2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　§3.3　3.3.1　抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程第三章

§3.3

3.3.1学习目标1.理解抛物线的定义以及焦点、准线方程的定义.(重点)2.了解抛物线的标准方程的推导过程及四种不同标准方程形式的特点.(难点)3.会利用抛物线的定义和标准方程解决简单的应用问题.同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”，比如篮球投篮时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃的运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线，所以我们说生活中充满了数学，数学就在我们周围.导语内容索引01020503抛物线定义的应用抛物线在生活中的应用随堂演练抛物线的定义及其标准方程04课时对点练01抛物线的定义及其标准方程问题1提示椭圆；双曲线.如果动点M与定点F的距离和它到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0<k<1时，点M的轨迹是什么？当k>1时，点M的轨迹是什么？问题2提示抛物线.当动点M与定点F的距离和它到定直线l(不过点F)的距离相等时，点M的轨迹会是什么呢？问题3提示在点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|=|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线\l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离

的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的

，直线l叫做抛物线的

.知识梳理相等焦点准线(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.注意点问题4比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？

知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程

_______________________

__________________________y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

图形标准方程焦点坐标准线方程

________________________

_________________________x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

注意点问题5

你能说明二次函数y=ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.

(1)(课本例1)①已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

例1

解：

②已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程.

例1

解：

(2)(课本例2)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处(如图2所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.

例1解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上.设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)，

(2)(课本例2)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处(如图2所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.

例1解：由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得2.42=2p×1，即p=2.88.所以，所求抛物线的标准方程是y2=5.76x，焦点坐标是(1.44，0).

(1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.①经过点(-3，-1)；

例1

解：

(1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.②焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.

例1

解：

(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：①y2=x；

例1

解：

(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：②x2=-y；

例1

解：

(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：③x2+12y=0.

例1对于x2+12y=0，即x2=-12y，焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为(0，-3)，准线方程为y=3.解：用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

反思感悟注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.

(1)焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是A.x2=4y

B.y2=8xC.x2=8y

D.y2=4x跟踪训练1√解析：由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，且p=2，则抛物线的标准方程为x2=4y.(2)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p=

，准线方程为

.2x=-1

02抛物线定义的应用

(1)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x=-6的距离小2，则动点P的轨迹方程为

.

例2y2=16x

(2)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值.

例2解：

若将本例中的点(0，2)改为点A(3，2)，求点P到A与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值.延伸探究1解：

延伸探究2解：

抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义求轨迹方程：通过题目条件分析出动点到定点的距离与到定直线的距离相等即可.(2)根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.

反思感悟

跟踪训练23

(2)已知点F(0，1)，动点M在直线l：y=-1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为

.x2=4y

03抛物线在生活中的应用

某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)

例3解：

某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)

例3解：

涉及拱桥、隧道等问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.

反思感悟

跟踪训练3√

课堂小结1.知识清单：(1)抛物线的定义及其标准方程.(2)抛物线定义的应用.(3)抛物线在生活中的应用.2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归.3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.04随堂演练1234

√

√

12341234

√1234

12344.如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽

米.

1234

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案DBCBDCBC8题号9111213答案CABC1210.答案123456789101112

131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.1314151.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为A.圆

B.椭圆

C.直线

D.抛物线√答案123456789101112基础巩固131415解析：由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.

答案123456789101112131415解析：由题意得，抛物线x2=6y，所以2p=6，p=3，所以抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于3.√3.若P为抛物线y2=4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则P到y轴的距离为A.7 B.10

C.8

D.9√解析：根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离，所以P到y轴的距离为9-1=8.答案1234567891011121314154.(多选)关于抛物线y2=10x，下列说法正确的是A.焦点在y轴上B.焦点在x轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1)√答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415

6.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m，镜深0.25m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点A.0.5m B.1mC.1.5m D.2m答案123456789101112131415√答案123456789101112131415解析：若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p=1，解得p=2，所以抛物线方程为x2=4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1

m.

答案123456789101112131415√

答案1234567891011121314158答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；答案123456789101112

解：13141510.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.答案123456789101112

解：131415

答案123456789101112131415综合运用√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415解析：整理得p2-5p+4=0，解得p=1或p=4，即抛物线C的方程是x2=2y或x2=8y.

√答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415

13.设点A(0，8)，抛物线y2=2px(p>0)上的点P到y轴的距离为d，若|PA|+d的最小值为4，则p=

.答案12345678910111213141512答案123456789101112

13141514.在平面直角坐标系中，已知圆F：(x-2)2+y2=1，动圆M与直线l：x=-1相切且与圆F外切.(1)记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；答案123456789101112