2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.1　2.1.1　倾斜角与斜率

倾斜角与斜率第二章

§2.1

2.1.1学习目标1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

导语内容索引01020503直线的斜率倾斜角和斜率的应用随堂演练直线的倾斜角04课时对点练01直线的倾斜角问题1提示点、直线、三角形、四边形、圆等；综合法.本章我们采用坐标法研究几何图形的性质.回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？问题2提示两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.在平面中，怎样才能确定一条直线？问题3提示直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？1.倾斜角的定义：(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴

与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为

.2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为

.知识梳理正向0°0°≤α<180°(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.(3)一条直线的倾斜角必存在且唯一.注意点

(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为-30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)√

例1√解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确；当α=0°时，sin

α=0；当α=90°时，sin

α=1，故D错误.(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为A.α+45° B.α-135°C.135°-α

D.α-45°√√解析：根据题意，画出图形，如图所示.通过图象可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.直线倾斜角的概念和范围(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.

反思感悟

(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为

.跟踪训练160°或120°解析：有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.(1)

(2)(2)已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为

.135°解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°.02直线的斜率问题4

问题4

问题4

在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？

知识梳理正切值tanα

注意点

(课本例1)如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

例2解：

经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)A(2，3)，B(4，5)；解：

例2

经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(2)P(-3，1)，Q(-3，10)；解：不存在.因为xP=xQ=-3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°.

例2

经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(3)M(2，4)，N(-3，4).解：存在.因为yM=yN=4，所以直线MN的斜率为0，倾斜角α=0°.

例2

反思感悟

(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为

.跟踪训练2

(2)若过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为

.1

03倾斜角和斜率的应用问题5提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？设直线的倾斜角为α，斜率为k.知识梳理α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k=0_____不存在_____k的增减性—随α的增大而_____—随α的增大而_____k>0k<0增大增大

已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；

例3解：

已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.

例3解：由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

将例3中的点“P(1，0)”改为“P(4，0)”，求直线l的斜率k的取值范围.延伸探究1解：

将例3中的点“P(1，0)”改为“P(-5，3)”，求直线l的斜率k的取值范围.解：延伸探究2

解：延伸探究3

倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.

反思感悟课堂小结1.知识清单：(1)直线的倾斜角及其范围.(2)直线斜率的定义和斜率公式.2.方法归纳：数形结合法、分类讨论.3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.04随堂演练12341.(多选)下列说法正确的是A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率，则k∈RC.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角√√√

√

123412343.若直线l的一个方向向量为(2，3)，则直线l的斜率k=

.

12344.已知m≥1，则经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是

.

0°<α≤90°05课时对点练答案123456789101112对一对1314题号12345679答案DACAABDCAB题号10111314答案AB8.答案123456789101112

1314答案123456789101112

12.13141.在平面直角坐标系中，若直线l为第一、三象限的角平分线，则直线l的倾斜角是A.120° B.135° C.60° D.45°√答案123456789101112基础巩固1314解析：因为直线l为第一、三象限的角平分线，所以直线l向上的方向与x轴正向所成的角为45°，故直线l的倾斜角是45°.2.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为A.(3，0) B.(-3，0)C.(0，-3) D.(0，3)√答案1234567891011121314√

3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1<k3<k2

B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3

D.k3<k2<k1√解析：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan

α1<0，tan

α2>tan

α3>0，即k1<0，k2>k3>0.故k1<k3<k2.答案1234567891011121314

√答案1234567891011121314√√答案1234567891011121314

答案1234567891011121314√答案1234567891011121314

6.已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，则实数a的值为

.答案1234567891011121314

7.在平面直角坐标系中，已知某直线沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度直线回到原来位置，则此直线的斜率k=

.答案1234567891011121314

8.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.答案1234567891011121314

解：8.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.答案1234567891011121314

解：9.(多选)设直线l1过坐标原点，它的倾斜角为α，若直线l2也过坐标原