安徽省省十联考2027届高三上学期第一次教学质量测评数学试卷（含解析）

安徽省十联考2027届高三第一次教学质量测评数学试卷一、单选题1．样本数据2，3，6，4，7的中位数是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（

）A． B． C． D．5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．6．已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．7．在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．8．甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，复数满足，则（

）A．B．C．复数的虚部为1D．复数在复平面内的对应点在第一或第三象限10．已知函数，则（

）A．函数的值域为B．函数的单调递增区间为，C．曲线关于直线对称，其中D．函数有两个零点11．已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（

）A．B．C．当时，D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等三、填空题12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________．13．若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________．14．已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________．四、解答题15．某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表：良好一般合计服用85服用20合计(1)完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？(2)在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，．附：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82816．如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的余弦值．17．已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．18．已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，．(1)求的离心率；(2)若，（i）求证：直线平分线段；（ii）已知四边形的面积为，求直线的方程．19．已知函数的导函数为．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若是在区间上的一个零点，设，函数，求证：；(3)设，是函数的两个极值点，且．（i）求的取值范围；（ii）求的取值范围．

1．B【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列为2，3，4，6，7，该组数据的样本容量为5（奇数），所以中位数为排序后第个数据，即为4．2．A【详解】集合，所以；又，所以.3．D【详解】由题可知，，与夹角的余弦值为．4．C【详解】设圆锥甲的高为，圆台乙的高为，则，，所以圆锥甲的体积，圆台乙的体积，所以甲、乙的体积之比为.5．D【详解】由题意可得，则，所以，所以污染物减少50%需要花的时间约为.6．B【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内.点到双曲线的一条渐近线的距离为，所以，即，即，故，所以的渐近线方程为.7．A【详解】由，得，由余弦定理，，化简得，，所以，所以或.因为是斜三角形，所以，所以，所以，即A正确，B不正确.，，所以，所以，所以C不正确.，当且仅当，即时，.此时，，为直角三角形，不合题意，所以D不正确.8．D【详解】由题，，摸球顺序：1甲，2乙，3甲，4乙，5甲，6乙.停止条件：都红→，此时；否则看都红→，此时1白2红3红，；否则看都红→，此时为2白3红4红，；否则看都红→，此时为3白4红5红，且未发生，即前两次不能是1红2红，，则；否则看都红，此时均未发生，则；期望.9．BCD【详解】由题可得，A错误；因为，所以，B正确；复数，故复数的虚部为1，C正确；设，则，所以或，所以复数或，其在复平面内的对应点坐标为或，所以复数在复平面内的对应点在第一或第三象限，D正确.10．AC【详解】选项A，，的周期为，，，故的周期是，所以只需考虑函数的一个周期内求值域，当，，，当，，，，，，，，，所以，函数的值域为，又的周期是，所以的值域为，A正确；选项B，举反例，对，取，则，，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，所以没有在上单调递增，B错误；选项C，，，，对任意成立，所以是的对称轴，C正确；选项D，令，的值域，时，，,则无零点；时，，则无零点；时，此时故,又,所以,则无零点；时，先讨论，，则，，因为，所以且等号仅在端点处成立，所以在单调递减，，，由零点存在定理得，在内有且仅有1个零点，又因为时，无零点，所以这个唯一零点必然落在上，综上，有且仅有1个零点,D错误.11．ACD【详解】选项A,,,两式相减得公共弦直线方程,即，，半径，圆心到直线距离是,所以，A正确；选项B，联立与，解得；,不妨设，设与交于点，因为，，，所以，所以，故,即，,,,,,由,得，所以，所以，设与交于点，同理可知,即，,,,,,由,得，所以，所以，,B错误；选项C,,则，，,,在：，,,所以,因为，所以，C正确；选项D，三个圆的半径都是1，若存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，由弦长公式，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，设存在直线，满足，等价于解方程：，去掉绝对值：情况①：，情况②：，解方程：，去掉绝对值：情况①：，情况②：，联立与，得舍去，联立与，令，则，代入，直线的方程为：，所以存在直线截三个圆所得的弦长相等，D正确.12．2【详解】因为是奇函数，当时，，所以.13．1【详解】第1个空：对函数求导可得，，由曲线在点处的切线方程为可得，即,,，代入解得，；第2个空：由第1个空可知，那么，，令，得或，令，得，故函数单调性如下：增极大值减极小值增所以,,故在区间上的最大值与最小值之和为：.14．/【详解】由题意知，，则.设直线：，，，中点.联立，整理得.，因为，所以①.所以，，所以.因为中点在上，则，即，所以.又在上，则，所以，整理得②.将②代入①中，得，整理得，解得..因为在内，所以当时，取得最大值，此时.15．(1)良好一般合计服用8515100服用8020100合计16535200不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联(2)，，【详解】（1）良好一般合计服用8515100服用8020100合计16535200零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联，根据上表可知，，所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联．（2）因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以，

在200人中服用药物的人数为100，所以，

因为在200人中有85人服用药物且治疗效果良好，所以．16．(1)证明：因为在平面中，，，所以，

又，所以四边形是以与为底边的梯形，所以与相交，

因为，，，平面，所以平面．(2)证明：取的中点，连接，，因为是的中点，所以且，因为且，所以且，

所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．(3)【详解】（1）略（2）略（3）因为平面，，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量，则，即，取，得，

设平面的一个法向量，则，即，取，得，

设平面与平面的夹角为，则．17．(1)(2)【详解】（1）由题意知，当时，，当时，，满足上式，所以，因为，，成等比数列，所以，整理得到，解得，所以，因为数列满足，，所以，当时，，所以，所以时，，适合上式，所以的通项公式为.（2）由（1）知，令，，则，所以，所以，又，所以．18．(1)(2)（i）证明：设，，的中点为，由与联立，整理得，

所以，所以，，所以直线的斜率，因为，所以，又直线过原点，所以与直线是同一条直线，所以直线平分线段．（ii）或．【详解】（1）由，即，则，，，所以，，所以的离心率．（2）（i）略（ii）解：由（i）知，，所以，所以．的方程为，由，得的方程为，由与联立，解得，两点坐标分别为，．设点，到直线的距离为，，记，，则，的坐标为，，，令，则，所以，所以四边形的面积，解得，又，所以，直线的方程为或．19．(1)(2)由，得，，令函数，记，则，所以在上单调递增，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，因此，当时，，可得，即．

令函数，则．因为在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减．因此，当时，