2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　3.1.2　第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用

椭圆的标准方程及性质的应用第三章

3.1.2

第2课时学习目标1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)3.掌握点差法在中点弦问题中的运用.传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.导语内容索引01020503直线与椭圆的位置关系中点弦问题随堂演练实际生活中的椭圆问题04课时对点练01实际生活中的椭圆问题

某彗星运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点(距离太阳中心最近的点)距离太阳中心约为1天文单位，远日点(距离太阳中心最远的点)距太阳中心约为5天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求该彗星运行轨道的方程.

例1

解：解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.(3)用解得的结果说明原来的实际问题.

反思感悟

跟踪训练132

02直线与椭圆的位置关系问题1提示直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式Δ判断.类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？

知识梳理位置关系解的个数Δ的取值相交

解Δ

0相切

解Δ

0相离

解Δ

0两>一=无<注意点

问题2提示不能.因为椭圆不是圆，中心到椭圆上各点的距离不完全相等.直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？

例2解：

例2解：此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.由Δ=0，得m1=25，m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.由Δ<0，得m<-25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.

解：

例2

解：

例2

解：

例2

解：

例2研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.

反思感悟

跟踪训练2

√03中点弦问题问题3

知识梳理

例3x+2y-4=0

解决椭圆中点弦问题的方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消元后，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用交点在曲线上，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，便可构造出中点坐标和斜率的关系.

反思感悟

跟踪训练3

课堂小结1.知识清单：(1)实际生活中的椭圆问题.(2)直线与椭圆的位置关系.(3)中点弦问题.2.方法归纳：分类讨论法、点差法.3.常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况.04随堂演练1234

√

√12341234

1234

1234

(1，3)∪(3，+∞)1234

12344.已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50×108km，焦距与长轴长的比为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离为

km，地球到太阳的最近距离为

km.(注：把地球、太阳看成质点)1.53×1081.47×1081234

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号1234567答案ABCBDAA题号89111213答案9x+y-5=0CABD10.答案123456789101112

13141510.答案123456789101112

13141510.答案123456789101112

131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.131415

答案123456789101112基础巩固131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415解析：方法二

直线l过定点(0，1)，而(0，1)恰好是椭圆的上顶点，结合图形可知“k=0”是“l与C相切”的充要条件.

√答案123456789101112131415答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112

131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案1234567891011121314159x+y-5=0答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

9.已知点P是椭圆x2+8y2=8上任意一点，则点P到直线l：x-y+4=0的最短距离为

.答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案123456789101112

解：131415

答案123456789101112

解：131415

答案123456789101112

解：131415

答案123456789101112

解：131415

答案123456789101112131415综合运用√答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案123456789101112

131415

答案123456789101112131415

解：

答案123456789101112131415

解：

答案1234567891011121314