初中数学九年级一轮复习三角形知识清单

初中数学九年级一轮复习三角形知识清单一、三角形的基本概念与分类（一）三角形的定义与表示【基础】三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）。三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。其中，点A、B、C是三角形的三个顶点，∠A、∠B、∠C是三角形的三个角，线段AB、BC、CA是三角形的三条边。通常，我们用小写字母a、b、c分别表示△ABC的三条边，即顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。（二）三角形的分类【基础】三角形可以按两种不同的标准进行分类：1.按边分类：三边都不相等的三角形等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形（正三角形））2.按角分类：直角三角形（有一个角是直角，记作Rt△）斜三角形（锐角三角形（三个角都是锐角）、钝角三角形（有一个角是钝角））★【高频考点】等腰（等边）三角形的性质与判定是中考的必考内容，常与全等、相似、圆结合；直角三角形的性质（尤其是勾股定理）更是压轴题中的常客。明确三角形的分类标准，是后续学习复杂几何图形的基础。二、三角形中的边的关系（一）三角形三边关系定理【非常重要】【高频考点】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。如图，在△ABC中，设三边分别为a、b、c，则有：a+b>ca+c>bb+c>a|ab|<c|ac|<b|bc|<a（二）三边关系的应用【难点】【解题步骤】1.判断三条已知线段能否组成三角形：当三条线段中最短的两条线段之和大于最长的线段时，这三条线段就能组成一个三角形。即“短边+短边>长边”。2.确定第三边的取值范围：已知三角形的两边长分别为a和b（设a≥b），则第三边x的取值范围是：ab<x<a+b。特别注意，这里的x是正数，且要考虑能否构成三角形的最终结果。3.等腰三角形中的分类讨论：当题目涉及等腰三角形的边长时，若未指明腰和底边，必须分情况讨论，并利用三边关系定理验证每种情况是否能构成三角形。▲【易错点】在应用三边关系时，务必验证“任意两边之和大于第三边”，不能只验证一组。在解决等腰三角形周长问题时，求出边长后，一定要用三边关系进行检验，排除不能构成三角形的情况。☆【典型考向】【例1】（2023·江西模拟）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可能是（）A.4B.5C.12D.13【解析】根据三角形三边关系，第三边x应满足：94<x<9+4，即5<x<13。选项中只有12在此范围内。故选C。【例2】一个等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则它的周长为_______cm。【解析】分两种情况讨论：①当腰长为3cm时，三边为3、3、6。此时3+3=6，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形，舍去。②当腰长为6cm时，三边为6、6、3。此时6+3>6，6+6>3，满足条件。周长为6+6+3=15cm。故答案为15。三、三角形中的角的关系（一）三角形内角和定理【基础】【非常重要】三角形三个内角的和等于180°。几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。推论：1.直角三角形的两个锐角互余。即在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。2.有两个角互余的三角形是直角三角形。3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。4.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（二）三角形外角及其性质【重要】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角具有以下性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。如图，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD=∠A+∠B。2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。即∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。3.三角形的外角和等于360°。▲【易错点】在利用外角性质时，必须准确识别“不相邻的内角”，不能误把相邻的内角加进去。三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，而不是所有内角的和。☆【典型考向】【例3】（2022·江西样卷）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A.85°B.80°C.75°D.70°【解析】在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，根据内角和定理，∠ABC=180°50°70°=60°。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°。在△BDC中，∠BDC是外角？或者直接计算：∠BDC=180°∠C∠DBC=180°70°30°=80°。故选B。或者利用∠BDC=∠A+∠ABD=50°+30°=80°。体现了内角和定理与角平分线、外角性质的综合运用。四、三角形中的重要线段【核心内容】（一）三角形的角平分线【重要】定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。几何语言：如图，在△ABC中，如果∠1=∠2，那么线段AD叫做△ABC的角平分线。性质：1.三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。2.角平分线定义本身就是角相等的重要依据。3.三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意区别。（二）三角形的中线【重要】定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。几何语言：如图，在△ABC中，如果点D是BC的中点，那么线段AD叫做△ABC的BC边上的中线。此时BD=DC=1/2BC。性质：1.三角形的三条中线交于三角形内一点，这点叫做三角形的重心。2.【非常重要】中线将三角形分成两个面积相等的三角形。即S△ABD=S△ADC=1/2S△ABC。这一性质常用于解决等积变形问题。3.重心定理：三角形的重心将每条中线分成2:1的两部分（重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍）。即AO:OD=2:1。（三）三角形的高【重要】【难点】定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。几何语言：如图，在△ABC中，如果AD⊥BC，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的BC边上的高。性质：1.三角形的三条高（或它们的延长线）交于一点，这点叫做三角形的垂心。2.不同三角形的高的位置关系【易错点】：锐角三角形：三条高都在三角形内部，垂心在三角形内部。直角三角形：两条高恰好是两条直角边，另一条高在三角形内部，垂心是直角顶点。钝角三角形：有两条高落在三角形外部（需要延长两边），一条高在三角形内部，垂心在三角形外部。3.面积法求高：S=1/2×底×高，已知面积和底，可求高。▲【易错点】1.三角形的高是一条线段，不是垂线。2.画钝角三角形的高是高频易错点。画钝角三角形夹钝角的两边上的高时，需要先将这两边延长，然后过钝角的顶点向它们的延长线作垂线，垂足在边的延长线上。3.三角形的角平分线、中线、高都是线段，都有三条，且它们所在的直线都会交于一点（内心、重心、垂心）。☆【典型考向】【例4】（2024·江西一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF:FC=。【解析】本题考查中线和中点性质。过D作DG∥BF交AC于G。在△BCF中，∵D是BC中点，DG∥BF，∴G是CF中点，即CG=GF。在△ADG中，∵E是AD中点，EF∥DG，∴F是AG中点，即AF=FG。∴AF=FG=GC，∴AF:FC=1:2。或者利用重心性质，但本题未说明F是特殊点，需用平行线等分线段定理求解。答案为1:2。【例5】在△ABC中，AB=5，AC=3，则BC边上的中线AD的取值范围是___。【解析】倍长中线法。延长AD至E，使DE=AD，连接BE。则△ADC≌△EDB（SAS）。∴BE=AC=3。在△ABE中，ABBE<AE<AB+BE，即53<2AD<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4。故AD的取值范围是1<AD<4。这是利用中线构造全等三角形，转移边的关系的典型方法。（四）三角形的中位线【重要】【热点】定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。几何语言：如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE=1/2BC。作用：证明线段平行关系、证明线段倍分关系、求线段长度。重要结论：三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形，且每个小三角形的面积都是原三角形面积的1/4。▲【易错点】区分中位线和中线：中线是一个顶点与对边中点的连线；中位线是两边中点的连线。五、特殊三角形的边角关系（一）等腰三角形【非常重要】1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。2.性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。3.判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。（二）等边三角形【非常重要】1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），它是特殊的等腰三角形。2.性质：等边三角形的三边相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。具有等腰三角形的所有性质。3.判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（三）直角三角形【非常重要】1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。夹直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边。2.性质：直角三角形的两个锐角互余。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即a²+b²=c²。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。面积公式：S=1/2ab=1/2ch（其中a、b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高）。3.判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。★【高频考点】“三线合一”是等腰三角形最重要的性质，常与全等、相似、方程思想结合。勾股定理是初中几何的第一大工具，几乎每年的中考压轴题都会涉及。30°角的直角三角形三边之比为1:√3:2，45°角的等腰直角三角形三边之比为1:1:√2，这些特殊比例必须牢记。六、综合应用与解题策略（一）方程思想在三角形中的应用在解决三角形中的边角计算问题时，如果已知条件涉及比例、倍数关系，常常设未知数列方程（组）求解。例如，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由x+2x+3x=180°，解得x=30°，从而求出各角度数。（二）分类讨论思想1.等腰三角形中，给定边或角未明确腰（底）或顶角（底角）时，必须分类讨论。2.三角形的形状（锐角、直角、钝角）不确定时，涉及高线的问题可能需要分类讨论，因为高线可能在三角形内部或外部。3.全等三角形对应顶点不确定时，也常需分类讨论。（三）转化思想1.利用中线将面积等分。2.利用倍长中线法构造全等三角形，将分散的条件集中。3.利用角平分线的对称性构造全等。4.利用高线构造直角三角形，为使用勾股定理创造条件。（四）常见的辅助线作法1.遇到中线：倍长中线，构造全等三角形（SAS）。2.遇到角平分线：向角的两边作垂线（利用角平分线性质）；或截取相等线段构造全等。3.遇到中点：考虑中位线定理；或构造直角三角形斜边中线。4.遇到等腰三角形：优先考虑“三线合一”作底边上的高。5.遇到30°角或特殊角：考虑构造直角三角形。七、常见题型与考点归纳（一）基础题型1.利用三边关系判断能否构成三角形或求第三边范围。2.利用内角和定理及推论求角度。3.识别三角形的重要线段并计算相关线段长度。4.等腰三角形中求边长或角度（注意分类讨论）。（二）中档题型1.三角形内角与外角关系的综合应用。2.中线等分面积性质的应用。3.角平分线与高线结合求角度。4.中位线定理的应用。5.倍长中线法构造全等三角形解题。（三）压轴题型1.三角形与函数、动点问题结合。2.三角形与全等、相似、圆结合的综合题。3.利用三角形边角关系解决最值问题。4.三角形的重心、内心、垂心性质的拓展应用。▲【解答要点】在解决三角形解答题