结构动力学试题及答案

结构动力学试题及答案一、选择题（40分）1.结构动力学研究的主要内容是：A.结构在静力荷载作用下的响应B.结构在动力荷载作用下的响应C.结构材料的基本力学性能D.结构的设计原理和方法答案：B解释：结构动力学主要研究结构在动力荷载作用下的响应，包括振动、冲击等动态行为。选项A描述的是结构静力学的研究内容，选项C和D则是更广泛的工程结构设计领域的内容。2.单自由度系统的运动方程可以表示为：A.m·ü+c·u+k·u=F(t)B.m·u+c·u+k·u=F(t)C.m·u+c·u+k·u=F(t)D.m·u+c·u+k·u=F(t)答案：A解释：单自由度系统的运动方程通常表示为m·ü+c·u+k·u=F(t)，其中m是质量，c是阻尼系数，k是刚度，u是位移，ü是加速度，F(t)是外荷载。选项B、C、D中的方程形式不正确。3.结构的自振频率主要取决于：A.结构的质量和刚度B.结构的阻尼C.外部激励D.结构的材料答案：A解释：结构的自振频率主要取决于结构的质量和刚度，与公式ω=√(k/m)一致。阻尼会影响振幅衰减速度但不会显著改变自振频率。外部激励会引起强迫振动但不改变结构的固有特性。材料特性通过影响刚度和质量间接影响自振频率。4.下列哪种阻尼机制在实际结构中最常见？A.粘滞阻尼B.摩擦阻尼C.结构阻尼D.空气阻尼答案：A解释：粘滞阻尼是最常见的阻尼机制，它假设阻尼力与速度成正比，广泛应用于工程分析。摩擦阻尼主要存在于机械接触面，结构阻尼是材料内部能量耗散机制，空气阻尼在高速运动中较明显，但在大多数结构中影响较小。5.振型叠加法适用于：A.线性系统B.非线性系统C.随机振动系统D.所有系统答案：A解释：振型叠加法基于叠加原理，仅适用于线性系统。对于非线性系统，需要采用其他方法如逐步积分法。随机振动系统有其特定的分析方法，但振型叠加法不直接适用。6.下列哪项不是结构动力学的分析目的？A.确定结构的自振特性B.评估结构在地震等动力荷载作用下的响应C.优化结构的静力性能D.设计能够抵抗动力荷载的结构答案：C解释：结构动力学的主要目的是确定结构的自振特性、评估结构在动力荷载作用下的响应以及设计能够抵抗动力荷载的结构。优化结构的静力性能属于结构静力学的研究范畴。7.阻尼比ζ的取值范围通常是：A.0<ζ<1B.0<ζ<2C.0<ζ<0.5D.0<ζ<10答案：A解释：阻尼比ζ的取值范围通常为0<ζ<1，对应欠阻尼系统。当ζ=1时为临界阻尼，ζ>1时为过阻尼，ζ=0时为无阻尼。实际工程结构多为欠阻尼系统，阻尼比一般小于0.1。8.下列哪种方法不属于结构动力响应的数值分析方法？A.中心差分法B.Newmark-β法C.Wilson-θ法D.力法答案：D解释：中心差分法、Newmark-β法和Wilson-θ法都是结构动力响应的数值分析方法。力法是结构静力学中的分析方法，不适用于动力分析。9.结构动力学的核心方程是：A.平衡方程B.运动方程C.本构方程D.几何方程答案：B解释：结构动力学的核心方程是运动方程，它描述了结构在动力荷载作用下的运动规律。平衡方程、本构方程和几何方程是结构力学中的基本方程，但不专门针对动力学问题。10.下列关于振型的描述，正确的是：A.振型是结构在特定频率下的振动形态B.振型与外荷载有关C.不同结构具有相同的振型D.振型可以通过实验直接测量答案：A解释：振型是结构在特定频率（自振频率）下的振动形态，是结构固有的特性，与外荷载无关。不同结构具有不同的振型，振型可以通过理论计算或实验模态分析获得。11.结构在动力荷载作用下，当荷载频率接近结构自振频率时，会发生：A.共振B.阻尼增大C.刚度提高D.质量增加答案：A解释：当荷载频率接近结构自振频率时，会发生共振现象，导致结构响应显著增大。阻尼增大是系统的固有特性，不会因荷载频率变化而改变。刚度提高和质量增加是结构本身的特性，与荷载频率无关。12.下列哪种阻尼模型假设阻尼力与速度成正比？A.粘滞阻尼B.库仑阻尼C.结构阻尼D.空气阻尼答案：A解释：粘滞阻尼假设阻尼力与速度成正比，是最常用的阻尼模型。库仑阻尼假设阻尼力恒定，与速度方向相反。结构阻尼假设阻尼力与位移成正比。空气阻尼通常与速度的平方成正比。13.结构动力学中的"质量矩阵"反映了：A.结构的惯性特性B.结构的弹性特性C.结构的阻尼特性D.结构的能量耗散特性答案：A解释：质量矩阵反映了结构的惯性特性，包括质量和转动惯量。刚度矩阵反映结构的弹性特性，阻尼矩阵反映结构的能量耗散特性。14.下列关于模态分析的描述，错误的是：A.模态分析用于确定结构的固有频率和振型B.模态分析需要求解特征值问题C.模态分析结果与外荷载无关D.模态分析只能用于线性系统答案：D解释：模态分析用于确定结构的固有频率和振型，需要求解特征值问题，结果与外荷载无关，但只能用于线性系统。对于非线性系统，需要进行非线性模态分析，方法更为复杂。15.结构动力学的"时程分析"是指：A.分析结构在时间域内的响应B.分析结构在频率域内的响应C.分析结构的静力响应D.分析结构的稳定性答案：A解释：结构动力学的"时程分析"是指分析结构在时间域内的响应，即结构响应随时间的变化过程。频率域分析则研究结构在频率域内的响应。静力分析不考虑时间因素，稳定性分析是评估结构是否失稳的问题。16.下列哪种荷载属于动力荷载？A.结构自重B.风荷载C.地震作用D.温度变化答案：C解释：地震作用属于动力荷载，因为它随时间快速变化。结构自重、风荷载和温度变化可以视为静力荷载或准静力荷载，因为它们随时间变化较慢。17.结构动力学的"阻尼矩阵"通常采用哪种形式？A.质量矩阵和刚度矩阵的线性组合B.仅与质量矩阵相关C.仅与刚度矩阵相关D.独立于质量矩阵和刚度矩阵答案：A解释：结构动力学的"阻尼矩阵"通常采用瑞利阻尼形式，即阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。这种形式便于计算，且能够合理描述大多数结构的阻尼特性。18.在结构动力分析中，"刚度"是指：A.结构抵抗变形的能力B.结构吸收能量的能力C.结构的质量分布特性D.结构的阻尼特性答案：A解释：在结构动力分析中，"刚度"是指结构抵抗变形的能力。结构吸收能量的能力与阻尼相关，质量分布特性由质量矩阵描述，阻尼特性由阻尼矩阵描述。19.下列关于结构动力学中"自由度"的描述，正确的是：A.自由度是指结构能够独立运动的点数B.自由度与结构的复杂度无关C.自由度越多，分析越简单D.自由度是指结构的约束条件答案：A解释：自由度是指结构能够独立运动的点数，它与结构的复杂度和约束条件有关。自由度越多，分析越复杂，但可以更精确地描述结构的运动。20.结构在动力荷载作用下的响应通常包括：A.位移响应、速度响应、加速度响应B.仅位移响应C.仅速度响应D.仅加速度响应答案：A解释：结构在动力荷载作用下的响应通常包括位移响应、速度响应和加速度响应，三者之间存在微分关系。仅考虑其中一种响应无法全面描述结构的动力特性。二、填空题（30分）1.结构动力学的核心方程是________方程，它描述了结构在动力荷载作用下的运动规律。答案：运动解释：结构动力学的核心方程是运动方程，它描述了结构在动力荷载作用下的运动规律，通常表示为M·ü+C·u+K·u=F(t)。2.单自由度系统的自振频率ω与系统的刚度k和质量m的关系为ω=________。答案：√(k/m)解释：单自由度系统的自振频率ω与系统的刚度k和质量m的关系为ω=√(k/m)，这是结构动力学中的基本关系式。3.阻尼比ζ是阻尼系数c与临界阻尼系数c的比例，其表达式为ζ=________。答案：c/c₀解释：阻尼比ζ是阻尼系数c与临界阻尼系数c₀的比例，其表达式为ζ=c/c₀。临界阻尼系数c₀=2√(km)，是系统从振动状态过渡到非振动状态的最小阻尼系数。4.结构动力学中的"振型"是指结构在________振动时的变形形态。答案：特定频率解释：结构动力学中的"振型"是指结构在特定频率（自振频率）振动时的变形形态，是结构固有的特性。5.当阻尼比ζ<1时，系统为________系统；当ζ=1时，系统为________系统；当ζ>1时，系统为________系统。答案：欠阻尼，临界阻尼，过阻尼解释：当阻尼比ζ<1时，系统为欠阻尼系统，会发生振动；当ζ=1时，系统为临界阻尼系统，会最快回到平衡位置而不振动；当ζ>1时，系统为过阻尼系统，回到平衡状态的速度比临界阻尼系统慢。6.结构动力响应的数值分析方法中，Newmark-β法是一种________积分方法。答案：无条件稳定解释：Newmark-β法是一种无条件稳定的数值积分方法，通过选择适当的参数β和γ，可以保证计算的稳定性。7.在地震工程中，"反应谱"是指________在不同周期下的最大响应值。答案：单自由度系统解释：在地震工程中，"反应谱"是指单自由度系统在不同周期下的最大响应值（位移、速度或加速度），是地震工程中的重要工具。8.多自由度系统的运动方程可以表示为M·ü+C·u+K·u=F(t)，其中M代表________矩阵，C代表________矩阵，K代表________矩阵。答案：质量，阻尼，刚度解释：多自由度系统的运动方程M·ü+C·u+K·u=F(t)中，M代表质量矩阵，C代表阻尼矩阵，K代表刚度矩阵，分别反映系统的惯性特性、阻尼特性和弹性特性。9.结构动力学的"模态分析"是求解系统的________和________的过程。答案：固有频率，振型解释：结构动力学的"模态分析"是求解系统的固有频率和振型的过程，通过求解特征值问题获得。10.振型叠加法的基本原理是将结构的响应表示为各________的线性组合。答案：振型解释：振型叠加法的基本原理是将结构的响应表示为各振型的线性组合，通过求解各振型的响应叠加得到结构的总响应。11.结构动力学的"时程分析"是指分析结构在________域内的响应。答案：时间解释：结构动力学的"时程分析"是指分析结构在时间域内的响应，即结构响应随时间的变化过程。12.在结构动力分析中，"质量矩阵"反映了系统的________特性。答案：惯性解释：在结构动力分析中，"质量矩阵"反映了系统的惯性特性，包括质量和转动惯量。13.结构动力学的"阻尼矩阵"通常采用________形式，即阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。答案：瑞利阻尼解释：结构动力学的"阻尼矩阵"通常采用瑞利阻尼形式，即阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，C=αM+βK。14.结构在动力荷载作用下的响应通常包括________响应、速度响应和加速度响应。答案：位移解释：结构在动力荷载作用下的响应通常包括位移响应、速度响应和加速度响应，三者之间存在微分关系。15.结构动力学的"特征值问题"是指求解系统的________和________的问题。答案：固有频率，振型解释：结构动力学的"特征值问题"是指求解系统的固有频率和振型的问题，通过求解特征值问题获得结构的模态参数。三、判断题（20分）1.结构动力学主要研究结构在静力荷载作用下的响应。（）答案：×解释：结构动力学主要研究结构在动力荷载作用下的响应，而不是静力荷载。静力荷载作用下的响应属于结构静力学的研究范畴。2.单自由度系统的自振频率与系统的刚度和质量有关。（）答案：√解释：单自由度系统的自振频率与系统的刚度和质量有关，关系为ω=√(k/m)，这是结构动力学中的基本关系式。3.阻尼比越大，系统的振动衰减越快。（）答案：√解释：阻尼比越大，系统的振动衰减越快。阻尼比是衡量系统阻尼大小的参数，阻尼比越大，能量耗散越快，振动衰减越迅速。4.振型叠加法只能用于线性系统。（）答案：√解释：振型叠加法基于叠加原理，只能用于线性系统。对于非线性系统，需要采用其他方法如逐步积分法。5.结构在动力荷载作用下的响应与外荷载的大小无关。（）答案：×解释：结构在动力荷载作用下的响应与外荷载的大小、频率、形式等因素密切相关。不同的荷载会导致不同的响应。6.共振现象发生在外荷载频率等于结构自振频率时。（）答案：√解释：共振现象发生在外荷载频率等于或接近结构自振频率时，会导致结构响应显著增大。7.质量矩阵和刚度矩阵都是对称矩阵。（）答案：√解释：质量矩阵和刚度矩阵都是对称矩阵，这是结构力学中的一个重要性质，使得求解过程更加高效。8.结构动力学的"模态分析"需要求解特征值问题。（）答案：√解释：结构动力学的"模态分析"需要求解特征值问题，通过求解特征值和特征向量得到系统的固有频率和振型。9.阻尼矩阵可以独立于质量矩阵和刚度矩阵进行定义。（）答案：×解释：阻尼矩阵通常采用瑞利阻尼形式，即阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，不能独立于质量矩阵和刚度矩阵进行定义。10.结构动力学的"时程分析"是指分析结构在频率域内的响应。（）答案：×解释：结构动力学的"时程分析"是指分析结构在时间域内的响应，而不是频率域。频率域分析研究结构在频率域内的响应。四、简答题（50分）1.简述结构动力学的基本概念及其研究内容。答案：结构动力学是研究结构在动力荷载作用下的响应规律的科学，属于结构力学的一个重要分支。其基本概念包括自由度、质量、刚度、阻尼、自振频率、振型等。研究内容主要包括：-结构在动力荷载（如地震、风、机械振动等）作用下的响应分析-结构的自振特性（自振频率、振型、阻尼比等）的确定-结构动力响应的数值计算方法（如振型叠加法、逐步积分法等）-结构动力试验技术和模态分析方法-结构动力设计原理和方法结构动力学在工程实践中具有重要意义，可以指导工程师设计能够抵抗动力荷载的结构，避免共振现象，确保结构的安全性和舒适性。2.解释单自由度系统的运动方程及其各项的物理意义。答案：单自由度系统的运动方程为：m·ü+c·u+k·u=F(t)各项的物理意义：-m·ü：惯性力，由牛顿第二定律F=ma得到，其中m为质量，ü为加速度-c·u：阻尼力，与速度成正比，c为阻尼系数，u为速度-k·u：弹性恢复力，与位移成正比，k为刚度系数，u为位移-F(t)：外荷载，随时间变化的动力荷载这个方程描述了单自由度系统在动力荷载作用下的运动规律，是结构动力学中最基本、最重要的方程之一。通过求解这个方程，可以得到系统的位移响应、速度响应和加速度响应。3.比较粘滞阻尼、库仑阻尼和结构阻尼的特点及其适用范围。答案：粘滞阻尼、库仑阻尼和结构阻尼是三种常见的阻尼模型，各有特点和适用范围：粘滞阻尼：-特点：阻尼力与速度成正比，方向与速度方向相反-数学模型：F_d=-c·u，其中c为阻尼系数-适用范围：适用于大多数工程结构的阻尼分析，特别是振动分析-优点：数学处理简单，便于理论分析-缺点：不能完全描述某些实际阻尼现象库仑阻尼：-特点：阻尼力大小恒定，方向与速度方向相反-数学模型：F_d=-μ·N·sign(u)，其中μ为摩擦系数，N为正压力-适用范围：适用于存在干摩擦的机械系统-优点：能够描述摩擦引起的能量耗散-缺点：数学处理复杂，可能导致非连续响应结构阻尼：-特点：阻尼力与位移成正比，方向与速度方向相同-数学模型：F_d=h·u，其中h为结构阻尼系数-适用范围：适用于材料内部能量耗散引起的阻尼-优点：能够描述材料滞后现象引起的能量耗散-缺点：物理意义不够明确，参数确定困难在实际工程中，通常根据具体情况选择合适的阻尼模型，有时也会组合使用多种阻尼模型以更准确地描述结构的阻尼特性。4.简述振型叠加法的基本原理及其应用条件。答案：振型叠加法的基本原理是将结构的响应表示为各振型的线性组合：u(t)=Σφ_i·q_i(t)其中，u(t)为结构的位移向量，φ_i为第i阶振型，q_i(t)为第i阶振型的坐标（或称模态坐标）。应用条件：-系统必须是线性的，因为叠加原理只适用于线性系统-系统的阻尼通常采用瑞利阻尼形式，即阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合-需要知道系统的各阶振型和固有频率应用步骤：1.进行模态分析，求解系统的固有频率和振型2.将运动方程解耦为多个独立的单自由度方程3.求解各单自由度方程的响应4.将各振型的响应叠加，得到结构的总响应优点：-对于自由度多的系统，可以显著减少计算量-物理意义明确，能够揭示结构响应的主要模态缺点：-只适用于线性系统-对于高频成分较多的响应，可能需要考虑较多振型，计算量增加振型叠加法广泛应用于结构动力分析，特别是地震工程和机械振动分析领域。5.解释地震反应谱的概念及其在结构设计中的应用。答案：地震反应谱是指单自由度系统在不同周期下的最大响应值（位移、速度或加速度），是地震工程中的重要工具。反应谱的构建过程：1.选择一系列具有不同自振周期和阻尼比的单自由度系统2.将实际地震记录作为输入，计算各系统的响应时程3.提取各系统响应的最大值4.以系统自振周期为横坐标，最大响应为纵坐标，绘制反应谱曲线反应谱分为位移反应谱、速度反应谱和加速度反应谱，分别对应不同工程需求。在结构设计中的应用：1.确定设计地震力：根据结构的自振周期和反应谱，可以确定结构在设计地震作用下的最大响应2.结构抗震设计：通过调整结构刚度（自振周期）使其避开地震动的主要能量频段，减小结构响应3.抗震评估：对现有结构进行抗震评估时，反应谱是重要的输入参数4.规范制定：各国抗震规范通常基于反应谱理论制定设计地震力计算方法反应谱理论简化了结构抗震分析过程，使得工程师能够基于地震动特性和结构动力特性进行抗震设计，是现代抗震工程的基础理论之一。五、计算题（60分）1.计算一个单自由度系统的自振频率和阻尼比，已知系统的质量m=1000kg，刚度k=10000N/m，阻尼系数c=100N·s/m。答案：单自由度系统的自振频率和阻尼比计算如下：自振频率：ω=√(k/m)=√(10000/1000)=√10=3.16rad/s阻尼比：临界阻尼系数c₀=2√(km)=2√(10000×1000)=2×100×√10=632.46N·s/m阻尼比ζ=c/c₀=100/632.46=0.158因此，系统的自振频率为3.16rad/s，阻尼比为0.158。2.一个单自由度系统受到简谐荷载F(t)=F₀sin(ωt)的作用，其中F₀=1000N，ω=10rad/s。系统的质量m=100kg，刚度k=10000N/m，阻尼比ζ=0.05。求系统的稳态响应幅值和相位角。答案：系统的稳态响应幅值和相位角计算如下：系统的自振频率：ω_n=√(k/m)=√(10000/100)=10rad/s频率比：β=ω/ω_n=10/10=1动力放大系数：D=1/√[(1-β²)²+(2ζβ)²]=1/√[(1-1²)²+(2×0.05×1)²]=1/√[0+0.01]=1/0.1=10静位移：u_st=F₀/k=1000/10000=0.1m稳态响应幅值：u_max=D×u_st=10×0.1=1m相位角：φ=arctan[(2ζβ)/(1-β²)]=arctan[(2×0.05×1)/(1-1²)]=arctan[0.1/0]=90°因此，系统的稳态响应幅值为1m，相位角为90°。3.一个两自由度系统的质量矩阵M和刚度矩阵K如下：M=[[2,0],[0,1]]K=[[3,-1],[-1,2]]求系统的自振频率和振型。答案：两自由度系统的自振频率和振型计算如下：特征值问题：(K-ω²M)φ=0代入矩阵：[[3-2ω²,-1],[-1,2-ω²]][φ₁,φ₂]ᵀ=[0,0]ᵀ特征方程：det(K-ω²M)=0(3-2ω²)(2-ω²)-(-1)(-1)=06-3ω²-4ω²+2ω⁴-1=02ω⁴-7ω²+5=0令λ=ω²，得到：2λ²-7λ+5=0解得：λ₁=1,λ₂=2.5因此，自振频率为：ω₁=√λ₁=1rad/sω₂=√λ₂=1.58rad/s对应的振型：对于ω₁²=1：[[3-2×1,-1],[-1,2-1]][φ₁₁,φ₁₂]ᵀ=[0,0]ᵀ[[1,-1],[-1,1]][φ₁₁,φ₁₂]ᵀ=[0,0]ᵀ解得：φ₁₁=φ₁₂，取第一阶振型为[1,1]ᵀ对于ω₂²=2.5：[[3-2×2.5,-1],[-1,2-2.5]][φ₂₁,φ₂₂]ᵀ=[0,0]ᵀ[[-2,-1],[-1,-0.5]][φ₂₁,φ₂₂]ᵀ=[0,0]ᵀ解得：φ₂₂=-2φ₂₁，取第二阶振型为[1,-2]ᵀ因此，系统的自振频率为1rad/s和1.58rad/s，对应的振型为[1,1]ᵀ和[1,-2]ᵀ。4.使用Newmark-β法（β=0.25，γ=0.5）计算一个单自由度系统在初始条件u(0)=0，u'(0)=0，受到突加荷载F(t)=1000N（t≥0）作用下的位移响应。已知系统的质量m=100kg，刚度k=10000N/m，阻尼比ζ=0.05，时间步长Δt=0.01s，计算前5个时间步的位移响应。答案：使用Newmark-β法（β=0.25，γ=0.5）计算单自由度系统的位移响应：系统参数：m=100kgk=10000N/mζ=0.05Δt=0.01sF(t)=1000N(t≥0)初始条件：u(0)=0，u'(0)=0计算步骤：1.计算系统参数：ω=√(k/m)=√(10000/100)=10rad/sc=2ζωm=2×0.05×10×100=100N·s/m2.Newmark-β法参数：β=0.25γ=0.5a₀=1/(βΔt²)=1/(0.25×0.01²)=40000a₁=γ/(βΔt)=0.5/(0.25×0.01)=200a₂=1/(βΔt)=1/(0.25×0.01)=400a₃=1/(2β)-1=1/(2×0.25)-1=1a₄=γ/β-1=0.5/0.25-1=1a₅=Δt/2(γ/β-1)=0.01/2(0.5/0.25-1)=0.01/2(2-1)=0.005a₆=Δt(1-γ)=0.01(1-0.5)=0.005a₇=Δtγ=0.01×0.5=0.0053.初始计算：u₀=0u̇₀=0ü₀=(F₀-cu̇₀-ku₀)/m=(1000-100×0-10000×0)/100=10m/s²4.构造有效刚度矩阵：K̃=k+a₀m+a₁c=10000+40000×100+200×100=10000+4000000+20000=4030000N/m5.时间步进计算：时间步n=0到n=1：F̃₁=F₁+m[a₀u₀+a₂u̇₀+a₃ü₀]+c[a₁u₀+a₄u̇₀+a₅ü₀]=1000+100[40000×0+400×0+1×10]+100[200×0+1×0+0.005×10]=1000+100×10+100×0.05=1000+1000+5=2005Nu₁=F̃₁/K̃=2005/4030000=0.0004975mu̇₁=a₁(u₁-u₀)+(1-a₄)u̇₀-a₅ü₀=200(0.0004975-0)+(1-1)×0-0.005×10=200×0.0004975-0.05=0.0995-0.05=0.0495m/sü₁=(F₁-cu̇₁-ku₁)/m=(1000-100×0.0495-10000×0.0004975)/100=(1000-4.95-4.975)/100=990.075/100=9.90075m/s²时间步n=1到n=2：F̃₂=F₂+m[a₀u₁+a₂u̇₁+a₃ü₁]+c[a₁u₁+a₄u̇₁+a₅ü₁]=1000+100[40000×0.0004975+400×0.0495+1×9.90075]+100[200×0.0004975+1×0.0495+0.005×9.90075]=1000+100[19.9+19.8+9.90075]+100[0.0995+0.0495+0.04950375]=1000+100×49.60075+100×0.19850375=1000+4960.075+19.850375=5979.925375Nu₂=F̃₂/K̃=5979.925375/4030000=0.0014838mu̇₂=a₁(u₂-u₁)+(1-a₄)u̇₁-a₅ü₁=200(0.0014838-0.0004975)+(1-1)×0.0495-0.005×9.90075=200×0.0009863-0.04950375=0.19726-0.04950375=0.14775625m/sü₂=(F₂-cu̇₂-ku₂)/m=(1000-100×0.14775625-10000×0.0014838)/100=(1000-14.775625-14.838)/100=970.386375/100=9.70386375m/s²时间步n=2到n=3：F̃₃=F₃+m[a₀u₂+a₂u̇₂+a₃ü₂]+c[a₁u₂+a₄u̇₂+a₅ü₂]=1000+100[40000×0.0014838+400×0.14775625+1×9.70386375]+100[200×0.0014838+1×0.14775625+0.005×9.70386375]=1000+100[59.352+59.1025+9.70386375]+100[0.29676+0.14775625+0.04851931875]=1000+100×128.15836375+100×0.49303556875=1000+12815.836375+49.303556875=13865.139931875Nu₃=F̃₃/K̃=13865.139931875/4030000=0.0034408mu̇₃=a₁(u₃-u₂)+(1-a₄)u̇₂-a₅ü₂=200(0.0034408-0.0014838)+(1-1)×0.14775625-0.005×9.70386375=200×0.001957-0.04851931875=0.3914-0.04851931875=0.34288068125m/sü₃=(F₃-cu̇₃-ku₃)/m=(1000-100×0.34288068125-10000×0.0034408)/100=(1000-34.288068125-34.408)/100=931.303931875/100=9.31303931875m/s²时间步n=3到n=4：F̃₄=F₄+m[a₀u₃+a₂u̇₃+a₃ü₃]+c[a₁u₃+a₄u̇₃+a₅ü₃]=1000+100[40000×0.0034408+400×0.34288068125+1×9.31303931875]+100[200×0.0034408+1×0.34288068125+0.005×9.31303931875]=1000+100[137.632+137.1522725+9.31303931875]+100[0.68816+0.34288068125+0.04656519659375]=1000+100×284.09731181875+100×1.07760587784375=1000+28409.731181875+107.760587784375=29517.491769659375Nu₄=F̃₄/K̃=29517.491769659375/4030000=0.0073235mu̇₄