-第十三章-第6讲-空间坐标系与空间向量-配套课件

第6讲空间坐标系与空间向量 1.空间向量的概念

在空间，既有大小又有方向的量，叫做

，记作a空间向量第一页，编辑于星期六:七点

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A图13－6－1第四页，编辑于星期六:七点

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C第五页，编辑于星期六:七点

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考点1向量的线性运算图13－6－4第七页，编辑于星期六:七点

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êéûú(ù＝23OA→＋34ë12OB→＋OC→)－23OA→

＝23a＋38(b＋c)－12a＝16a＋38b＋38c.

MG解题思路：利用三角形法则转化．

解析：OG→＝OM→＋→

＝23OA→＋34MN→

＝23OA→＋34(ON→－OM→)

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(1)本题结合图形特点运用向量的三角形法则或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量.

(2)向量的线性运算有一个常用的结论:如果点B是线段AC的中点,那么12OB→＝(OA→＋OC→).此结论常用于与中点相关的运算.

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解：(1)∵P是C1D1的中点，

∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→

＝a＋AD→＋12D1C1→

＝a＋c＋12AB→1＝a＋c＋2b.

(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→1＝－a＋b＋2AD→1＝－a＋b＋2c.

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考点2向量的坐标运算

解题思路：在平面AMN内找两个相交向量分别与法向量垂直．

解析：以D为原点，DA、DC.DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．如图13－6－6.

图13－6－6

例2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为BB1.C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量．

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【互动探究】2.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直,则k值是()DA.1B.15C.35D.75第十五页，编辑于星期六:七点

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例3：如图13－6－7，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D.E、F分别为

B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.图13－6－7

错源：忽略用向量证明平行与垂直问题

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误解分析:未引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，引入空间向量可降低思维难度，使解题变得程序化，但学生时常用传统方法把问题复杂化导致解题困难．

正解:如图13－6－8建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4,图13－6－8则A(0,0,0),E(0,4,2),第十七页，编辑于星期六:七点

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F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．

(1)取AB中点为N，则

N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，

∴DE→＝(－2,4,0)，NC→＝(－2,4,0)．

∴DE→＝NC→，∴DE∥NC，

又NC⊂平面ABC，DE

平面ABC，

故DE∥平面ABC.

(2)B1F→＝(－2,2，－4)，

EF→＝(2，－2，－2)，AF→＝(2,2,0)．

B1F→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，

则B1F→⊥EF→，∴B1F⊥EF.

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图13－6－9解法一:(传统方法)(1)如图13－6－10,取OB中点E,连接ME、NE.∵ME∥AB,AB∥CD,∴ME∥CD.又∵NE∥OC,∴平面MNE∥平面OCD.∴MN∥平面OCD.图13－6－10第二十页，编辑于星期六:七点

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例4:如图13－6－12，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．图13－6－12图13－6－13第二十五页，编辑于星期六:七点

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【互动探究】4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，求证:D1O∥平面A1BC1.证明：如图13－6－14，分别以DA、DC.DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.图13－6－14设正方体棱长为2a,第二十七页，编辑于星期六:七点

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