1+x)}{x}$，若$f(0)=0$，则$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x^2}$等于________。6.设函数$y=y(x)$由方程$2^y=\frac{x^2+y^2}{x-y}$确定，则$\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=1}=$________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）已知函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上具有连续导数，且$f'(x)>0$，若$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$，证明：对任意$b>0$，方程$2f(x)=b\lnx$在区间$(0,+\infty)$上恰有一个实根。已知函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上具有连续导数，且$f'(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}(f(1)=0)$。（1）证明：当$x\geq1$时，$f(x)\geq0$；（2）设函数$g(x)=x\mathrm{e}^{-f(x)}$，证明：当$x\geq1$时，$g(x)\geq\frac{x}{2\lnx}$。设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上连续，且$f(x)\geq0$，若$\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$，证明：（1）对任意$a\in(0,1)$，$\int_a^{2a}f(x)\mathrm{d}x\geq\frac{1}{2}$；（2）存在唯一的$b\in(0,1)$，使得$\int_b^{2b}f(x)\mathrm{d}x=1$。已知函数$y=y(x)$由方程$\int_0^y\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t+\int_0^x\frac{\sint}{t}\mathrm{d}t=0$确定，（1）求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$的表达式；（2）证明：当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$y(x)<0$。设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上具有二阶连续导数，且$f(0)=1,f'(0)=1$，且满足微分方程$xf''(x)+3f'(x)=x^2$，（1）求函数$f(x)$的显式表达式；（2）证明：当$x\geq0$时，$f(x)\geq\frac{x^2}{2}+\mathrm{e}^x$。设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=0,f(1)=1$，证明：（1）存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=1$；（2）若$f(x)$在$(0,1)$内可导且$f'(x)\leq1$，则对任意$n\in\mathbb{N}$，存在$x_n\in(0,1)$，使得$f(x_n)=\frac{n}{n+1}$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.C8.A9.B10.D二、填空题1.$p=-3,q=2$2.$\frac{1}{2}$3.14.$\frac{1}{2}$5.$\frac{1}{4}$6.-1三、解答题1.证明：（1）任取$b>0$，令$F(x)=2f(x)-b\lnx$，则$F'(x)=2f'(x)-\frac{b}{x}$。由$f'(x)>0$可知$F'(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。又$\lim\limits_{x\to0^+}F(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=+\infty$，由零点定理，$F(x)$在$(0,+\infty)$上恰有一个零点，即$2f(x)=b\lnx$恰有一个实根。2.（1）令$F(x)=f(x)-\frac{1}{2}\ln(1+x)$，则$F'(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}-\frac{1}{2\ln(1+x)}=\frac{\ln^2(1+x)-x}{2x\ln(1+x)}$。令$h(x)=\ln^2(1+x)-x$，则$h'(x)=\frac{2\ln(1+x)}{1+x}-1=\frac{2\ln(1+x)-(1+x)}{1+x}$。令$\varphi(x)=2\ln(1+x)-(1+x)$，则$\varphi'(x)=\frac{2}{1+x}-1=\frac{1-x}{1+x}>0$，所以$\varphi(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，且$\varphi(x)<\varphi(1)=0$，因此$h(x)<0$，即$F'(x)<0$，$F(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减。又$f(1)=0$，所以当$x\geq1$时，$f(x)\geqF(x)\geq0$。（2）令$G(x)=g(x)-\frac{x}{2\lnx}$，则$G'(x)=\mathrm{e}^{-f(x)}-\frac{\lnx+x}{2x\ln^2x}$。由（1）知$f(x)\geq\frac{1}{2}\ln(1+x)$，所以$\mathrm{e}^{-f(x)}\geq\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\ln(1+x)}=\sqrt{\frac{1}{1+x}}$。又当$x\geq1$时，$\frac{\lnx+x}{2x\ln^2x}<\frac{x+x}{2x\lnx}=\frac{1}{\lnx}$，因此$G'(x)\geq\sqrt{\frac{1}{1+x}}-\frac{1}{\lnx}>0$，所以$G(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，且$G(1)=0$，因此当$x\geq1$时，$G(x)\geq0$，即$g(x)\geq\frac{x}{2\lnx}$。3.（1）令$F(a)=\int_a^{2a}f(x)\mathrm{d}x$，则$F'(a)=f(2a)-f(a)$。由$f'(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}>0$可知$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$F'(a)>0$，$F(a)$在$(0,+\infty)$上单调递增。又$F\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{\frac{1}{2}}^1f(x)\mathrm{d}x>0$，$F(1)=\int_1^2f(x)\mathrm{d}x<\int_1^2\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln2>0$，由零点定理，存在$a\in\left(\frac{1}{2},1\right)$，使得$F(a)=0$。又$F(a)$单调递增，所以对任意$a\in(0,1)$，$F(a)\geq0$，因此当$a\in(0,1)$时，$F(a)\geq\frac{1}{2}$。（2）令$G(a)=\int_a^{2a}f(x)\mathrm{d}x-1$，则$G'(a)=F'(a)>0$，$G(a)$在$(0,+\infty)$上单调递增。又$G\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{\frac{1}{2}}^1f(x)\mathrm{d}x-1<0$，$G(1)=\int_1^2f(x)\mathrm{d}x-1<0$，由零点定理，存在唯一的$b\in(0,1)$，使得$G(b)=0$，即$\int_b^{2b}f(x)\mathrm{d}x=1$。4.（1）方程两边对$x$求导，得$\mathrm{e}^{y^2}y'-\frac{\sinx}{x}=0$，即$y'=\frac{\sinx}{x\mathrm{e}^{y^2}}$。（2）令$F(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}\mathrm{d}t-\int_0^{\sinx}\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t$，则$F'(x)=\frac{\sinx}{x}-\cosx\mathrm{e}^{\sin^2x}$。令$G(x)=\frac{\sinx}{x}-\cosx\mathrm{e}^{\sin^2x}$，则$G'(x)=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}+\sinx\mathrm{e}^{\sin^2x}-2\cos^2x\mathrm{e}^{\sin^2x}$。当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}<0$，又$\sinx\mathrm{e}^{\sin^2x}-2\cos^2x\mathrm{e}^{\sin^2x}=\mathrm{e}^{\sin^2x}(\sinx-2\cos^2x)$，由$\sinx<1,\cos^2x<1$，可知$\sinx-2\cos^2x<0$，因此$G'(x)<0$，$G(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减。又$G(0)=0$，所以当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$G(x)<0$，即$F'(x)<0$，所以$F(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减。又$F(0)=0$，所以当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$F(x)<0$，由原方程，得$\int_0^{\sinx}\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t<0$，又$\mathrm{e}^{t^2}>0$，所以当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$\sinx>0$，$y<0$。5.（1）微分方程可化为$x^2f''(x)+3xf'(x)=x^3$，令$f'(x)=u(x)$，则$x^2u'(x)+3xu(x)=x^3$，解得$u(x)=\frac{1}{3}x^3+C_1\frac{1}{x^2}$，所以$f(x)=\frac{1}{12}x^4+C_1