2026年浙江省人教版七年级数学第4章一元二次方程练习题

2026年浙江省人教版七年级数学第4章一元二次方程练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）个。①x²-3x=5；②2x+y=1；③x²=0；④3x³-x=2；⑤√x+1=3。A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】一元二次方程必须满足四个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数是2、二次项系数不为0。②是二元一次方程，④的最高次数是3，⑤未知数在根号内，均不符合。①、③、⑤的最高次数为2且二次项系数不为0，故正确。正确答案为C。2.用配方法解方程x²-6x+5=0，下列变形正确的是（）。A.(x-3)²=4B.(x+3)²=14C.(x-3)²=14D.(x+3)²=4【解析】配方法步骤：①将常数项移到等式右边，得x²-6x=-5；②等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x²-6x+9=4；③左边配成完全平方，得(x-3)²=4。正确答案为A。3.方程x²-4x+1=0的根的情况是（）。A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根【解析】利用根的判别式△=b²-4ac，其中a=1，b=-4，c=1，△=(-4)²-4×1×1=12>0，故有两个不相等的实数根。正确答案为B。4.若方程x²+px+q=0的两个根分别为x₁=2和x₂=-3，则p、q的值分别是（）。A.p=-1，q=-6B.p=1，q=-6C.p=-1，q=6D.p=1，q=6【解析】根据根与系数关系：x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入x₁=2，x₂=-3，得2+(-3)=-p⇒p=1，2×(-3)=q⇒q=-6。正确答案为B。5.下列方程中，通过因式分解法能直接解出的是（）。A.2x²-5x=3B.x²-4=0C.x²+2x+3=0D.x²-2x-1=0【解析】因式分解法适用于能写成(x-a)(x-b)=0形式的方程。B选项x²-4=(x-2)(x+2)=0，可直接分解。A选项需变形为2x²-5x-3=0，C、D选项无整数根。正确答案为B。6.若关于x的方程kx²-3x+2=0有一个根为x=1，则k的值是（）。A.1B.2C.3D.4【解析】将x=1代入方程，得k×1²-3×1+2=0⇒k-3+2=0⇒k=1。正确答案为A。7.已知方程x²-mx+9=0的两个实数根的平方和为18，则m的值是（）。A.±6B.±3C.6D.3【解析】设两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2×9=18⇒m²=36⇒m=±6。正确答案为A。8.若方程x²-kx+1=0有两个不相等的负数根，则k的取值范围是（）。A.k>2B.k<-2C.k>2或k<-2D.k>2且k<-2【解析】①两根为负数⇒x₁+x₂=k<0；②两根不等⇒△=k²-4>0⇒k>2或k<-2；③同时满足⇒k>2。正确答案为A。9.用公式法解方程2x²-7x-4=0，其根为（）。A.x₁=4，x₂=-1/2B.x₁=-4，x₂=1/2C.x₁=-1/2，x₂=4D.x₁=4，x₂=-2【解析】x=[-b±√△]/2a，其中a=2，b=-7，c=-4，△=(-7)²-4×2×(-4)=81，x=[7±9]/4⇒x₁=4，x₂=-1/2。正确答案为A。10.若方程x²+px+q=0与方程x²-qx+p=0有相同的根，则原方程的根为（）。A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=±1【解析】设公共根为α，代入两方程：α²+pα+q=0①，α²-qα+p=0②，①-②得(p+q)α=p-q⇒α=(p-q)/(p+q)。若α=1，则p-q=p+q⇒q=0，代入①得x²+px=0⇒x(x+p)=0⇒x=0或x=-p，矛盾。同理α=-1、0均不成立。正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程(x-1)²=4的解是________。【答案】x₁=-1，x₂=3【解析】开平方得x-1=±2⇒x=3或x=-1。2.若方程2x²-kx+3=0的一个根是x=3，则k=________。【答案】5【解析】代入x=3，得2×3²-3k+3=0⇒18-3k+3=0⇒k=7。3.方程x²-6x+c=0有两个相等的实数根，则c=________。【答案】9【解析】△=(-6)²-4c=0⇒c=9。4.若方程x²+mx-6=0的两个根的差为5，则m=________。【答案】±7【解析】x₁-x₂=|√△|/a=|√(m²+24)|/1=5⇒m²+24=25⇒m²=1⇒m=±1。5.方程3x²-5x=0的根是________。【答案】x₁=0，x₂=5/3【解析】因式分解3x(x-5/3)=0⇒x=0或x=5/3。6.若方程x²-px+8=0的一个根是2，另一个根是________。【答案】4【解析】x₁+x₂=p，x₁x₂=8，代入x₁=2得2+x₂=p，2x₂=8⇒x₂=4，p=6。7.若方程x²+mx+n=0与方程x²-nx+m=0有相同的根，则原方程的根为________。【答案】x=1【解析】设公共根为α，代入两方程：α²+mα+n=0①，α²-nα+m=0②，①-②得(m+n)α=n-m⇒α=(n-m)/(m+n)。若α=1，则n-m=m+n⇒m=0，代入①得x²+n=0⇒x=±√(-n)，需n<0，矛盾。故α≠1，需重新验证，实际解为α=1。8.若方程x²-kx+1=0的两个根的平方和为10，则k=________。【答案】±2√6【解析】x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=k²-2=10⇒k²=12⇒k=±2√3。9.若方程x²+px+q=0的一个根是1+√2，则另一个根是________。【答案】1-√2【解析】系数为有理数⇒另一个根为共轭根1-√2。10.若方程x²-mx+1=0与方程x²-nx+2=0有相同的根，则原方程的根为________。【答案】x=1【解析】设公共根为α，代入两方程：α²-mα+1=0①，α²-nα+2=0②，①-②得(m-n)α=1-2⇒α=-1/(m-n)。若α=1，则m-n=-1，代入①得1-m+1=0⇒m=2，矛盾。需重新验证，实际解为α=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-3x=0的根是x=3。【答案】×【解析】x(x-3)=0⇒x=0或x=3，原命题遗漏x=0。2.若方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则△>0。【答案】√【解析】根的判别式性质。3.若方程x²-mx+1=0的一个根是1，则m=2。【答案】√【解析】代入x=1，得1-m+1=0⇒m=2。4.方程(x-1)²=1的解是x=2。【答案】×【解析】x-1=±1⇒x=0或x=2，原命题遗漏x=0。5.若方程x²+px+q=0的两个根的平方和为3，则p²-2q=3。【答案】√【解析】x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q。6.若方程x²-kx+1=0有两个相等的实数根，则k=±2。【答案】×【解析】△=k²-4=0⇒k=±2√2。7.若方程x²+mx+n=0的一个根是2，另一个根是3，则m=5，n=6。【答案】√【解析】x₁+x₂=-m=5⇒m=-5，x₁x₂=n=6。8.方程x²-4x+4=0的根是x=2。【答案】×【解析】x-2=0⇒x=2（重根），原命题未说明重根。9.若方程x²+px+q=0与方程x²-qx+p=0有相同的根，则原方程的根为x=1。【答案】√【解析】设公共根为α，代入两方程：α²+pα+q=0①，α²-qα+p=0②，①-②得(p+q)α=q-p⇒α=(q-p)/(p+q)。若α=1，则q-p=p+q⇒p=0，代入①得x²+q=0⇒x=±√(-q)，需q<0，矛盾。故α≠1，需重新验证，实际解为α=1。10.若方程x²-mx+1=0的两个根的平方和为5，则m=±2。【答案】×【解析】x₁²+x₂²=p²-2=5⇒p²=7⇒m=±√7。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知方程x²-mx+8=0的一个根是2，求m的值。【参考答案】代入x=2，得2²-2m+8=0⇒4-2m+8=0⇒2m=12⇒m=6。2.若方程x²+px+q=0的两个根的差为3，求p的取值范围。【参考答案】x₁-x₂=|√△|/1=|√(p²-4q)|=3⇒p²-4q=9⇒q=(p²-9)/4。需△≥0⇒p²-4q≥0⇒p²-4[(p²-9)/4]≥0⇒p²-p²+9≥0⇒9≥0恒成立，故p为任意实数。3.若方程x²-mx+1=0的两个根都是正数，求m的取值范围。【参考答案】①两根为正数⇒x₁+x₂=m>0；②两根不等⇒△=m²-4>0⇒m>2或m<-2；③同时满足⇒m>2。4.若方程x²+px+q=0的一个根是1+√2，求另一个根及p、q的值。【参考答案】系数为有理数⇒另一个根为1-√2；x₁+x₂=-p=(1+√2)+(1-√2)=2⇒p=-2；x₁x₂=q=(1+√2)(1-√2)=1-2=-1。5.若方程x²-mx+1=0与方程x²-nx+2=0有相同的根，求原方程的根。【参考答案】设公共根为α，代入两方程：α²-mα+1=0①，α²-nα+2=0②，①-②得(m-n)α=1-2⇒α=-1/(m-n)。若α=1，则m-n=-1，代入①得1-m+1=0⇒m=2，矛盾。需重新验证，实际解为α=1。6.若方程x²-mx+1=0的两个根的平方和为3，求m的值。【参考答案】x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2=3⇒m²=5⇒m=±√5。7.若方程x²+px+q=0的一个根是1，另一个根是-2，求p、q的值。【参考答案】x₁+x₂=-p=1+(-2)=-1⇒p=1；x₁x₂=q=1×(-2)=-2。8.若方程x²-mx+1=0的两个根的差为√5，求m的值。【参考答案】x₁-x₂=|√△|/1=|√(m²-4)|=√5⇒m²-4=5⇒m²=9⇒m=±3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某长方形的周长为20cm，面积为18cm²，求长方形的长和宽。【参考答案】设长为xcm，宽为ycm，则x+y=10，xy=18⇒x²-10x+18=0⇒(x-2)(x-8)=0⇒x=2或x=8。当x=2时，y=8；当x=8时，y=2。故长为8cm，宽为2cm。2.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每件产品成本为50元，售价为80元。若要获得利润1000元，至少需要生产多少件产品？【参考答案】设生产x件产品，则总成本为2000+50x，总收入为80x，利润为80x-(2000+50x)=1000⇒30x=3000⇒x=100。至少需要生产100件产品。3.某长方形的对角线长为10cm，一边长为6cm，求长方形的面积。【参考答案】设长方形的长为xcm，宽为6cm，则x²+6²=10²⇒x²=64⇒x=8。面积S=8×6=48cm²。4.某班级购买甲、乙两种奖品共100件，总费用为300元。若甲奖品每件5元，乙奖品每件3元，求甲、乙两种奖品各购买多少件？【参考答案】设购买甲奖品x件，乙奖品y件，则x+y=100，5x+3y=300⇒y=100-x，5x+3(100-x)=300⇒2x=60⇒x=30，y=70。购买甲奖品30件，乙奖品70件。5.某水池有进水管和出水管，单开进水管5小时注满水池，单开出水管8小时排空水池。若两管同时打开，多少小时能注满水池？【参考答案】进水管速度为1/5池/小时，出水管速度为-1/8池/小时，两管同时打开速度为1/5-1/8=3/40池/小时。需时间40/3小时≈13小时20分钟。6.某二次函数的图像经过点(1,0)，(2,-3)，求该函数的解析式。【参考答案】设y=ax²+bx+c，代入(1,0)，得a+b+c=0①；代入(2,-3)，得4a+2b+c=-3②；①-②得3a+b=-3⇒b=-3-3a。代入①得a-3-3a+c=0⇒c=2a+3。设a=1，则b=-6，c=5，得y=x²-6x+5。7.某抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(1,-2)，且经过点(0,1)，求该抛物线的解析式。【参考答案】顶点式y=a(x-1)²-2，代入(0,1)，得a(0-1)²-2=1⇒a=3。故y=3(x-1)²-2=3x²-6x+1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.B5.B6.A7.A8.A9.A10.D二、填空题1.x₁=-1，x₂=312.513.914.±715.x₁=0，x₂=5/316.417.x=118.±2√619.1-√220.x=1三、判断题1.×22.√23.√24.×25.√26.×27.√28.×29.√30.×四、简答题1.632.p为任意实数33.m>234.x₁=1+√2，x₂=1-√2，p=-2，q=-135.x=136.m=±√537.p=1，q=-238.m=±3五、应用题1.长8cm，宽2cm40.100件41.48cm²42.甲30件，乙70件43.40/3小时44.y=x²-6x+545.y=3x²-6x+1【解析】一、单项选择题1.①x²-3x=5⇒x²-3x-5=0，②二元一次方程，③x²=0，④x³系数为3，⑤无理方程。2.配方法步骤：x²-6x=-5，x²-6x+9=4，(x-3)²=4。3.△=(-4)²-4×1×1=12>0，两不等实根。4.根与系数关系：x₁+x₂=-p=2+(-3)=-1⇒p=1；x₁x₂=q=2×(-3)=-6。5.因式分解法需直接可分解，B选项x²-4=(