2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.4　习题课　轨迹问题

轨迹问题第二章

§2.4习题课学习目标1.掌握坐标法研究几何问题.2.会运用直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法求曲线的轨迹方程.(重点)生活中我们处处可见轨迹的影子.例如：太阳一天中移动的轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹.导语内容索引01020503代入法(相关点法)求轨迹方程定义法求轨迹方程直接法求轨迹方程0406课时对点练随堂演练消参法求轨迹方程01直接法求轨迹方程问题1提示先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.已知动点P满足的等量关系，如何求动点P的轨迹方程？

例1

解：直接法求动点的轨迹方程的步骤(1)建系：建立适当的坐标系.(2)设点：设轨迹上的任一点P(x，y).(3)列式：列出有限制关系的几何等式.(4)代换：将轨迹所满足的条件用含x，y的代数式表示.(5)证明(一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外补充检验).简记为：建设现代化，补充说明.

反思感悟

动点P与定点A(-1，0)，B(1，0)的连线所在直线的斜率之积为-1，则点P的轨迹方程是

.跟踪训练1x2+y2=1(x≠±1)

02代入法(相关点法)求轨迹方程问题2提示设P(x，y)，用(x，y)表示相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程.已知动点P的运动是由另外某一点P'的运动引起的，而点P'的运动规律已知(点P'的坐标满足某已知曲线方程)，如何求动点P的轨迹方程？

已知定点A(4，0)，点P在圆O：x2+y2=4上运动，且点P不在x轴上，∠AOP的平分线交AP于点M，求点M的轨迹方程.

例2解：

已知定点A(4，0)，点P在圆O：x2+y2=4上运动，且点P不在x轴上，∠AOP的平分线交AP于点M，求点M的轨迹方程.

例2解：

代入法(相关点法)求动点的轨迹方程的步骤(1)设点：设所求轨迹上动点为P(x，y)，已知曲线上动点Q(x0，y0).(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程.(4)化简：化简方程得所求方程.

反思感悟

设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.跟踪训练2解：

设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.跟踪训练2解：

03定义法求轨迹方程问题3提示圆上的点满足到圆心的距离等于半径.回顾圆的定义，圆上的点满足什么条件？

已知等腰△ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求底边另一个端点C的轨迹方程.

例3解：

定义法求轨迹方程的关键点先从条件中判断点的轨迹为学过的哪个图形，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.

反思感悟

一条定长为2a(a>0)的线段AB，点A在x轴上，点B在y轴上滑动.则线段AB的中点P的轨迹方程为

.跟踪训练3x2+y2=a2

04消参法求轨迹方程问题4提示消去参数t后即可得到轨迹方程.

例4解：

反思感悟

跟踪训练4x2+y2-y=0，去掉点(0，0)

课堂小结1.知识清单：(1)直接法求轨迹方程.(2)代入法(相关点法)求轨迹方程.(3)定义法求轨迹方程.(4)消参法求轨迹方程.2.方法归纳：数形结合、直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法.3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点.05随堂演练12341.设A为圆x2+y2-2x=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则点P的轨迹方程是A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2C.(x+1)2+y2=4 D.(x+1)2+y2=2√

1234x2+y2=4

1234

12344.已知Rt△ABC的斜边为BC，且B(-2，0)，C(2，0)，则直角边AC的中点M的轨迹方程是

.x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2)1234

06课时对点练答案1234567891011对一对题号1234567答案ADDDDBD题号89答案(x-1)2+y2=110.答案1234567891011

答案1234567891011

11.

答案1234567891011√答案1234567891011

2.已知等腰△ABC底边两端点的坐标分别为B(4，0)，C(0，-4)，则顶点A的轨迹方程是A.y=x

B.y=x(x≠2)C.y=-x

D.y=-x(x≠2)

√答案1234567891011

答案1234567891011√答案1234567891011

√答案1234567891011答案1234567891011

答案1234567891011

√答案1234567891011答案1234567891011

答案1234567891011

答案1234567891011

二、多项选择题6.已知曲线C是平面内到定点F(0，1)和定直线l：y=-1的距离之和等于4的点的轨迹，若P(x0，y0)在曲线C上，则下列结论正确的是A.曲线C关于x轴对称B.曲线C关于y轴对称C.-2≤x0≤2D.1≤|PF|≤4答案1234567891011√√答案1234567891011

答案1234567891011

三、填空题7.已知圆M：(x-2)2+y2=4，过点N(1，0)的直线l与圆M交于A，B两点，D是AB的中点，则点D的轨迹方程为

.答案1234567891011

答案1234567891011

8.设复数z=(1+cosθ)+i·sinθ(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点(x，y)的轨迹方程为

.答案1234567891011(x-1)2+y2=1解析：由题意得，(x，y)=(1+cos

θ，sin

θ)，故(x-1)2+y2=cos2θ+sin2θ=1，故点(x，y)的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.9.如图，在平面直角坐标系中，点N在x轴上运动，点M在y轴上运动，点P在线段MN的延长线上，且|MP|=3，|MN|=1，则点P的轨迹方程为_____

.答案1234567891011

答案1234567891011

答案1234567891011解：

答案1234567891011解：

11.设平面上有一条长度为4的线段AB，取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求：(1)到线段AB两端点的距离的平方差的