山东省济宁市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

山东省济宁市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．样本数据3,3,4,5,6,7,7,8的第60百分位数为(

)A.4 B.5 C.6 D.72．已知向量,,若,则(

)A. B. C. D.3．设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列结论正确的是(

)A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则4．如图,是用斜二测画法得到的直观图,其中,则的值为(

)A. B. C. D.5．已知六边形为正六边形,且,,则(

)A. B.C. D.6．已知10个样本数据,,…,均为正数,其方差为11,且,则这10个样本数据的平均数为()A.1B.2C.3D.47．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上,且.,,若球O的表面积为,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.8．在边长为2的正方形中,点M为正方形内切圆上任意一点,若将,,,四个向量任意分成两组和,则(

)A.1 B.4 C.0或1 D.0或4二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设复数,则(

)A.B.C.D.若复数z是关于x的方程的根,则10．在中,内角所对的边分别为,若,,则(

)A. B.C. D.若G为的重心,则11．已知正方体的棱长为1,以为球心,为半径的球面与平面的交线为L,点P为L上的动点,则(

)A.点到平面的距离为B.交线L的长度为C.的最大值为D.直线与平面所成角的正切值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知圆锥的底面半径是1,它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的侧面积为________.13．如图所示,某船在海面上航行至A处,测得山顶P的仰角为,由A前行500米至B处,测得山顶P的仰角为,沿着的方向继续前行500米至C处,测得山顶P的仰角为,则山顶P高于海面________________米.14．已知是边长为2的等边三角形,点P是平面外的一点,,直线与平面所成的角为,则三棱锥体积的最大值是____.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知复数.（1）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;（2）若z为纯虚数,复数满足,求的最小值.16．（15分）为提升旅游服务品质,某国家5A级人文景区开展游客满意度调查,现随机抽取100名游客开展满意度百分制打分,并依据评分结果绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x的值;（2）估计游客满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（3）若采用按比例分配的分层随机抽样方法,从满意度评分在和的游客中共抽取10人参加座谈,求满意度评分在和的游客应分别抽取多少人?17．（15分）在平面直角坐标系中,已知,,.（1）求;（2）若四边形是等腰梯形,且,求点D的坐标.18．（17分）在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,.（1）求A;（2）若点D满足,,求的面积.（3）若P为内一点,且,,求的周长.19．（17分）如图所示,在四棱锥中,和都垂直于平面,,平面分别交侧棱,于点E,F,且平面.（1）证明:E为的中点;（2）已知点M为内（含边界）不与A,D重合的一点,且.（ⅰ）证明:平面平面;（ⅱ）若,求二面角的取值范围.参考答案1．答案：C解析：首先将样本数据按从小到大排序:3,3,4,5,6,7,7,8,可知样本容量,,则第60百分位数为排序后第5个数据,所以该组数据的第60百分位数为6.2．答案：B解析：已知,,且,因此,整理得,解得.3．答案：D解析：对选项A,若,,则m与n的位置关系可能为平行、相交或异面,故A错误;对选项B,若,,则与可能平行,也可能相交,故B错误;对选项C,若,,则n可能平行于,也可能,故C错误;对选项D,由面面平行的推论可知,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,因此若,,则,故D正确.4．答案：A解析：设,由,可得,.根据斜二测画法的规则,原图形中,,,,且.在中,,在中,.由正弦定理得.5．答案：D解析：设正六边形的中心为O,结合正六边形性质可得,,,,,所以,整理得,即,所以.6．答案：C解析：设这10个样本数据的平均数为,样本容量.因为,所以,即.由于所有样本数据均为正数,因此平均数,故.7．答案：A解析：因为,,,所以,解得,所以,因此,外接圆圆心位于中点.同理,外接圆圆心位于中点.由此可知,外接球球心O位于中点.因为球表面积为,设外接球半径为r,所以,解得,所以,.以作为基底,分别记作,得,.所以.8．答案：D解析：边长为2的正方形,设内切圆圆心为原点O,过点O水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系,如下图所示则点,,,,,正方形内切圆半径,则设点,,,,,两两分组,分类讨论,和,,则;和,,则;和,,则,综上所述四个向量任意分成两组,等于0或4,故选项D正确.9．答案：BD解析：,则,A错误;,B正确;,C错误;,也是方程的根,根据韦达定理:两根之和:,两根之积:,,D正确.10．答案：ACD解析：,,.由射影定理可知,,又,解得,故选项A正确.将,代入等式的右侧:右侧.,整理得,,,故选项B错误.,故选项C正确.G为的重心,由重心的向量性质可得,.其中,,故,且已求得,代入得,,故选项D正确.11．答案：ABD解析：对于A,因为正方体的棱长为1,所以,所以,设点到平面的距离为d,则,因为,所以,得,所以A正确;对于B:球面以为球心,半径,球面与平面的交线为截面圆,设截面圆半径为r,由勾股定理,代入计算:,,交线L就是整个截面圆,周长为:,所以B正确;对于C:因为平面,平面,所以,因为四边形为正方形,所以,因为,平面,所以平面,因为平面,所以,同理可证,因为,平面,所以平面,设平面,由正方体的对称性可知点G为正三角形的中心,设的中点为M,则,所以,所以由选项B可知,以为半径的球面与平面的交线L恰好正三角形的内切圆,如图,以G为坐标原点,建立平面直角坐标系,则,正三角形的内切圆方程为,设点,则,,所以,因为,所以的最大值为,所以C错误;对于D:直线与平面所成角为,由选项A知点到平面的距离为,由选项BC知点P的轨迹为的内切圆,且,因为平面,平面,所以,所以,所以D正确.12．答案：解析：圆锥侧面展开图是半圆,底面半径为1,圆锥底面周长是,则母线长为.则圆锥侧面积为.故答案为:.13．答案：解析：由题意得,,,,,.设,则,,.因为,所以,所以,,解得.14．答案：解析：是边长为2的等边三角形,,取的中点D,连接,因为,且D是的中点,所以,因为是等边三角形,且是的中点,所以,,,又平面,且,所以平面,因为平面,所以平面平面,且平面平面,过C作于E,因为平面,所以平面,所以与平面所成角就是,在中,,,由,得,即,当且仅当时,等号成立,所以,所以.15．答案：（1）（2）解析：（1）由复数的几何意义可知,复数z在复平面内对应点的坐标为,该点位于第三象限,所以,解得,故实数m的取值范围是.（2）若复数为纯虚数,则,解得,此时,设,则,由可得,解得,故,故,当且仅当时,等号成立,故的最小值为.16．答案：（1）0.012（2）84.4（3）满意度评分在的游客应抽取4人,在的游客应抽取6人解析：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1,可得:,即,所以,解得.（2）根据频率分布直方图,各组的频率分别为:的频率为;的频率为;的频率为;的频率为;的频率为.估计游客满意度评分的平均数为:.所以,估计游客满意度评分的平均数为84.4.（3）满意度评分在的频率为,则该区间内的游客人数为（人）.满意度评分在的频率为0.24,则该区间内的游客人数为（人）.因为采用按比例分配的分层随机抽样方法,共抽取10人,所以抽样比为.故满意度评分在的游客应抽取的人数为（人）,满意度评分在的游客应抽取的人数为（人）.17．答案：（1）（2）解析：（1）,则,,.所以,因为向量夹角范围为,所以.（2）设,,,由得,与共线,故存在,使得,则,,所以,,即.又等腰梯形腰长相等,即,又,,,所以,整理得,解得或.当时,,与平行且相等,四边形为平行四边形,舍去;当时,,,符合等腰梯形条件.故D的坐标为.18．答案：（1）（2）（3）3解析：（1）因为,所以,,,所以.（2）因为,,所以D在线段上.因为,所以解得..,,所以,所以.（3）因为,所以,设,,,,可知,所以.所以,因为,所以,所以,因为,所以.所以,所以,所以,所以.19．答案：（1）见解析（2）(i)见解析(ii)解析：（1）证明:因为平面,平面平面,平面,所以.因为平面,平面,所以,又平面,平面,