2026秋人教版八上数学 专题15 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型（专题训练）

专题15分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、解分式方程类型二、解分式方程错解复原问题类型三、已知分式方程的增根求参数类型四、已知分式方程的无解求参数类型五、根据分式方程解的情况求值类型六、分式方程中的规律探究问题类型七、分式方程中的新定义型问题压轴专练类型一、解分式方程1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。例1．解分式方程：(1)；(2)．【变式1-1】解方程：(1)；(2)．【变式1-2】解方程．(1)；(2)．【变式1-3】解方程：(1)；(2)．类型二、解分式方程错解复原问题1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步出错的。通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。完全忘掉之前的错误解法，按照**"去分母、解整式方程、检验"**的正确步骤重新解一遍。3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。例2．对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下．解：方程两边同乘，得，

第一步，

第二步．

第三步检验，当时，，所以，是分式方程的解．

第四步小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答：(1)小叶的解法从第_______步开始出现错误；(2)请写出正确的解答过程．【变式2-1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．解：去分母得，，第一步，去括号得，，第二步，解得，．第三步，检验：当时，，第四步，∴是原方程的根，第五步．任务：(1)小亮同学的求解过程从第步开始出现错误，错误的原因是；(2)请你改正并写出完整的解方程过程；(3)解分式方程产生增根的原因是．【变式2-2】佳佳计算分式方程的过程如下：解方程：去分母，得

第①步移项，得

第②步合并同类项，得

第③步系数化1，得

第④步经检验，是该分式方程的解．(1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）：(2)请你写出正确的解答过程．【变式2-3】解分式方程：．下面是解题过程，请认真阅读并完成任务．解：………第一步…………第二步……第三步解得：……第四步任务一：填空（1）第______步是去分母，去分母的依据是______．（2）第______步出现错误，错误的原因是______．任务二：填空（3）直接写出该分式方程的正确结果______．（4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整．类型三、已知分式方程的增根求参数1.

确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。这一步是解题的关键前提。2.

代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。这样就可以解出题目中要求的参数值。3.

结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。这一步能确保你的答案万无一失。例3．关于x的分式方程有增根，则m的值为；【变式3-1】若关于x的方程有增根，则a的值是．【变式3-2】当时，方程会产生增根．【变式3-3】若分式方程有增根，则它的增根是．类型四、已知分式方程的无解求参数1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。如果这个整式方程是

0x=非零数

的形式，那么它本身就没有解。这种情况下，原分式方程自然也无解。2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。这个解就是增根。因此，原分式方程无解。这种情况的解法和上一轮"已知增根求参数"是一样的。例4．关于的分式方程无解，则的值为．【变式4-1】如果关于的方程无解，则的值为．【变式4-2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为．【变式4-3】已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为．类型五、根据分式方程解的情况求值1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。再将解代入，确保分母不为零。这是最基础的"先解方程，后代入"思路。2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论：-情况一：转化后的整式方程本身无解。-情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。然后根据要求列出不等式，如解>0或解<0。最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。例5．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是．【变式5-1】关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是．【变式5-2】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为．【变式5-3】已知分式方程．（1）若分式方程无解，则b的值为．（2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为．类型六、分式方程中的规律探究问题1.

解前几个方程，找规律：题目通常会给你n=1,n=2,n=3...时的分式方程。你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号n放在一起观察。2.

猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号n之间有什么联系。试着用含n的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。3.

验证规律的正确性：找到规律后，最好再用n=4或n=5来验证一下。把n值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。例6．（2026八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；……小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下：由①，得或；由②，得或；由③，得或．(1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解．(2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解．(3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值．【变式6-1】（2026七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程的解为，；方程的解为，；．．．．．．(1)根据上面的规律，猜想的解为；(2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解；(3)解方程：．【变式6-2】（2026八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征第1个方程：的解为第2个方程：的解为第3个方程的解为解答下列问题：(1)猜想，第5个方程，方程的解为________．(2)关于的第个方程为________，它的解为________；(3)利用上述规律解关于的分式方程：类型七、分式方程中的新定义型问题1.

仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。2.

套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。3.

求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解的有效性，避免出现增根。例7．（2026七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”．例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2．(1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”．(2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数，①求所表示的代数式．②求所有符合条件的的值．(3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）．【变式7-1】（2026八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”(1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母）A．；B．(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．【变式7-2】（2026八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”．①（

）；②（

）．(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．(3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．一、单选题1．（2026八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（

）A．1 B．2 C．-1 D．-22．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程有增根，则增根是（

）A． B． C． D．3．（20-21八年级上·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（）A． B．2 C． D．4．（2026八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（

）A． B． C． D．5．（2026八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、填空题6．(2025八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知关于x的分式方程无解，则a的值为．7．（2026九年级上·北京海淀·开学考试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是．8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为．9．（宁夏吴忠·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解．10．（九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是．三、解答题11．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程：(1)；(2)；(3)．12．（2026八年级下·宁夏银川·期末）请阅读下列材料并回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：解：方程两边同乘以，得，①去括号，得，②解得，检验：当时，，③所以是原分式方程的解．④(1)你认为小明在哪里出现了错误（只填序号）；(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事项；(3)写出上述分式方程的正确解法．13．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．14．（八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题：(1)________；(2)计算；(3)求方程的解．15．（2026七年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列方程及其解的特征：①的解为，；②的解为，；③的解为，；……解答下列问题：(1)第4个方程的解为________．(2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______．(3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性．16．（2026八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程．(1)若方程的增根为，求m的值；(2)若方程有增根，求m的值；(3)若方程无解，求m的值．17．（2026八年级上·贵州铜仁·期中）阅读理解，并根据所得规律答题．小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，……以此类推：(1)请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是______；(2)根据上述的规律，猜想由关于的方程得到______；(3)拓展延伸：由（）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．18．（八年级下·江苏南京·竞赛）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂．例如为十字分式方程，可化为．再如为十字分式方程，可化为．．应用上面的结论解答下列问题：(1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值．(2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值．答案解析类型一、解分式方程例1．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)无解(2)【分析】本题主要考查了解分式方程．（1）将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得．（2）将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得．【详解】（1）解：去分母得：整理得：，解得：，检验：当时，∴是分式方程的增根，∴原方程无解．（2）解：去分母得：，整理得：，解得：，检验：当时，，故原方程的解是．【变式1-1】解方程：(1)；(2)．【答案】(1)是原方程的解(2)原方程无解【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】（1）解：去分母得，解得

检验：将代入∴是原方程的解；（2）解：去分母得，解得检验：将代入∴是原方程的增根∴原方程无解．【变式1-2】解方程．(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意验根．（1）方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可；（2）方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可．【详解】（1）解：方程两边同乘，得，解得，检验：当时，，∴是原方程的解．（2）方程两边同乘，得，解得，检验：当时，，∴不是原方程的解．即原方程无解．【变式1-3】解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解．【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】（1）解：，方程两边都乘，得，解得，检验：当时，，所以分式方程的解是；（2）解：，，方程两边都乘，得，解得，检验：当时，，所以是增根，即分式方程无解．类型二、解分式方程错解复原问题例2．对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下．解：方程两边同乘，得，

第一步，

第二步．

第三步检验，当时，，所以，是分式方程的解．

第四步小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答：(1)小叶的解法从第_______步开始出现错误；(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)一(2)，过程见解析【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．（1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案；（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母；（2）解：方程两边同乘，得，∴，解得，检验，当时，，∴是原方程的解．【变式2-1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．解：去分母得，，第一步，去括号得，，第二步，解得，．第三步，检验：当时，，第四步，∴是原方程的根，第五步．任务：(1)小亮同学的求解过程从第步开始出现错误，错误的原因是；(2)请你改正并写出完整的解方程过程；(3)解分式方程产生增根的原因是．【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母；(2)正确过程见解析；(3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根．【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．（1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可；（2）写出正确的解方程过程即可；（3）分析解分式方程产生增根的原因即可．【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母；故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母；（2）解：去分母得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，解得：，检验：把代入得：，∴是增根，分式方程无解；（3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根．故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根．【变式2-2】佳佳计算分式方程的过程如下：解方程：去分母，得

第①步移项，得

第②步合并同类项，得

第③步系数化1，得

第④步经检验，是该分式方程的解．(1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）：(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)①(2)【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）观察式子特征，第一次出现错误的步骤是①，即可作答．（2）先把分式方程化为整式方程，再解出，验根，即可作答．【详解】（1）解：依题意，第一次出现错误的步骤是①，则正确的是：去分母得．（2）解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，经检验，是该分式方程的解．【变式2-3】解分式方程：．下面是解题过程，请认真阅读并完成任务．解：………第一步…………第二步……第三步解得：……第四步任务一：填空（1）第______步是去分母，去分母的依据是______．（2）第______步出现错误，错误的原因是______．任务二：填空（3）直接写出该分式方程的正确结果______．（4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整．【答案】（1）二，等式的性质2；（2）三，去括号时忘记变号；（3）；（4）见解析【分析】本题考查解分式方程．根据题意逐一对步骤进行分析，并解出最后答案即可．【详解】解：（1）第二步是是去分母，去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘以相同的数，等式大小不变，故答案为：二，等式的性质2；（2）第三步出现错误，因为完全平方展开后去括号忘记变号了，故答案为：三，去括号时忘记变号；（3），，，，解得：，检验：将代入分式方程，方程有解，∴为分式方程的解；（4）最后一步忘记检验检验：将代入分式方程，方程有解，∴为分式方程的解．类型三、已知分式方程的增根求参数例3．关于x的分式方程有增根，则m的值为；【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值．【详解】解：根据题意得：，分式方程有增根，最简公分母，解得，，将代入，得，故答案为：【变式3-1】若关于x的方程有增根，则a的值是．【答案】【知识点】分式方程无解问题【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值．【详解】解：由分式方程的最简公分母是，得分式方程的增根是.分式方程转化成整式方程为，把代入，得，解得．故答案为：．【变式3-2】当时，方程会产生增根．【答案】【知识点】分式无意义的条件、分式方程无解问题【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根．先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出．【详解】解：把方程化为整式方程得，方程有增根，，，把代入得，，故答案为：．【变式3-3】若分式方程有增根，则它的增根是．【答案】【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根．【详解】解：由，去分母，得，∵分式方程有增根，∴，∴或，当时，，解得；当时，，矛盾，a不存在．故答案为：．类型四、已知分式方程的无解求参数例4．关于的分式方程无解，则的值为．【答案】或或【知识点】分式方程无解问题【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值．【详解】解：去分母得，，当增根为或时，或解得或，即或时，分式方程无解，当时，即时，整式方程无解，分式方程无解，综上可知，当的值为或或．故答案为：或或【变式4-1】如果关于的方程无解，则的值为．【答案】或【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可．【详解】解：，方程两边同时乘，得，去括号得，，移项、合并同类项，得，，方程无解，或，解得或，故答案为：或．【变式4-2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为．【答案】3【知识点】分式方程无解问题【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答．【详解】解：，去分母得：，解得，，因为方程无解，即，解得，，即，得：．故答案为：3．【变式4-3】已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为．【答案】或【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：，∴，整理得：，当，方程无解，∴，∴原分式方程无解，当时，，若分式方程无解，则，∴，综上，的值为或，故答案为：或．类型五、根据分式方程解的情况求值例5．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是．【答案】且【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可．【详解】解：原方程去分母，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得：∵关于x的分式方程的解为负数，∴且．∴且．故答案为：且．【变式5-1】关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是．【答案】且【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零．【详解】解：由原方程去分母，得，解得，关于x的方程的解是正数，，解得，又，，，，故m的取值范围为且，故答案为：且．【变式5-2】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为．【答案】3，4，0【知识点】根据分式方程解的情况求值【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值．【详解】解：方程两边乘以，得：，整理得：；由于方程有解，则，即，∴；由于方程有整数解，则，解得：或或或，当时，，此时方程无解；综上，整数m的值为3，4，0．【变式5-3】已知分式方程．（1）若分式方程无解，则b的值为．（2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为．【答案】且【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键．（1）先将分式方程化为整式方程，再求b．（2）先表示分式方程的解，再求范围．【详解】（1）方程两边同乘得：．∴．方程无解，，．∴．∴．故答案为：．（2）由（1）知：．∴．方程的解是非负数．∴．∴．，∴．∴．∴且故答案为：且．类型六、分式方程中的规律探究问题例6．（2026八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；……小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下：由①，得或；由②，得或；由③，得或．(1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解．(2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解．(3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值．【答案】(1)第4个方程为：，得或，(2)第个方程为：，得或，(3)或．【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确．（1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题；（2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可；（3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值．【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：，得或，经检验，或是该方程的解；（2）解：根据题意可知，第个方程为：，即；得或，经检验，或是该方程的解；（3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是，即方程的一个解是，则，得或，解得或．【变式6-1】（2026七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程的解为，；方程的解为，；．．．．．．(1)根据上面的规律，猜想的解为；(2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解；(3)解方程：．【答案】(1)，；(2)，，(3)，．【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果；（2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；（3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，．故答案为：，（2）解：由，得，∴，∴，由（1）中法规律得方程的解为：，；（3）解：由，得，∴，∴，∴，∴，或，解得，．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式6-2】（2026八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征第1个方程：的解为第2个方程：的解为第3个方程的解为解答下列问题：(1)猜想，第5个方程，方程的解为________．(2)关于的第个方程为________，它的解为________；(3)利用上述规律解关于的分式方程：【答案】(1)(2)，(3)【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键．（1）仿照题中规律，解答即可；（2）仿照题中规律，解答即可；（3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可．【详解】（1）解：，即，∴，，故答案为：，；（2）解：可猜想第n个方程为：的解为，，故答案为：，；（3）解：方程两边乘2得，，移项，得，∴或，解得：，，经检验得，，是原方程的解．类型七、分式方程中的新定义型问题1.

仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。2.

套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。3.

求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解的有效性，避免出现增根。例7．（2026七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”．例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2．(1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”．(2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数，①求所表示的代数式．②求所有符合条件的的值．(3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）．【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析(2)①；②2，4，0，6(3)【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组，（1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案；（2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式；②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案；（3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可．【详解】（1），，，不是的“和谐式”；（2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1，，，，，，，②，为整数，且的值也为整数，是的因数，可能是：，，的值为：2、4、0、6，且都满足；（3）∵是的“和谐式”，∴设∴∴解得∴．∴关于的“和谐值”是．【变式7-1】（2026八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”(1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母）A．；B．(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．【答案】(1)B(2)．【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键．（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案；（2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：当，时，分式方程，解得，，不是“关联数对”；当，时，分式方程，解得，，是“关联数对”；故答案为：B；（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，，，，解得，，，解得．【变式7-2】（2026八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”．①（

）；②（

）．(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．(3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键．（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案；（2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案；（3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案．【详解】（1）解：当，时，分式方程，解得，，①的答案是；当，时，分式方程，解得，，②的答案是；故答案为：；；（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，，，，解得，，，解得；（3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，，，，，，，，，当时，解得，将化简得：，解得，关于的方程有整数解，且为整数，或，即或或或，解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去），，．一、单选题1．（2026八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键．将代入得到关于a的方程求解即可．【详解】解：将代入可得：，解得：．故选：A．2．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程有增根，则增根是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式方程的增根问题，由分式方程有增根，得到最简公分母，进而可得答案．【详解】解：方程的最简公分母为，由分式方程有增根，得到，即，则增根是，故选：．3．（20-21八年级上·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．根据掌握分式方程无解的条件，即可求解．【详解】解：方程两边同乘，得：，整理得：，解得：，原方程无解，，，故选：C．4．（2026八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，由题干中的新定义得出方程，解分式方程即可得解．【详解】解：∵对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，∴，∵，∴，解得：，当时，，∴方程的解是，故选：A．5．（2026八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键.根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案.【详解】∵解得：经检验，是分式方程的解，故选：C．二、填空题6．(2025八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知关于x的分式方程无解，则a的值为．【答案】5或【分析】本题主要考查了根据分式的无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况．化分式方程为整式方程，然后利用分式无解的情况求参数即可．【详解】解：当时，原分式方程无解，此时，；当时，，代入上式得，；当时，，代入上式无解；综上a的值为5或，故答案为：5或．7．（2026九年级上·北京海淀·开学考试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根据解的情况得到关于的不等式，求出的取值范围，并求出最简公分母不等于时的取值即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．【详解】解：方程两边乘以，得，∴，∵方程的解是正数，∴，∴，又∵，∴，∴，∴的取值范围是且，故答案为：且．8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为．【答案】【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键；根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案．【详解】解：根据题意：方程即为：，即，去分母得：，解得：，经检验：是原方程的解；故答案为：．9．（宁夏吴忠·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解．【答案】第n个方程为，其解为【分析】本题主要考查了与分式方程有关的规律探索，观察可得规律，第n个方程左边的式子的分子为n，分母为，方程右边的式子，第一项分子为，分母为，第二项为，其解为，据此规律求解即可．【详解】解：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；……，以此类推，可知，第n个方程为，其解为，故答案为：第n个方程为，其解为．10．（九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是．【答案】【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，根据解的情况可得，再求出分式方程的解，根据分式方程解的情况可得且，进而得到的取值范围，即可求出符合条件的所有整数的值，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键．【详解】解：解不等式组，得，∵不等式组至少有个整数解，∴，解分式方程，得，∵分式方程的解是非负数，∴，∴，又∵，∴，∴，∴且，∴符合条件的整数的值为，，，，∴符合条件的所有整数的和是，故答案为：．三、解答题11．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．（3）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】（1），两边都乘以，得，解得：，检验：当时，，∴原分式方程的解为．（2），两边同乘以，去分母得：，解得：，检验：当时，，故原方程的解为；（3）两边都乘以，得，整理得：，解得：，检验：当时，，故原方程的解为．12．（2026八年级下·宁夏银川·期末）请阅读下列材料并回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：解：方程两边同乘以，得，①去括号，得，②解得，检验：当时，，③所以是原分式方程的解．④(1)你认为小明在哪里出现了错误（只填序号）；(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事项；(3)写出上述分式方程的正确解法．【答案】(1)①②(2)注意方程中的每项都要乘以最简公分母；解分式方程求出x的值要进行检验（答案不唯一）(3)【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．（1）根据去分母、去括号法则可以判断出出现错误的步骤是①②；（2）根据解分式方程的方法写出注意事项即可；（3）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．【详解】（1）解：第①步去分母错误，应该为第②步移项后变号和去括号错误，应该为小明在①②出现了错误；故答案为：①②；（2）两条注意事项：注意方程中的每项都要乘以最简公分母；解分式方程求出x的值要进行检验（答案不唯一）；（3），方程两边同时乘，得，去括号，得，解得：，检验：把代入，∴分式方程的解为．13．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．【答案】且【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解．【详解】解：去分母，得．去括号、移项，得．合并同类项，得．系数化为1，得．，，即．，∵解为非负数，，，且．14．（八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题：(1)________；(2)计算；(3)求方程的解．【答案】(1)3(2)(3)