江苏省连云港市灌南名校协作体2027届高三上学期8月阶段监测数学试卷（含答案）

2026-2027学年度高三第一学期8月学情质量监测

数学试题

注意事项

1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定

位置。

3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指

定位置作答，在其他位置作答一律无效。

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。

1.若集合A={-1,0,1,2},,则A∩B=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1}

2.已知复,则|2|等于()

B.3√2D.√5

c.2

3.已知空间中三条直线a,b,c与平面α分别交于不同的三点A,B,C,则“A,B,C三点共线”

是“直线a,b,c共面”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知10个互不相同的样本数据：x₁,x₂,…,x₁0的平均值为x,则关于新样本数据：

x₁,x₂,…,x₁₀,x,下列说法正确的是()

A.极差变大B.平均数变大

C.方差变小D.中位数变小

5.已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一

个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为()

6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念

数学家高斯，我们把函数y=[x](x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，

如[1.1]=1,[-1.1]=-2,则点集P={(x,y)[x²+[v²=1}所表示的平面区域的面积是()

A.2B.πC.4D.6

高三数学试题第1页共4页

7.已知F,F₂是双曲线(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F的直线与双曲线C

的右支交于点B,与V轴交于点A,若△ABF₂是正三角形，则双曲线的离心率为()

B.√3C.√2D.√6

8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若f(1-2x)+4x为偶

函数，g(x+2)=g(x-4),

A.2B.4C.5D.6

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。

9.已的展开式的第2项与第3项系数的和为,则()

A.n=6B.展开式的各项系数的和

C.展开式的各二项式系数的和为32D.展开式的常数项

10.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，Vx,y∈(0,+∞),都有f(x)+f(y)=f(xy),且当

x∈(1,+∞)时，f(x)<0,则下列结论正确的是()

A.若f(4)=-2,则f(2)=1

B.函数f(x)在(0,+0)上单调递减

C.若f(4)=-1,则不等式f(x+1)+f(x-2)>-1的解集为{x|0<x<1或x>4}

D.y=f(x+2)-f(2-x)为奇函数

11.在棱长为2正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，F是侧面BB₁C₁C内的一点(包

含边界),则以下结论正确的是()

A.若|AF|=√5,则点F的轨迹长度为

B.EF与A₁D所成角的最大值为

C.若三棱锥则点F的轨迹长度为2√2

D.若F在线段CC₁上，则三棱锥A-BB₁F的外接球表面积的取值范围是

高三数学试题第2页共4页

三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。

12.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,若S₂=6,S₄=18,则S₆=.

13.若曲线y=2Inx+a(a∈R)与圆有公共点P(x₀,y%),且在点P处的切线

相同，则实数a=.

14.已知圆柱00,点P是上底面圆周上的一动点，点A,B,C在下底面的圆周上，且满足

AB=2,∠ACB=30°,三棱锥P-ABC外接球的表面积为52π,则三棱锥P-ABC体积的

最大值为

四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。

15.(13分)某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文

物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8

件文物中随机选取3件进行巡回展览.

(1)求选出的3件文物都是汉代文物的概率；

(2)设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望E(X).

16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=120°,AD为∠BAC的角

平分线，且AD=2.

(1)若sinB=2sinC,求a的大小；

(2)当b+c取得最小值时，求△ABC的面积.

17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,

BC=3,点E满

(1)证明：直线CDI平面PAD;

(2)求平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值.

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18.(17分)已知椭圆C:1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,若点P为

椭圆的右顶点，且|PF|=1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知椭圆C上两点A,B(异于点P)关于坐标原点对称，直线AF,BF分别交椭圆C于

另一点D和点E.

(i)求直线PD与直线PE的斜率之积；

(ii)求△ABD面积的最大值.

19.(17分)已知函数y=f(x)的定义域为D,对于给定实数t,定义集合V,={x|f(x+t)≥f(x)}.

(1)若f(x)=x³-13x,求Vf(2);

(2)若D=R,求证：“y=f(x)为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t,使得

V=Vj(-)=D”.

,D=(0,+∞),,且对于任意的t∈D,都有Vj=D,

求实数a的取值范围.

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数学参考答案

一、单项选择题：共8小题，满分40分。

题号12345678

答案BABCACBD

二、多项选择题：共3小题，满分18分。

题号91011

答案ADBDACD

三、填空题：共5小题，满分15分。

12.4213.14.4+2√3

四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。

15.(1)从8件文物中任选3件，有C³=56种方法.

选出的3件文物都是汉代文物，有C³=4种方法.

故所求的概率

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.

所以X的分布列为

X0123

P

数学期望

16.(1)因为sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c,

因为∠BAC的角平分线交BC于点D,所以∠BAD=∠CAD=60°,

由SABC=SADB+S₄CDA,得

即bc=2c+2b,所以c=3,b=6,

在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2accos120°=36+9-2×3×6×(-÷)=63

即a=√63=3√7;

(2)由SABC=SADB+SACDA,

化简得bc=2c+2b,即

当且仅当b=c=4时等号成立，b+c取得最小值，

此时，△ABC面积

17.(1)∵PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,∴PA⊥CD,

∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD,

又PAnAD=A,PA,ADc平面PAD,

所以CD⊥平面PAD.

(2)∵PA⊥平面ABCD,ABc平面ABCD,∴PA⊥AB,

∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD,

以A为原点，AB,AD,AP向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则P(0,0,2),B(2,0,0),E(0,1,0),

∴PB=(2,0,-2),BE=(-2,1,0),

设平面PBE的法向量为n=(x,y,z),

取x=1,则y=2,z=1,即n₁=(1,2,1),

平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),

设平面PBE与平面ABCD夹角为θ,

18.(1)设半焦距为c,则右焦点F(c,0),又椭圆右顶点P(a,0),所以PF|=a-c=1,

由,解得则b²=a²-c²=3,

所以椭圆C的方程

(2)(i)设A(x,y₁),则B(-x,-y₁),由(1)得F(1,0),则直线AF的方程为

,得(15-6x₁)x²+(6x²-24)x+24x₁-15x²=0,

设D(xp,yp),由韦达定理得x₁,解

代入直线方程，可得

因为B(-x,-y₁),则可得

因为P(2,0),所以

(ii)由(i)知，A(x,y₁),B(-x,-y₁),

则|AB|=2√x²+y²,且直线AB的方程为即y₁x-xy=0,

则点D到直线AB的距

所以△ABD面

令5-2x₁=t,由x₁∈(-2,2),得t∈(1,9),则

代入可

当且仅当即t=3时取等号，

代入可

因为u≥6,所以当u=6时，S²有最大值，且为9,

所以△ABD面积S的最大值为3.

19.(1)V(2)={x|f(x+2)≥f(x