高考数学一轮复习（培优版） 第十章　10.7　概率与统计的综合问题

§10.7概率与统计的综合问题重点解读从近几年高考情况来看，概率与统计的综合问题在高考中的重点方向主要是频率分布直方图、回归分析、独立性检验和分布列的结合.题型一统计图表与分布列的综合问题例1(2026·长沙模拟)某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平.规定按照成绩由高到低，前10%的学生测试成绩记为“优秀”.为了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，40≤x≤100)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组(如图).(1)求a的值并估计记为“优秀”的最低分数；(2)如果用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[40，50)，[50，60)和[60，70)内的学生中抽取8人，再从这8人中选4人，记4人中成绩不合格(成绩低于60分)的学生人数为X，求X的分布列与期望；(3)经统计，高中生体质测试成绩ξ近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样本标准差s，并已求得s=11.体质监测中心计划从全市抽取10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[60，93]内的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)参考数据：若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545.解(1)由图可知10×(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)=1，解得a=0.03.因为10×0.005=0.05，10×(0.005+0.025)=0.3，则成绩由高到低的前10%的分数线必在[80，90)内，设分数线为m，则10×0.005+0.025(90-m)=0.1，得m=88，则记为“优秀”的最低分数为88分.(2)样本中成绩在[40，50)，[50，60)和[60，70)内的比例为0.01∶0.015∶0.015=2∶3∶3，故所抽取的8个人中，来自[40，60)的人数为8×2+32+3+3=5，来自[60，70)的人数为8×32+3+3则X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=C51P(X=2)=C52P(X=3)=C53P(X=4)=C54所以X的分布列为X1234P1331方法一X的期望为E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1方法二X服从参数N=8，M=5，n=4的超几何分布，故X的期望为E(X)=n·MN=4×58=(3)由题意得，x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71由x=71，s=11，所以μ=71，σ=11，μ-σ=60，μ+2σ=93，所以P(60≤ξ≤93)=P(μ-σ≤ξ≤μ+2σ)=12P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)+12P(μ-σ≤ξ≤μ+≈0.95452+0.68272=0.818所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间[60，93]内的概率约为0.8186，故Y~B(10000，0.8186)，所以E(Y)=10000×0.8186=8186.思维升华统计图表与概率综合问题的求解策略(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据.(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等).(3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.跟踪训练1(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表.使用次数分组区间初中生人数高中生人数[0，10)43[10，20)3829[20，30)4828[30，40)a17[40，50]63假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率.(1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；(2)从参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布列和数学期望；(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数分别为Y1和Y2，比较D(Y1)与D(Y2)的大小.解(1)根据题中数据，4+38+48+a+6+3+29+28+17+3=200，得a=24.样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为24+6+17+3200=1因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为(1200+800)×14=500(2)参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人.所以X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=C43P(X=1)=C42P(X=2)=C41P(X=3)=C40C所以X的分布列为X0123P418121X的数学期望E(X)=435×0+1835×1+1235×2+135(3)D(Y1)>D(Y2)，理由如下：由表可知参与问卷调查的200名学生中，初中生有120名，高中生有80名，初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的频率为48120=0.4高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的频率为2880=0.35该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数服从二项分布，即Y1~B(8，0.4)，Y2~B(8，0.35)，所以D(Y1)=8×0.4×0.6=1.92，D(Y2)=8×0.35×0.65=1.82，因为1.92>1.82，所以D(Y1)>D(Y2).题型二回归模型与分布列的综合问题例2(2025·曲靖模拟)某科技公司旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该机器人在某地区2025年1月至5月的销售量如表所示.月份x12345销售量y/台2637506493(1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程；(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和数学期望.附：经验回归直线y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=nΣ解(1)由表格可得，x=15×(1+2+3+4+5)y=15×(26+37+50+64+93)=545Σi=1(xi-x)25Σi=1(xi-x)(yi-y所以b^=5Σi=1(xi-x)(yi-y)5Σi=1(故y关于x的经验回归方程是y^=16.1x+5.7(2)当x=1时，y^=16.1×1+5.7=21.8，残差的绝对值为|21.8-26|=4.当x=2时，y^=16.1×2+5.7=37.9，残差的绝对值为|37.9-37|=0.当x=3时，y^=16.1×3+5.7=54，残差的绝对值为当x=4时，y^=16.1×4+5.7=70.1，残差的绝对值为|70.1-64|=6.当x=5时，y^=16.1×5+5.7=86.2，残差的绝对值为|86.2-93|=6.所以“次数据”为第四组和第五组共两组数据.故“次数据”对数X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=C33C53=110，P(X=1)=C32C所以X的分布列如表.X012P133X的数学期望E(X)=0×110+1×35+2×310思维升华回归模型与分布列的综合问题解题思路(1)此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即①求回归方程(预测)；②求某随机变量的分布列、均值、方差等.(2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的.(3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.跟踪训练2(2026·扬州模拟)2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到数据如表所示.第x天1234567营业额y791113161817(1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；(2)如果某天营业额大于10(单位：千元)，则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设X表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望.参考公式：在经验回归方程y^=b^x+a^中，b^=n参考数据：7Σi=1xiyi=417解(1)由题意可得x=1+2+3+4+5+6+77=4y=7+9+11+13+16+18+177=13则b^=7Σi=1xiyi-7xy7Σ可知经验回归方程为y^=5328x当x=8时，y^=5328×8+所以预测春节假期第8天的营业额为1447千元(2)由题意可知7组数据中，有5组数据“达标”，有2组数据不“达标”，故X的所有可能取值为2，3，4，则P(X=2)=C22C52C74=P(X=4)=C54所以X的分布列为X234P241X的数学期望为E(X)=2×27+3×47+4×17题型三独立性检验与分布列的综合问题例3(2025·呼和浩特模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名学生在某一周参加体育锻炼的数据，结果如表.一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数3225654330女生人数9236432130合计1245111086460(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取3名学生，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的分布列和D(X)；(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的学生称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.附：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.01xα2.7063.8416.635解(1)根据统计表格数据可得列联表如下.性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为H0：性别与学生体育锻炼的经常性无关.根据列联表的数据计算可得χ2=60×(7×16-23×14)221×39×所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即认为性别与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.(2)因为学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”的概率p=1260=即可得X~B3P(X=0)=C30P(X=1)=C31P(X=2)=C32P(X=3)=C33故所求分布列为X0123P6448121故D(X)=3×15×45=(3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布，P(Y=0)=C70C33C103=1120，PP(Y=2)=C72C31C103=63120=2140，故所求分布列为Y0123P17217可得数学期望为E(Y)=0×1120+1×740+2×2140+3×7思维升华独立性检验与分布列综合问题的解题思路解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后与相应的临界值进行比较，其次按照随机变量满足的概率模型求解概率值，然后列出相应的分布列求期望、方差等.跟踪训练3(2026·锦州模拟)某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示.土地使用面积x/亩12345管理时间y/月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示.单位：人愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民15050女性村民50合计(1)求出土地使用面积x与管理时间y的样本相关系数r(精确到0.01)，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关(当|r|≥0.75时，即可认为线性相关)；(2)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；(3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的数学期望.参考公式：r=nΣi=1(xi-x)(yi-y)nΣ临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828参考数据：635≈25.2.解(1)由题意知，x=1+2+3+4+55y=8+10+13+25+245=165Σi=1(xi-x)(yi-y)=(-2)×(-8)+(-1)×(-6)+0×(-3)+1×9+2×5Σi=15Σi=1则r=5Σi=1(xi-x)(yi-y故管理时间y与土地使用面积x线性相关.(2)依题意，2×2列联表如下：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民15050200女性村民5050100合计200100300零假设为H0：村民的性别与参与管理的意愿无关.计算可得χ2=300×(150×50-50×50)2200×依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关.(3)方法一依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为50300=则X~B3故P(X=0)=563P(X=1)=C31×16×P(X=2)=C32×162P(X=3)=163=故X的分布列为X0123P1252551则X的数学期望为E(X)=0×125216+1×2572+2×572+3×1方法二依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为50300=由题意知X~B3，16，故X的数学期望为E(X)=3×课时精练[分值：45分]1.(15分)(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；(4分)(2)从B地区评分在[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；(6分)(3)根据图中的样本数据，假设同组数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均数估计为μ1，A，B两地区评分的平均数估计为μ，比较μ1与μ的大小关系.(5分)解(1)设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于60分.由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于60分的人数为500×(0.025+0.035+0.015+0.005)×10=400，所以P(M)=400500=0.8(2)B地区评分在[80，100]的样本用户共有100×(0.01+0.005)×10=15(人)，其中评分不低于90分的用户有100×0.005×10=5(人).由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=C102P(X=1)=C101P(X=2)=C52C所以X的分布列为X012P3102则X的数学期望E(X)=0×37+1×1021+2×221(3)根据频率分布直方图，A地区评分的平均数为μ1=45×0.05+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.15+95×0.05=70.5，B地区评分的平均数为45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05=67，所以A，B两地区评分的平均数μ=500×70.5+100×67500+100=83912故μ1>μ.2.(15分)为了大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台对本乡村的农产品进行销售，在众多主播中随机抽取了10名主播，统计得到观看人次和农产品销售量的数据如表所示.观看人次x(万次)76827287937889668176销售量y(百件)808775861007993688577参考数据：10Σi=1(xi-x)2=600，10Σi=1(yi-y)(1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得样本相关系数r=11216，求y关于x的经验回归方程y^=b^x+a(2)规定：观看人次大于等于80(万次)为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀，小于90(百件)为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1.从金牌主播中随机抽取3名，若用X表示这3名主播赋分的和，求随机变量X的分布列和数学期望.(8分)附：b^=nΣi=1(xi-x)(解(1)因为r=10所以11216所以10Σi=1(xi-x)(yi-y)所以b^=10Σi=1(xiy=110×(80+87+75+86+100+79+93+68+85+77)=83a^=y-b^x=83-1.1所以经验回归方程为y^=1.1x-5(2)金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，则随机变量X的可能取值为3，4，5，P(X=3)=C33C53=110，P(X=5)=C22所以X的分布列为X345P133所以数学期望为E(X)=3×110+4×35+5×3103.(15分)(2025·哈尔滨模拟)研究表明，春季早晚温差大