-中考数学平行四边形提高练习题压轴题训练含答案解析

2020-2021中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练含答案解析一、平行四边形1.问题发现:(
)如图①,点
为平行四边形
内一点,请过点
画一条直线
,使其同时平分平行四边形
的面积和周长．问题探究:(
)如图②,在平面直角坐标系
中,矩形
的边
、
分别在
轴、
轴正半轴上,点
坐标为
．已知点
为矩形外一点,请过点
画一条同时平分矩形
面积和周长的直线
,说明理由并求出直线
,说明理由并求出直线
被矩形
截得线段的长度．问题解决:（
）如图③,在平面直角坐标系
中,矩形
的边
、
分别在
轴、
轴正半轴上,
轴,
轴,且
,
,点
为五边形内一点．请问：是否存在过点
的直线
,分别与边
与
交于点
、
,且同时平分五边形
的面积和周长?若存在,请求出点
和点
的坐标：若不存在,请说明理由．【答案】(1)作图见解析;(2)
,
;(3)
,
.【解析】试题分析:(1)连接AC.BD交于点O,作直线PO,直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分.(2)连接AC,BD交于点
,过
、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分.(3）存在,直线
平分五边形
面积、周长．试题解析:（
）作图如下:(
)∵
,
,∴设
,
,
,∴
,交
轴于
,交
于
,
.(
)存在,直线
平分五边形
面积、周长.∵
在直线
上,∴连
交
、
于点
、
,设
,
,
,
,∴直线
,联立
,得
,∴
,
．2.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到到B′的位置,AB′与CD交于点E.(1)求证:△AED≌△CEB′(2）若AB=8,DE=3,点P为线段AC上任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥BC于H.求PG+PH的值.
【答案】（1）证明见解析;（2）
.【解析】【分析】(1)由折叠的性质知,
,
,
,则由
得到
;（2）由
,可得
,又由
,即可求得
的长,然后在
中,利用勾股定理即可求得
的长,再过点
作
于
,由角平分线的性质,可得
,易证得四边形
是矩形,继而可求得答案.【详解】(1)
四边形
为矩形,

,
,又

,

;(2)

,

,

,

,在
中,
,过点
作
于
,

,
,

,

,
,

,

、
、
共线,

,
四边形
是矩形,

,.【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.3.如图
,在等腰
中,
,点E在AC上
且不与点A.C重合
,在
的外部作等腰
,使
,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
请直接写出线段AF,AE的数量关系;
将
绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图
,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;
若
,
,在图
的基础上将
绕点C继续逆时针旋转一周的过程中,当平行四边形ABFD为菱形时,直接写出线段AE的长度．【答案】(1)证明见解析;(2)①
②
或
.【解析】【分析】
如图
中,结论:
,只要证明
是等腰直角三角形即可;
如图
中,结论:
,连接EF,DF交BC于K,先证明
≌
再证明
是等腰直角三角形即可;
分两种情形a、如图
中,当
时,四边形ABFD是菱形
、如图
中当
时,四边形ABFD是菱形
分别求解即可.【详解】
如图
中,结论:
.理由:
四边形ABFD是平行四边形,
,
,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
.故答案为
.
如图
中,结论：
．理由:连接EF,DF交BC于K.
四边形ABFD是平行四边形,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,在
和
中,
,
≌
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
.
如图
中,当
时,四边形ABFD是菱形,设AE交CD于H,易知
,
,
,如图
中当
时,四边形ABFD是菱形,易知
,
综上所述,满足条件的AE的长为
或
．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质,寻找全等的条件是解题的难点,属于中考常考题型.4.已知:在菱形ABCD中,E,F是BD上的两点,且AE∥CF.求证：四边形AECF是菱形.【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD,AB＝CD,∠ADF＝∠CDF,由"SAS"可证△ADF≌△CDF,可得AF＝CF,由△ABE≌△CDF,可得AE＝CF,由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形.【详解】证明:∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD,AB＝CD,∠ADF＝∠CDF,∵AB＝CD,∠ADF＝∠CDF,DF＝DF∴△ADF≌△CDF(SAS)∴AF＝CF,∵AB∥CD,AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF,∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD,∠ABE＝∠CDF,AB＝CD∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE＝CF,且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF,∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理,首先要判定其为平行四边形,这是菱形判定的基本判定.5.如图,四边形ABCD中,∠BCD=∠D=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.(1)设BC=x,CD=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;（2）当∠B=70°时,求∠AEC的度数;（3）当△ACE为直角三角形时,求边BC的长.【答案】(1)
;(2)∠AEC=105°;(3)边BC的长为2或
.【解析】试题分析:(1)过A作AH⊥BC于H,得到四边形ADCH为矩形.在△BAH中,由勾股定理即可得出结论.(2)取CD中点T,连接TE,则TE是梯形中位线,得ET∥AD,ET⊥CD,∠AET=∠B=70°.又AD=AE=1,得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°.由ET垂直平分CD,得∠CET=∠DET=35°,即可得到结论.（3）分两种情况讨论:①当∠AEC=90°时,易知△CBE≌△CAE≌△CAD,得∠BCE=30°,解△ABH即可得到结论.②当∠CAE=90°时,易知△CDA∽△BCA,由相似三角形对应边成比例即可得到结论.试题解析：解：（1）过A作AH⊥BC于H.由∠D=∠BCD=90°,得四边形ADCH为矩形.在△BAH中,AB=2,∠BHA=90°,AH=y,HB=
,∴
,则(2)取CD中点T,联结TE,则TE是梯形中位线,得ET∥AD,ET⊥CD,∴∠AET=∠B=70°.又AD=AE=1,∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°.由ET垂直平分CD,得∠CET=∠DET=35°,∴∠AEC=70°＋35°=105°.(3)分两种情况讨论:①当∠AEC=90°时,易知△CBE≌△CAE≌△CAD,得∠BCE=30°,则在△ABH中,∠B=60°,∠AHB=90°,AB=2,得BH=1,于是BC=2.②当∠CAE=90°时,易知△CDA∽△BCA,又
,则
(舍负)易知∠ACE<90°,所以边BC的长为
．综上所述：边BC的长为2或
.点睛:本题是四边形综合题.考查了梯形中位线,相似三角形的判定与性质.解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D.E运动的时间是t秒(0＜t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;（3）当t为何值时,△DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）能,t=10；（3）t=
或12.【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;（3）△DEF为直角三角形,分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.【详解】解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,∴AB=
AC=
×60=30cm,∵CD=4t,AE=2t,又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=
CD=2t,∴DF=AE;(2）能,∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10,∴当t=10时,AEFD是菱形;（3）若△DEF为直角三角形,有两种情况:①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:t=
,②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,则AE=2AD,即
,解得:t=12,综上所述,当t=
或12时,△DEF为直角三角形.7.如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB,DE与AC.AE分别交于点O、点E,连接EC.(1)求证:AD=EC;(2）当∠BAC=Rt∠时,求证：四边形ADCE是菱形．
【答案】（1)见解析;(2）见解析.【解析】【分析】(1)先证四边形ABDE是平行四边形,再证四边形ADCE是平行四边形即可;（2）由∠BAC=90°,AD是边BC上的中线,得AD=BD=CD,即可证明.【详解】(1)证明:∵AE∥BC,DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE=BD,∵AD是边BC上的中线,∴BD=DC,∴AE=DC,又∵AE∥BC,∴四边形ADCE是平行四边形.(2)证明:∵∠BAC=90°,AD是边BC上的中线.∴AD=CD∵四边形ADCE是平行四边形,∴四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.8.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,40),直线AB:y＝
x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒
个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t＞0).①当点F1移动到点B时,求t的值;②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分的面积．【答案】(1)EF＝15;(2)①10;②120;【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-
x+40,可求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,t=10
÷
=10;②F点移动到F'的距离是
t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在Rt△F'NF中,
=
,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,
,t=4,S=
×(12+
)×11=
；当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,
=
,PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,
＝
＝
,t=7,S=15×（15-7）=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y＝kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),∴
,∴
,∴y＝﹣
x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15）,∴EF＝15;(2)①易求B(0,5),∴BF＝10
,∴当点F1移动到点B时,t＝10
＝10;②当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是
t,在Rt△F'NF中,
=
,∴FN＝t,F'N＝3t,∵MH'＝FN＝t,EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t,在Rt△DMH'中,
,∴
,∴t＝4,∴EM＝3,MH'＝4,∴S＝
;当点G运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是
t,∵PF＝3
,∴PF'＝
t﹣3
,在Rt△F'PK中,
,∴PK＝t﹣3,F'K＝3t﹣9,在Rt△PKG'中,
＝
＝
,∴t＝7,∴S＝15×(15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.9.(1)如图1,将矩形
折叠,使
落在对角线
上,折痕为
,点
落在点
处,若
,则
的度数为______
.(2)小明手中有一张矩形纸片
,
,
.（画一画）如图2,点
在这张矩形纸片的边
上,将纸片折叠,使
落在
所在直线上,折痕设为
（点
,
分别在边
,
上）,利用直尺和圆规画出折痕
（不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线段描清楚）；(算一算)如图3,点
在这张矩形纸片的边
上,将纸片折叠,使
落在射线
上,折痕为
,点
分别落在点
,
处,若
,求
的长.【答案】(1)21;(2)画一画;见解析;算一算:
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题;(2)【画一画】,如图2中,延长BA交CE的延长线由G,作∠BGC的角平分线交AD于M,交BC于N,直线MN即为所求;【算一算】首先求出GD=9-
,由矩形的性质得出AD∥BC,BC=AD=9,由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG,由翻折不变性可知,∠BFG=∠DFG,证出∠DFG=∠DGF,由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=
,再由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不变性,可知FB′=FB,由此即可解决问题．【详解】(1)如图1所示:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=42°,由翻折的性质可知,∠DBE=∠EBC=
∠DBC=21°,故答案为21.（2）【画一画】如图所示:【算一算】如3所示:∵AG=
,AD=9,∴GD=9-
,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,BC=AD=9,∴∠DGF=∠BFG,由翻折不变性可知,∠BFG=∠DFG,∴∠DFG=∠DGF,∴DF=DG=
,∵CD=AB=4,∠C=90°,∴在Rt△CDF中,由勾股定理得:CF=
,∴BF=BC-CF=9
,由翻折不变性可知,FB=FB′=
,∴B′D=DF-FB′=.【点睛】四边形综合题,考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用翻折不变性解决问题.10.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形".性质:如果两个三角形是"友好三角形",那么这两个三角形的面积相等.理解：如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.应用：如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O．(1)求证:△AOB和△AOE是"友好三角形";（2）连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.探究：在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
,请直接写出△ABC的面积．【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2
.【解析】试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;(2)△AOE和△DOE是"友好三角形",即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.试题解析:（1）∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∵AE=BF,∴四边形ABFE是平行四边形,∴OE=OB,∴△AOE和△AOB是友好三角形.(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=
AD=3,∵△AOB与△AOE是友好三角形,∴S△AOB=S△AOE,∵△AOE≌△FOB,∴S△AOE=S△FOB,∴S△AOD=S△ABF,∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×
×4×3=12.探究:解：分为两种情况：①如图1,∵S△ACD=S△BCD.∴AD=BD=
AB,∵沿CD折叠A和A′重合,∴AD=A′D=
AB=
×4=2,∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
,∴S△DOC=
S△ABC=
S△BDC=
S△ADC=
S△A′DC,∴DO=OB,A′O=CO,∴四边形A′DCB是平行四边形,∴BC=A′D=2,过B作BM⊥AC于M,∵AB=4,∠BAC=30°,∴BM=
AB=2=BC,即C和M重合,∴∠ACB=90°,由勾股定理得：AC=
,∴△ABC的面积是
×BC×AC=
×2×2
=2
;②如图2,∵S△ACD=S△BCD.∴AD=BD=
AB,∵沿CD折叠A和A′重合,∴AD=A′D=
AB=
×4=2,∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
,∴S△DOC=
S△ABC=
S△BDC=
S△ADC=
S△A′DC,∴DO=OA′,BO=CO,∴四边形A′BDC是平行四边形,∴A′C=BD=2,过C作CQ⊥A′D于Q,∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,∴CQ=
A′C=1,∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2×
×A′D×CQ=2×
×2×1=2;即△ABC的面积是2或2
.考点：四边形综合题.11.如图,现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落在点B′处.AB′与CD交于点E.(1)求证:△AED≌△CEB′;（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F,连接CF,判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)由题意可得AD=BC=B'C,∠B=∠D=∠B',且∠AED=∠CEB',利用AAS证明全等,则结论可得;（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE,且EF⊥AC,根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC,∠AEF=∠CEF．即AF=CF,∠CEF=∠AFE=∠AEF,可得AE=AF,则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC,CD∥AB,∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C,∠B＝∠B'∴∠D＝∠B',AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC(2)四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE,EF⊥AC∴EF垂直平分AC,∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题,全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质,菱形的判定,熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键.12.如图,已知矩形ABCD中,E是AD上一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF＝EC.(1)求证:△AEF≌△DCE.（2）若DE＝4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长．【答案】(1)证明见解析;(2)6cm.【解析】分析:(1)根据EF⊥CE,求证∠AEF=∠ECD.再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE.(2)利用全等三角形的性质,对应边相等,再根据矩形ABCD的周长为32cm,即可求得AE的长.详解:（1）证明:∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.在Rt△AEF和Rt△DEC中,∠FAE=∠EDC=90°,∠AEF=∠ECD,EF=EC．∴△AEF≌△DCE.(2)解:∵△AEF≌△DCE.AE=CD.AD=AE+4.∵矩形ABCD的周长为32cm,∴2(AE+AE+4)=32.解得,AE=6(cm)．答:AE的长为6cm.点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握,难易程度适中,是一道很典型的题目．13.问题情境在四边形ABCD中,BA＝BC,DC⊥AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E,M是边AD的中点,连接MB,ME.特例探究(1)如图1,当∠ABC＝90°时,写出线段MB与ME的数量关系,位置关系;(2)如图2,当∠ABC＝120°时,试探究线段MB与ME的数量关系,并证明你的结论；拓展延伸(3)如图3,当∠ABC＝α时,请直接用含α的式子表示线段MB与ME之间的数量关系.【答案】(1)MB＝ME,MB⊥ME;(2)ME＝
MB.证明见解析;(3)ME＝MB·tan
.【解析】【分析】(1)如图1中,连接CM.只要证明△MBE是等腰直角三角形即可;(2)结论:EM=
MB．只要证明△EBM是直角三角形,且∠MEB=30°即可;（3）结论：EM=BM•tan
.证明方法类似；【详解】(1)如图1中,连接CM.∵∠ACD=90°,AM=MD,∴MC=MA=MD,∵BA=BC,∴BM垂直平分AC,∵∠ABC=90°,BA=BC,∴∠MBE=
∠ABC=45°,∠ACB=∠DCE=45°,∵AB∥DE,∴∠ABE+∠DEC=180°,∴∠DEC=90°,∴∠DCE=∠CDE=45°,∴EC=ED,∵MC=MD,∴EM垂直平分线段CD,EM平分∠DEC,∴∠MEC=45°,∴△BME是等腰直角三角形,∴BM=ME,BM⊥EM.故答案为BM=ME,BM⊥EM．(2)ME＝
MB.证明如下：连接CM,如解图所示．∵DC⊥AC,M是边AD的中点,∴MC＝MA＝MD.∵BA＝BC,∴BM垂直平分AC.∵∠ABC＝120°,BA＝BC,∴∠MBE＝
∠ABC＝60°,∠BAC＝∠BCA＝30°,∠DCE＝60°.∵AB∥DE,∴∠ABE＋∠DEC＝180°,∴∠DEC＝60°,∴∠DCE＝∠DEC＝60°,∴△CDE是等边三角形,∴EC＝ED.∵MC＝MD,∴EM垂直平分CD,EM平分∠DEC,∴∠MEC＝
∠DEC＝30°,∴∠MBE＋∠MEB＝90°,即∠BME＝90°.在Rt△BME中,∵∠MEB＝30°,∴ME＝
MB.(3)如图3中,结论：EM=BM•tan
．理由:同法可证:BM⊥EM,BM平分∠ABC,所以EM=BM•tan
.【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.14.如图1,矩形ABCD中,AB=8,AD=6;点E是对角线BD上一动点,连接CE,作EF⊥CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.(1)①如图2,当点F与点B重合时,CE=,CG=;②如图3,当点E是BD中点时,CE=,CG=;(2)在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时,猜想△EBG的形状?并加以证明;（3）在图1,
的值是否会发生改变?若不变,求出它的值；若改变,说明理由；（4）在图1,设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围．【答案】(1)
,
,5,
;(2)△EBG是直角三角形,理由详见解析;(3)
;(4)S=
x2﹣
x+48(0≤x≤
).【解析】【分析】(1)①利用面积法求出CE,再利用勾股定理求出EF即可;②利用直角三角形斜边中线定理求出CE,再利用相似三角形的性质求出EF即可;(2)根据直角三角形的判定方法:如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,则这个三角形是直角三角形即可判断;(3）只要证明△DCE∽△BCG,即可解决问题；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可;【详解】(1)①如图2中,在Rt△BAD中,BD=
=10,∵S△BCD=
•CD•BC=
•BD•CE,∴CE=
.CG=BE=
.②如图3中,过点E作MN⊥AM交AB于N,交CD于M．∵DE=BE,∴CE=
BD=5,∵△CME∽△ENF,∴
,∴CG=EF=
,(2)结论:△EBG是直角三角形.理由：如图1中,连接BH．在Rt△BCF中,∵FH=CH,∴B