2026秋人教版八上数学 专题04 整式的乘法的七类综合题型（专题训练）

专题04整式的乘法的七类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、幂的混合运算类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值类型三、整式乘法混合运算——化简求值类型四、整式乘法与几何图形面积类型五、平方差公式与几何图形类型六、完全平方公式与几何图形类型七、整式的运算中的新定义型问题压轴专练类型一、幂的混合运算1.统一底数与指数优先将不同底数化为相同底数（如8化为2³，27化为3³），或将不同指数通过运算规则（如(xm)n=xmn）统一形式，为合并同类项创造条件。2.严格遵循运算顺序依次计算：先乘方（幂的乘方、积的乘方），再乘除，最后加减。遇括号先算括号内，并注意负号与底数的关系（如(-a)n与-an不同）。3.灵活逆用公式化简正向应用公式（如am·an=am+n）的同时，注意逆用（如am+n拆分为am·an）。混合运算中，常逆用积的乘方(ab)n=anbn进行分解或合并，以简化计算。例1．（2026八年级上·青海海西·期末）计算：．【变式1-1】（2026七年级下·江西九江·期末）计算：；【变式1-2】（2026七年级下·江苏扬州·期末）（1）计算：________；（2）若，，求的值；（3）若，求x的值．【变式1-3】（2026八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值；（2）若n为正整数，且，求的值．类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值1.先展开并合并同类项先按照多项式乘法法则（如用分配律或表格法）将两个多项式完整展开，并仔细合并所有同类项，将结果整理为按某字母降幂排列的标准多项式形式。2.令目标项的系数为零题目要求“不含某项”，即该项的系数应为0。在化简后的多项式结果中，准确找出目标项（如\(x^2\)项），将其系数（一个含参数的代数式）单独列出，并令其等于零。3.解方程并检验解这个关于参数的方程，求出字母的值。有时可能存在多个解，或需要分类讨论。最后建议将求得的参数值代回原乘积多项式，快速验证目标项是否确实消失，确保计算无误。例2．（2026七年级下·全国·期末）若的结果中不含有的一次项，则的值为．【变式2-1】（2026七年级下·宁夏银川·期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为．【变式2-2】（2026七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为．【变式2-3】（2026七年级下·湖北十堰·期末）已知展开后，不含和的项，则．类型三、整式乘法混合运算——化简求值1.先化简，再代入绝对不要直接代入原式。必须先利用整式乘法法则（单项式×多项式、多项式×多项式）和乘法公式（平方差、完全平方等）将原式展开并合并同类项，化为最简形式（如标准多项式或单项式）。2.掌握运算顺序与法则混合运算遵循先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内。计算时注意符号，单项式乘多项式注意分配律，多项式乘多项式注意逐项相乘、合并同类项。3.整体代入思想若化简后仍较复杂，或所给条件不易直接代入，尝试将条件整体变形后代入。例如，已知x²-2x=1，可将含x²的项用2x+1整体替换，避免解具体x值，简化计算。最后代值计算时注意运算准确。例3．（2026七年级下·甘肃酒泉·期末）先化简，再求值：，其中，．【变式3-1】（2026八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值：，其中，．【变式3-2】（2026七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中．【变式3-3】（2026七年级下·陕西西安·期末）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中，．类型四、整式乘法与几何图形面积1.数形结合，明确对应关系：将代数式中的每一项与图形的部分（如边长、分割后的小矩形）一一对应。单项式相乘对应长方形的长×宽，多项式乘法则对应将图形分割成若干小矩形求和。2.两种路径互相验证：计算同一图形面积时，通常有两种方法：直接法（整体长×宽，得一个乘积式）和分割求和法（各小面积相加，得一个多项式）。利用“面积不变”建立等式，这本质就是整式乘法的几何意义（如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd）。3.巧设未知，列式求解：当图形边长含未知数时，先用字母表示各边长，再分别用上述两种方法表示总面积，列出等式。通过对比系数或解方程，可求出未知量或验证公式。遇到不规则图形，常通过拼接、割补化为规则图形处理。例4．（2026七年级上·陕西西安·期末）陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米）(1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简）(2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？【变式4-1】（2026七年级下·河南郑州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）．(1)用含，的代数式表示花园的面积；(2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积；(3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？【变式4-2】（2026七年级下·湖北十堰·期末）实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量、数据如图所示．数据应用：(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；(2)若．请用给a，b赋值的办法推理，图的面积更大．（填“1”或“2”）【变式4-3】（2026八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．(1)用含a，b的代数式分别表示、；(2)若，，求的值；(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．类型五、平方差公式与几何图形1.构造等面积变换当题目涉及平方差\(a^2-b^2\)时，可将其视为边长为\(a\)的大正方形与边长为\(b\)的小正方形面积之差。通过图形切割，将其拼接为长为\((a+b)\)、宽为\((a-b)\)的长方形，从而直观验证公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。2.利用拼图简化计算在实际面积计算中，若图形可分解为两个正方形之差，或能通过平移、旋转拼成规则长方形，则直接应用平方差公式列式，避免复杂的分块计算。3.借助图形转化未知量对于含未知量的面积问题，通过设两正方形边长分别为\(x+a\)与\(x-a\)，可将面积差转化为\(4ax\)等线性关系，更易求解。反之，已知面积差与和，也可反求边长。例5．（2026七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是；(2)已知，，求的值．【变式5-1】（2026八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，；并写出上述过程所揭示的公式；(2)拓展提升：试利用这个公式计算：(3)迁移应用：计算【变式5-2】（2026七年级下·河北衡水·期末）如图，在一个边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，再将余下的部分拼成如图所示的长方形．【观察】比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式：______（用字母，表示）；【应用】计算：；【拓展】已知，，求的值．【变式5-3】（2026七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号）①②③(2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：（i）若，求的值；（ii）计算：．类型六、完全平方公式与几何图形1.构建面积模型将公式((a+b)2=a2+2ab+b2)对应边长为a+b的大正方形，其面积等于两个小正方形面积a2、b2和两个长方形面积各为ab之和。通过图形分割与拼补，直观理解公式结构。2.应用拼图简化求值求复杂图形总面积时，若可视为一个完整大正方形或缺失部分的正方形，则直接应用完全平方公式整体计算，比分别求各部分面积更快捷。3.利用图形转化条件已知图形各部分面积关系（如a2+b2与ab），通过完全平方公式的变形，如(a+b)2=a2+b2+2ab，可在图形中构造边长a+b的正方形，从而建立方程求解未知量。反之，已知整体边长也可反求部分面积。例6．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题．(1)若，，求的值；(2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积．【变式6-1】（2026八年级上·安徽·期末）（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．方法1：______．方法2：______．（2）利用等量关系解决下面的问题：，，求和的值；已知，求的值．【变式6-2】（八年级上·全国·期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；【变式6-3】（2026七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______；利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：（2）已知，，则的值为______；（3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积．类型七、整式的运算中的新定义型问题1.细读定义，转化为基本运算仔细解读新运算的规则（如“星运算”“三角运算”），明确其运算顺序和对应关系。将新定义中的符号（如a⊗b）翻译为学过的整式加减、乘除或乘方运算的组合式，这是解题的基础。2.严格套用，分步计算按新定义的规则分步代入计算，避免跳步。特别注意运算顺序是否满足交换律、结合律（新定义运算通常不满足），并优先处理括号内的新运算。计算过程保持严谨，写出中间步骤。3.验证性质，类比推理新定义问题常要求验证运算律（如是否满足分配律）或探究特殊值（如单位元）。此时，可将新运算视为一个整体，通过代数推导或举例验证。复杂问题可类比已学运算律的思路进行推理。例7．（2026七年级上·湖南株洲·期末）定义，如．(1)若，求x的值；(2)若的值与x无关，求值．【变式7-1】（2026七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定．例如，；．若为有理数，请解答下列问题：(1)若是一个完全平方式，求的值；(2)若，，求的值．【变式7-2】（2026七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．(1)；(2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则；(3)对于有理数、，若，．求的值．【变式7-3】（2026七年级下·北京平谷·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．(1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是___________；（填序号）(2)若为正整数，且，若是“双奇差数”，求的值；(3)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中为正整数．①求证：“双奇差数”都能被8整除；②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证．一、单选题1．（2026八年级上·广东广州·期末）下列运算结果正确的是（

）A． B．C． D．2．（八年级上·云南红河·期末）小杰在计算时，发现结果中不含x的一次项，则m的值为（

）A．2 B． C．1 D．03．（2026七年级上·云南红河·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（

）①；

②；

③．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个4．（2026八年级上·云南红河·期末）有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（

）A． B．C． D．5．（2026八年级上·湖北荆州·期末）有个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加记为；将第二项与相加作为第三项；将加记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，则和第项的结果分别是（

）A．， B．，C．， D．，二、填空题6．（2026七年级上·上海·期末）计算：．7．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为．8．（2026八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为9．（2026七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是；如图2，若，，则的值是．10．（2026七年级下·山东菏泽·期末）定义，如，已知，（n为常数）．若A的代数式中不含x的一次项，当时，则的值为．三、解答题11．（2026七年级下·江苏盐城·期末）计算：(1)；(2)．12．（七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中．13．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）．(1)求种菜部分的面积；（结果需要化简）(2)若，求种菜部分的面积．14．（2026七年级下·甘肃兰州·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是．A．

B．

C．(2)已知，，求的值．(3)应用所得的公式计算：．15．（2026七年级下·山东济南·期末）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是；【拓展应用】根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题：（2）若，且，求的值；（3）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．答案解析类型一、幂的混合运算例1．（2026八年级上·青海海西·期末）计算：．【答案】【分析】本题主要考查幂的运算性质，包括幂的乘方、同底数幂的乘法，以及合并同类项．解题的关键在于熟练掌握幂的运算性质，将每一个单项式通过幂的运算规则进行化简，再将化简后的同类项合并，从而得到最简结果．【详解】【变式1-1】（2026七年级下·江西九江·期末）计算：；【答案】【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可．【详解】解：．【变式1-2】（2026七年级下·江苏扬州·期末）（1）计算：________；（2）若，，求的值；（3）若，求x的值．【答案】（1）；（2）12；（3）3【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先利用有理数乘方的逆运算可得，再利用积的乘方的逆用计算即可得；（2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再利用幂的乘方的逆用计算即可得；（3）根据有理数乘方的逆运算可得，再计算幂的乘方、同底数幂的乘法法则计算即可得．【详解】解：（1）原式．（2）∵，，∴．（3），∵，∴，∴，解得．【变式1-3】（2026八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值；（2）若n为正整数，且，求的值．【答案】（1）m的值为15；（2）512【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键．（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可；（2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值．【详解】（1）解：原式即，则，即，∴m的值为15；（2）解：原式．∴的值为512．类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值例2．（2026七年级下·全国·期末）若的结果中不含有的一次项，则的值为．【答案】【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键；按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可．【详解】，，，若的结果中不含有的一次项，则，解得．故答案为：．【变式2-1】（2026七年级下·宁夏银川·期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为．【答案】【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则计算与的乘积，然后根据它们的乘积中不含的一次项，列出关于的方程，解方程即可．【详解】解：与的乘积中不含的一次项，，解得：，故答案为：．【变式2-2】（2026七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为．【答案】3【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据展开式中含项的系数为3，求得的值即可．【详解】解：∵，∵代数式中含项的系数为3，∴，解得，故答案为：3．【变式2-3】（2026七年级下·湖北十堰·期末）已知展开后，不含和的项，则．【答案】【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则将展开，然后根据展开后不含和的项，得出关于、的方程，求解、的值，最后代入计算结果．本题主要考查了多项式乘多项式以及代数式求值，同时涉及了方程的思想．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，能准确根据不含某一项得出对应系数为的方程是解题的关键．【详解】解：∵展开后不含和的项，∴，解得，∴故答案为：．类型三、整式乘法混合运算——化简求值例3．（2026七年级下·甘肃酒泉·期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】，28【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键．先根据整式的混合运算法则化简，，然后将、代入求值即可．【详解】解：，当，时，原式．【变式3-1】（2026八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】；4【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．【详解】解：，当，时，原式．【变式3-2】（2026七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键．先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可．【详解】解：原式，，，原式．【变式3-3】（2026七年级下·陕西西安·期末）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中，．【答案】（1）；（2），【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（2）先化简所求式子，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：（1）；（2），当，时，原式．类型四、整式乘法与几何图形面积例4．（2026七年级上·陕西西安·期末）陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米）(1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简）(2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？【答案】(1)（平方米）；(2)元．【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系．（1）根据题意，结合图形列式即可；（2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算，将结果与相乘即可．【详解】（1）解：（平方米）；（2）当米时，（平方米），（元），即修建观赏台需要总费用元．【变式4-1】（2026七年级下·河南郑州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）．(1)用含，的代数式表示花园的面积；(2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积；(3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？【答案】(1)(2)(3)元【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则．（1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可；（2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可；（3）代数求值即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：当，时，，（元），所以购买所需地砖需要元．【变式4-2】（2026七年级下·湖北十堰·期末）实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量、数据如图所示．数据应用：(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；(2)若．请用给a，b赋值的办法推理，图的面积更大．（填“1”或“2”）【答案】(1)图1中建筑物的占地面积为，图2中建筑物的占地面积为(2)1【分析】本题主要考查了列代数式、整式的乘法、因式分解，能根据题意用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积是解题的关键．（1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积即可．（2）根据（1）中所得代数式，结合即可解决问题．【详解】（1）解：由题意得，图1中建筑物的占地面积为：；图2中建筑物的占地面积为：．（2）解：，∵，∴假设，∴即∴∴图1的面积更大．故答案为：1．【变式4-3】（2026八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．(1)用含a，b的代数式分别表示、；(2)若，，求的值；(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．【答案】(1)，(2)165(3)15【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、；（2）根据，将，，代入进行计算即可；（3）根据，，即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）解：由图可得，，；（2）解：，∵，，∴；（3）解：由图可得，，∵，∴．类型五、平方差公式与几何图形例5．（2026七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是；(2)已知，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键．（1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可；（2）由，可得，再把代入计算即可．【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：，边长为b的正方形的面积为：，∴图1的阴影部分面积为：，图2中长方形的长为：，长方形的宽为：，∴图2长方形的面积为：，∴验证的等式是；（2）解：∵，∴，∵，∴．【变式5-1】（2026八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，；并写出上述过程所揭示的公式；(2)拓展提升：试利用这个公式计算：(3)迁移应用：计算【答案】(1)，，(2)(3)2【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练地推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键．（1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案；由图①与图②阴影部分的面积相等可得公式；（2）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可．（3）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可．【详解】（1）解：，，∵，∴；（2）解：；（3）解：.【变式5-2】（2026七年级下·河北衡水·期末）如图，在一个边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，再将余下的部分拼成如图所示的长方形．【观察】比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式：______（用字母，表示）；【应用】计算：；【拓展】已知，，求的值．【答案】[观察]；[应用]；[拓展]【分析】观察：根据图形的面积列出等式即可；应用：利用平方差公式计算即可；拓展：先利用平方差公式进行因式分解，再把已知代入计算即可求解；本题考查了平方差公式的几何背景，利用平方差公式计算，掌握平方差公式是解题的关键．【详解】解：观察：由图可得，，故答案为：；应用：∵，∴，∴；拓展：，∵，，∴．【变式5-3】（2026七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号）①②③(2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：（i）若，求的值；（ii）计算：．【答案】(1)②(2)（i）3；（ii）16204【分析】本题考查平方差公式与几何的综合应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键：（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果；（2）（i）利用（1）中结论进行求解即可；（ii）将式子转化为，再利用（1）中结论进行求解即可．【详解】（1）解：由图1可得：；由图2可得：；∴；故答案为：②；（2）（i）∵，，∴；（ii）．类型六、完全平方公式与几何图形例6．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题．(1)若，，求的值；(2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键．（1）根据，代入计算即可；（2）由题意可知，根据，代入即可求得，再根据，代入可得，由，可得，最后根据直角梯形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：，且，，，解得．故的值为；（2）由题意可知，，，且四边形为直角梯形，，，，，解得，，，，．故阴影部分的面积为．【变式6-1】（2026八年级上·安徽·期末）（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．方法1：______．方法2：______．（2）利用等量关系解决下面的问题：，，求和的值；已知，求的值．【答案】（1），，（2）①，，②【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键．（1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积；也可以直接利用小正方形的面积公式得到；（2）①根据（1）的结论代入进行计算即可求解；②根据（1）的结论代入进行计算即可求解．【详解】解：（1）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积，∵小正方形的边长为，大正方形的边长为，∴阴影部分的面积表示为或，故答案为：，．（2）①∵，，∴，∵，∴；②∵，∴，∴，∴，∴．【变式6-2】（八年级上·全国·期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键．（1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论；（2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可．【详解】（1）解：图2的面积可表示为或，图2中所表示的数学等式为；（2）∵，，∴，∵∴∴.【变式6-3】（2026七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______；利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：（2）已知，，则的值为______；（3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．（1）用两种方法表示图2的面积即可解答；（2）根据即可求出；（3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可．【详解】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为所以有．故答案为：．（2）∵，∴，∴．故答案为：．（3）∵，∴，∴，∴（已舍弃负值），∴．类型七、整式的运算中的新定义型问题例7．（2026七年级上·湖南株洲·期末）定义，如．(1)若，求x的值；(2)若的值与x无关，求值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键．（1）根据定义得出，进行求解即可；（2）根据题意得出，求出的值即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，整理得，；（2）解：∵值与x无关，∴解得，∴．【变式7-1】（2026七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定．例如，；．若为有理数，请解答下列问题：(1)若是一个完全平方式，求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键：（1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值；（2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解．【详解】（1）解：．因为是一个完全平方式，所以．所以或．（2）因为，所以．所以．因为，所以．所以【变式7-2】（2026七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．(1)；(2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则；(3)对于有理数、，若，．求的值．【答案】(1)(2)2或(3)56【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．（1）根据新运算的规则计算即可；（2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论；（3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题．【详解】（1）解：原式．故答案为：；（2）解：原式，是完全平方公式，或．故答案为：2或；（3）解：原式，，，，，．【变式7-3】（2026七年级下·北京平谷·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．(1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是___________；（填序号）(2)若为正整数，且，若是“双奇差数”，求的值；(3)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中为正整数．①求证：“双奇差数”都能被8整除；②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证．【答案】(1)②(2)(3)①见解析；②验证见解析，差恒为【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解新定义，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解；（2）将式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可；（3）①利用平方差公式计算即可得解；②设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解．【详解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；故在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是②；（2）解：，∵为正整数，且，是“双奇差数”，∴；（3）①证明：，∵为正整数，∴“双奇差数”都能被8整除；②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为，∴任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为．一、单选题1．（2026八年级上·广东广州·期末）下列运算结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；B、，正确，符合题意；C、与不是同类项，不能合并，不符合题意；D、，原计算错误，不符合题意．故选：B．2．（八年级上·云南红河·期末）小杰在计算时，发现结果中不含x的一次项，则m的值为（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】C【分析】本题考查了多项式的乘法．展开多项式后，令x一次项的系数为零，求解m即可．【详解】解：，∵结果中不含x的一次项，∴，∴，∴．故选：C．3．（2026七年级上·云南红河·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（

）①；

②；

③．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性．【详解】解：对于结论①：，∴结论①错误．对于结论②：，，．∴结论②正确．对于结论③：，同理，．∴结论③正确．综上，正确结论有②和③，共2个．故选：B．4．（2026八年级上·云南红河·期末）有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，先观察图形，根据总面积不变，进行列式计算，然后分析，即可作答．【详解】解：方案一，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积即；方案二，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个梯形的面积即；方案三，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积即；综上：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是故选：C．5．（2026八年级上·湖北荆州·期末）有个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加记为；将第二项与相加作为第三项；将加记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，则和第项的结果分别是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】本题主要考查了整式规律，结合乘法公式计算是解题的关键．通过已知条件，表示出第一项和第二项，再根据式子中的计算方式推导计算即可；【详解】第一项：，第二项：，第二项减去第一项得：，得：，第三项是第二项与相加：，得：，第四项是第三项与相加：，得：，第五项是第四项与相加：，得：，通过观察，可以发现：，，，，第项的形式为，即，对于，计算得到；故选．二、填空题6．（2026七年级上·上海·期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘除，先算幂的乘方，再算同底数幂乘除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．7．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为．【答案】17【分析】本题主要考查多项式乘多项式；展开左边多项式，利用等式两边对应项系数相等，求出m和n的值，再计算它们的和．【详解】解：∵，又∵，∴，对比系数得，，即，∴．故答案为：17．8．（2026八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为【答案】【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可．【详解】解：因为是一个完全平方式，所以可以变形为所以．故答案为：．9．（2026七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是；如图2，若，，则的值是．【答案】【分析】本题主要