河南省三门峡市渑池县第二高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

渑池县第二高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．经过两点，的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．圆与圆的公切线的条数为（

）A．4 B．3 C．2 D．14．若点在圆外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．26．如图，在平行六面体中，，，则（

）A． B． C． D．7．若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（

）A．3 B． C．5 D．二、多选题9．设复数对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则（

）．A．B．若，则C．若，则D．若，则的最大值为10．已知点，圆，则（

）A．点在直线上B．点可能在圆上C．圆上至少有2个点与点的距离为1D．过点作圆的切线，则切点弦过点11．已知椭圆为椭圆的左焦点，点为坐标原点，点满足，经过的直线与椭圆的一个交点为是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知点为坐标原点，，点在线段上移动，则直线与直线所成角的大小为__________.13．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为___________.14．在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____.四、解答题15．在中，角、、的对边分别为、、.已知.(1)求；(2)若，，点在边上，且，求16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的周长.17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.18．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作.(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若，求向量的斜60°坐标；②若，且，求.19．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求的方程.(2)过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点.（i）证明：；（ii）求面积的最大值.

1．D【详解】，，，设直线的倾斜角为，则，.故选：D.2．D【详解】因为，由题意，解得.故.故选：D.3．A【详解】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3，两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离，则两圆的公切线有4条.故选：A.4．B【详解】因为点在圆外，则，解得.故选：B.5．B【详解】由题意得，所以点到平面的距离.故选：B6．B【详解】设，因为六面体是平行六面体，所以，因为，代入计算可得：，故有：，所以，所以，因为，所以.故选：B7．B【详解】设圆的方程为：，所以，解得：，所以圆的面积为；故选：B8．D【详解】将直线的方程变形得，由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，

所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且，设，，则，四边形OMPN的面积为，当且仅当，即当时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为，故选：D9．ABD【详解】因为，所以，A正确；由题意可知，，若，则，B正确；若，则，即，故，即仅当时，，时，，C错误；，故，即，则表示圆上的点到原点的距离，故的最大值为，D正确，故选：ABD．10．AD【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确；对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误；对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误；对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦．圆的直径式方程为，整理得

①．圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确故选：AD11．BCD【详解】设，则，若是等腰直角三角形，则均有可能是直角.（1）当是直角时（如图1）：因为的中点坐标为，即为右焦点.又因为是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，所以C正确；（2）当是直角时（如图2）：因为是等腰直角三角形，所以，即，解得：，所以D正确；（3）当是直角时（如图3）：因为是等腰直角三角形，所以，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，所以B正确.故选：BCD.12．【详解】，因为点在线段上移动，设，,，，因为，所以，所以直线与直线所成角的大小为.故答案为：.13．【详解】设G关于平面对称的点为，连接，则，，的周长，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，，设，则，所以即点到与距离和的最小值，设关于x轴对称的点为，则故答案为：.14．/【详解】因为四边形为正方形，底面，，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则、、，，，故点到直线距离为令，因为函数在上单调递增，故当时，即当时，取最小值，即.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）由两角和的正切公式可得，即，故，因为，故.（2）由余弦定理可得，即，即，因为，解得，因为点在边上，且，故，在中，，，，由余弦定理可得，故.16．(1)(2)【详解】（1）在中，由得：，即，所以，所以，所以，所以，又，所以；（2）因为，所以，又，所以，所以，故，所以的周长为.17．(1)由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：则，，，，，，，，，∵∴，∵，∴，∵,且平面，∴平面.（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：则，，，，，，设是平面的一个法向量.，.取，有∴，，则，.∴平面.（法三）证明：连接∵平面，平面,∴.在中，，.∵，∴，且，∴平面，又∵平面，∴.∵，又∵，∴，∴.且，且平面，∴平面.(2).【详解】（1）略（2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.平面的一个法向量为..∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.∵，∴平面，∵，∴平面.∴平面平面.过D做于，连接.∵平面，∴.又，，∴平面，又平面，∴.又∵，，平面,∴平面，∴，∴为二面角的平面角.在中，，∴.∴平面与平面的夹角的余弦值为.18．(1)(2)①；②2【详解】（1），的斜坐标为．（2）设分别为与同方向的单位向量，则，