2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　3.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质第三章

3.1.2第1课时学习目标1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)2.通过探究，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系.3.通过对椭圆的几何性质的研究，初步学习利用曲线方程研究曲线性质的方法.与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.导语内容索引01020503由椭圆的几何性质求标准方程求椭圆的离心率随堂演练椭圆的简单几何性质04课时对点练01椭圆的简单几何性质问题1提示范围：-a≤x≤a，-b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；顶点：A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b).

问题2你能用椭圆方程(代数法)证明问题1中的椭圆的几何性质吗？

顶点：在椭圆的方程中，令y=0，得x=±a，因此A1(-a，0)，A2(a，0)是椭圆与x轴的两个交点；令x=0，得y=±b，因此B1(0，-b)，B2(0，b)是椭圆与y轴的两个交点.问题3类比焦点在x轴上的椭圆的几何性质，你能得到焦点在y轴上的椭圆的几何性质吗？提示范围：-b≤x≤b，-a≤y≤a；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；顶点：A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0).知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围______________________________________顶点________________________________________________________________________________________________________轴长短轴长等于

，长轴长等于____焦点焦距对称性对称轴：

，对称中心：_____A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0)2b2ax轴、y轴原点-a≤x≤a，-b≤y≤b-b≤x≤b，-a≤y≤a(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c.注意点问题4

知识梳理椭圆的离心率：e=

∈(0，1).

注意点

(课本例4)求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

例1

解：

例1

解：

求下列方程表示的椭圆的长轴长、短半轴长、焦点坐标以及离心率：(2)8x2+3y2=24.

例1

解：用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.

反思感悟

跟踪训练1

解：02由椭圆的几何性质求标准方程

分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；

例2解：

例2解：

例2解：

利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的标准方程.(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.(4)写出椭圆的标准方程.

反思感悟

跟踪训练2

03求椭圆的离心率

例3

若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°，∠PF1F2=45°”，求椭圆C的离心率.延伸探究1解：

若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围.延伸探究2

解：

若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围.延伸探究2

解：

反思感悟课堂小结1.知识清单：(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围及长轴长与a的关系.04随堂演练1234

√

√

12341234

√√1234

1234

√1234

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案BBAABCDABD(2，4]题号91112131516答案BCDCB1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.13141516

√答案123456789101112基础巩固13141516答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

16

√

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415√16答案123456789101112

13141516

答案123456789101112131415√16√√答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415(2，4]

16

答案123456789101112131415

16答案12345678910111213141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112131415综合运用√√√16答案123456789101112131415

16

答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415

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答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415

解：16

答案123456789101112131415解：16

答案123456789101112131415解：16

解：

答案12345678910111213141516

答案1