第1章勾股定理单元测试卷2026-2027学年八年级上学期（北师版）数学

第1章勾股定理单元测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（）A．4 B．5 C．25 D．162．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（

）．A． B．，，C．， D．，，3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（）A．10 B．15 C．25 D．504．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是，笔筒的内部底面直径是，内壁高，这只铅笔露在笔筒外部的长度为，则h的最小值是（

）A． B． C． D．5．如果将直角三角形的三条边长同时扩大到原来的6倍，那么得到的三角形是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定6．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（）A．5米 B．7米 C．8米 D．10米7．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A． B． C． D．8．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（

）A． B． C． D．9．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺10．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（

）A． B． C． D．第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______．12．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________．13．在中，，，，则的面积为_______________．14．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________．15．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______．16．如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边．（1）若a＝1，b＝2，求c；（2）若a＝4，c＝5，求b．18．（6分）如图，分别以的三边为直径向图形外作半圆，这三个半圆的面积分别为，，，且，那么是不是直角三角形？请说明理由．19．（8分）如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？20．（8分）求下列各图形着色部分的面积：（1）着色部分是正方形；（2）着色部分是长方形；（3）着色部分是半圆．21．（10分）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：）22．（10分）如图，在中，，点D在边上，，．(1)猜想的度数，并说明理由；(2)若，求的面积．23．（12分）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域．(1)求监测点A与监测点B之间的距离；(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；(3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？24．（12分）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+(a−b)2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b（1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理．（2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？（3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度．第1章勾股定理单元测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（）A．4 B．5 C．25 D．16【解答】解：设斜边长为x，则直角边长为x﹣1，∵另一直角边长为3．由勾股定理得：（x﹣1）2+32＝x2解得：x＝5，即斜边长为5．故选：B．2．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（

）．A． B．，，C．， D．，，【答案】C【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，找出每组中的最长边，计算两条短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形．【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，A选项：∵，，，∴不能构成直角三角形；B选项：∵最长边为，，，，∴不能构成直角三角形；C选项：∵最长边为，，，满足，∴可以构成直角三角形；D选项：∵最长边为，，，，∴不能构成直角三角形．3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（）A．10 B．15 C．25 D．50【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2+c2＝2c2，∵c＝5，∴a2+b2+c2＝2×52＝50，故选：D．4．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是，笔筒的内部底面直径是，内壁高，这只铅笔露在笔筒外部的长度为，则h的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h取最小值，利用勾股定理求解．【详解】解：如图，当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h取最小值，由题意知，，，即h的最小值是．5．如果将直角三角形的三条边长同时扩大到原来的6倍，那么得到的三角形是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【详解】解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则，∵三条边长同时扩大6倍为，∴，，∴，∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大6倍，那么得到的三角形是直角三角形．6．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（）A．5米 B．7米 C．8米 D．10米【解答】解：如图：∵AB＝3米，AC＝4米∵∠A＝90°∴AB2+AC2＝BC2∴BC＝5米∴树折断之前有8米．故选：C．7．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案．【详解】解：A、，，∴图中只有一个直角三角形，不符合题意；B、，，∴图中有两个直角三角形，符合题意；C、，，∴图中没有直角三角形，不符合题意；D、，，∴图中没有直角三角形，不符合题意；故选：B．8．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∵沿折叠，使点与点重合，∴，设，则，∵，，∴，解得，∴，∴．9．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【解答】解：设水深GF长为x尺，则芦苇GE＝AG＝（x+1）尺，∵GF2+AF2＝AG2，∴x2解得：x＝12，则芦苇的长度为x+1＝12+1＝13（尺），故选：C．10．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题．【详解】解：如图所示，是等腰直角三角形，，，，，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，，，，，，，，故选：D．第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______．【答案】【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数．【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：，移项得：，根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角，因此．12．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________．【答案】2.4【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度．【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为，一条直角边长为，根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：．故答案为：2.4．13．在中，，，，则的面积为_______________．【答案】【分析】根据勾股定理逆定理判断的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积．【详解】解：由题意得，，，可得，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，，由三角形面积公式得．14．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________．【答案】2【分析】先由勾股定理求解，即可得到，根据梯子的长度不变，再由勾股定理求解，即可求解．【详解】解：在中，，，∴由勾股定理得梯子顶端下滑至在中，，，由勾股定理得．15．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______．【答案】3【详解】解：在中，由勾股定理得：，∴同理可得：，∴，∴．16．如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________．【答案】13【分析】画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接，根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线．由题可得：，，由勾股定理得：．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边．（1）若a＝1，b＝2，求c；（2）若a＝4，c＝5，求b．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边，a＝1，b＝2，由勾股定理得：c=a（2）∵a，b为直角边，c为斜边，a＝4，c＝5，由勾股定理得：b=c18．（6分）如图，分别以的三边为直径向图形外作半圆，这三个半圆的面积分别为，，，且，那么是不是直角三角形？请说明理由．【答案】是直角三角形，理由见解析【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形．【详解】解：是直角三角形，理由如下：∵，，，又∵，∴，∴，∴是直角三角形．19．（8分）如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？【答案】(1)5cm(2)13cm【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．【详解】（1）解：∵、，∠ABC=90°，∴对角线的长=cm；（2）解：如图所示：连接BD、ED，在Rt△BCD中，∵、，∠ABC=90°，∴BD=cm；在Rt△EBD中，ED＝cm．故这个盒子最长能放13cm的棍子．一、单选题20．（8分）求下列各图形着色部分的面积：（1）着色部分是正方形；（2）着色部分是长方形；（3）着色部分是半圆．【解答】解：（1）根据勾股定理得正方形的边长为13∴着色部分的面积为5×5＝25cm2；（2）根据勾股定理得长方形的长为15∴着色部分的面积为17×3＝51cm2；（3）根据勾股定理得半圆的直径为10∴半径为4cm，∴着色部分的面积为1221．（10分）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：）【答案】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．【详解】解：由题意得，，，，，，，，即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽．22．（10分）如图，在中，，点D在边上，，．(1)猜想的度数，并说明理由；(2)若，求的面积．【答案】(1)；理由见解析(2)68【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键．（1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果；（2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可．【详解】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2）在中，由勾股定理得，，．一、单选题23．（12分）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域．(1)求监测点A与监测点B之间的距离；(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；(3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为(2)海港C会受到此次台风的影响，见解析(3)台风影响该海港持续的时间为【分析】（1）利用勾股定理进行求解；（2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可；（3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解．【详解】（1）解：依题意得：中，，∴根据勾股定理得，答：监测点A与监测点B之间的距离为；（2）解：海港C受台风影响，理由：中，，，，，海港C会受到此次台风的影响；（3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，则．在中，，，台风的速度为，．答：台风影响该海港持续的时间为．24．（12分）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上