福建省福州市2026-2027学年高三年级适应性练习（福州一检）数学+答案

(在此卷上答题无效)

2026-2027学年福州市高三年级适应性练习

数学

(完卷时间：120分钟；满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案

写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据80,85,87,88,90,92,95的第50百分位数为

A.87B.88C.89D.92

2.已知集合A={2¹,log₂4},,则A∩B=

B.D.

3.已知向量e,e₂不共线，且(xe₁+e₂)/(e-2e₂),则x=

A.-2B.D.2

4.已知双曲线的一条渐近线过点(2,1),则C的离心率为

D.√5

5.如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到

的几何体，数学上称之为阿基米德多面体，设被截正方体的棱长是40cm,则每张石凳的表

面积为

A.1600(3+√3)cm²

B.1600(3+2√3)cm²

C.3200(3+√3)cm²

D.3200(3+2√3)cm²

高三数学-1-(共4页)

6.已知等差数列{a}的首项为1,公差为2.将{aₙ}各项按照上小下大、左小右大的原则写成

如下的三角形数表：

a

a2a3

a₄a,a₆

则这个三角形数表第10行所有数的和为

A.729B.980C.1000D.1331

7.已知f(x)=cos(ax+4)(φeN,0≤φ<2π)的图象关于原点对称，且f(x)在区间上单

调递减，则

B.

8.已知函数；的最小值为1,则a=

B.1D.2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,-1),则

A.z=1+iB.|z|=√2C.z²=2-2iD.

10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面

ABCD,则

A.PA⊥AB

B.棱AD上存在点M,使得AD⊥平面PMB

C.异面直线AD与PB所成角的余弦值为

D.二面角P-BC-A的大小为60°

11.已知◎C:(x-a)²+(y-b)²=1被x,y轴截得的弦长分别为d,d₂,则下列说法正确的是

A.a可以取任意实数

B.满足d₁=d₂的◎C有无数个

C.若圆心C在00:x²+y²=1上，则d₁+d₂的最大值为2√2

D.若圆心C在直线y=x+1上，则d₁+d₂的最大值为2√3

高三数学-2-(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.曲线y=e-x在点(0,1)处的切线方程为_

13.已知抛物线y²=2px(p>0)与x²=2qv(q>0)的公共点为A,B.若两条抛物线的焦点到直

线y=x的距离相等，且两焦点之间的距离为2√2,则P+q=_,|AB|=.

14.已知数列{aₙ}的通项公式为a=11n-23.若{a}中存在三项构成公比为q的等比数列，则

正整数q的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

如图，在直三棱柱ABC-AB₁C₁中，E是BC中点.

(1)求证：AB//平面AEC₁;

(2)若AB⊥AC,且AB=AC=AA=1,求直线AB到平面AEC的距离

16.(15分)

已知椭圆T)的左、右顶点分别为4,A₂,两焦点分别为F(0,-c),F₂(0,c),

c>0,且

(1)求a的值；

(2)已知,点P在厂上，若△MA₂P是以A₂P为底边的等腰三角形，求点P的坐标.

17.(15分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

(1)求tanBtanC;

(2)若△ABC的面积为求b+c.

高三数学—3—(共4页)

18.(17分)

足球点球大战的规则如下：裁判员通过抽签决定先罚点球的球队，之后双方交替罚球.前五

轮中，每队各派5名队员依次罚点球：若领先方的进球数与落后方的进球数的差值，超过落后方

剩余罚点球的次数，则领先方提前获胜；否则，完成五轮时，进球数多的球队获胜.

若完成五轮时双方进球数相同，则从第六轮开始进入“SuddenDeath”阶段，即双方继续各派

新队员罚点球，直到某一轮中一方罚进而另一方罚失时决出胜负.

某次高中足球联赛的淘汰赛中，甲、乙两队在常规时间和加时赛后以0:0战平，比赛进入点

球大战.假设每名队员是否罚进相互独立.已知甲队前五轮5名队员罚进点球的概率依次为

;乙队前五轮每名队员罚进点球的概率均为.甲队先罚.

(1)求乙队在前两轮中恰好罚进一个点球的概率；

(2)前三轮罚点球后，比分达到3:3.

(i)求第五轮时甲队罚进点球就提前获胜的概率；

(ji)已知两队未进入第六轮“SuddenDeath”阶段，且甲队获胜。用X表示比赛中甲队罚

进点球的个数，求X的分布列和数学期望.

19.(17分)

已知函数f(x)的定义域为R,a为非零实数，若对任意x∈R都有f(ax)=af(x),则称f(x)

为a-拓展函数.

(1)已知狄利克雷函数1若函数f(x)=x·D(x),x∈R,判断

f(x)是否为2-拓展函数；

(2)已知f(x)为a一拓展函数(a>0,且a≠1),设g(x)=f'(x),当x∈(-1,1)时，g'(x)≥0.

(i)当a=2时，证明：Vx∈R,g'(x)≥0;

(ii)若f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,证明：f(x)=x,

高三数学-4—(共4页)

2026-2027学年第一学期福州市高三年级第一次适应性练习

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.B2.B3.B4.C5.A6.C7.C8.D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分。

9.ABD10.AC11.BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.y=1

13.8,8√2

14.12

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

15.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系、空间距离，以及空

间向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与

转化、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础

性、综合性.满分13分.

【解法一】(1)如图所示，连接A₁C交AC₁于F点，连接EF,

由三棱柱的特征可知侧面ACC₁A是平行四边形，

则F是AC的中点.2分

又E是BC中点，则EF//A₁B.3分

因为EFc平面AEC₁,A₁Ba平面AEC₁,

所以AB//平面AEC₁.5分

(2)由(1)知A₁B//平面AEC₁,

所以直线AB到平面AEC₁的距离就是B到平面AEC₁的距离，设为h6分

第1页共11页

因为AC⊥AB，AB=AC=1，所以AE=.·············································7分

2

2

又因为AC=CE2

1，1=+1=，

222

所以AE+EC1=AC1，

所以AE⊥EC1.······················································································9分

又因为AA1⊥AB，ACAA1=A，所以AB⊥平面ACC1A1.····························10分

因为CC1⊥平面ABC，

11

由VB−AEC=VC−ABE，得S△h=S△CC.········································11分

113AEC13ABE1

2

111

又因为S==，S△==，

△AEC12224ABE224

111

所以h=1，解得h=，

34343

即直线A1B到平面AEC1的距离为.·······················································13分

3

【解法二】（1）同解法一；

（2）由（1）知A1B//平面AEC1，

所以直线A1B到平面AEC1的距离就是A1到平面AEC1的距离，设为h.··············6分

因为AC⊥AB，AB=AC=1，所以AE=.·············································7分

2

2

又因为AC=CE2

1，1=+1=，

222

所以AE+EC1=AC1，

所以AE⊥EC1.······················································································9分

又因为AA1⊥AB，ACAA1=A，所以AB⊥平面ACC1A1.

1

因为点E为BC中点，所以点E到平面ACCA的距离为AB.·······················10分

112

由=，分

VE−A1AC1VA1−C1AE················································································11

111

得S△AB=S△h.

3A1AC123AEC1

第2页共11页

又因为

所以,解得

即直线到平面的距离为·

A₁BAEC₁.……………13分

【解法三】(1)同解法一；

(2)以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示

的空间直角坐标系.…6分

则A(0,0,0),,4(0,0.1),C(0.1.1),,AC=(0.1.1)7分

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则

取y=-1,则x=1,z=1,即n=(1,-1,1).·………9分

又AA₁=(0,0,1),

则点A₁到平面AEC的距离………12分

由(1)知A₁B//平面AEC₁,

所以直线AB到平面AEC₁的距离就是A₁到平面AEC₁的距离，

所以直线AB到平面AEC₁的距离为·…13分

16.【考查意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和简单几何性质、平面向量数量积、平

面几何性质等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、

化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等

核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.

【解法一】(1)由已知得，A(-1,0),

故A₁F=(1,-c),AF₂=(1,c),且c²=a²-1.……………3分

,解得

因为a>1,所以………………6分

第3页共11页

(2)设P(x₀,y%),因为A₂(1,0),所以A₂P中点为…………7分

因为,所以,AP=(x₀-1y%)

因为△MA₂P是以A₂P为底边的等腰三角形，

所以MN⊥A₂P,所以MN·A₂P=0,……………9分

所以

整理得，(3x₀+4)(x₀-1)+3y?=0,

即3x²+x₀-4+3y2=0①…12分

由(1)知T:

因为P(x₀,y%)在椭圆上，所以4x+3y?=4②……………13分

联立①、②,消去y₀,化简得x₀(x₀-1)=0.

显然x₀≠1,解得x₀=0,代入②得

所以点P的坐标为.…15分

【解法二】(1)同解法一；

(2)因为△MA₂P是以A₂P为底边的等腰三角形，且A₂(1,0),

所以…8分

所以点P在以M为圆心，为半径的圆上(异于点A₂),

…9分

整理得，3x³+3y2+xo=4(x₀≠1)①……………11分

由(1)知T

因为P(x₀,y%)在椭圆上，所以4x²+3y2=4.②…12分

第4页共11页

联立①、②,消去y0，化简得x0(x0−1)=0(x01).·····································13分

解得，代入②得2.

x0=0y0=

3

22

所以点P的坐标为0,或0,−.··················································15分

33

【解法三】（1）同解法一；

（2）设点P(x0,y0)，由题意P不与A2(1,0)重合，故y00，

则直线A2P的方程可设为x0=my0+1(m0).

由（1）知:+x2=1，

因为在椭圆上，所以22.①分

P(x0,y0)4x0+3y0=4···········································7

22

将x0=my0+1(m0)代入①,得4(my0+1)+3y0=4.

展开整理，得22.

(4m+3)y0+8my0=0

2

因y00，得(4m+3)y0=−8m，

所以y0=，x0=.

所以P,.······································································9分

1

因为△MA2P是以A2P为底边的等腰三角形，A2(1,0)，M−,0，

6

17

所以MP=MA=1−−=，·······························································11分

266

2

149

所以x++y2=(y0).

060360

22

整理得，3x0+3y0+x0=4(y00).②·····················································12分

−4m2+3−8m

将P,代入②,

4m2+34m2+3

22

得3+3+=4.

展开整理，得3m2=4m4．.·······································································13分

第5页共11页

因为m0，所以m=.

2

−4m2+3−8m2

所以x==0，y==.

04m2+304m2+33

22

所以点P的坐标为0,或0,−.··················································15分

33

【解法四】（1）同解法一；

（2）由（1）知:+x2=1，

2

由P在椭圆上，可设Pcos,sin.······················································8分

3

1

因为△MA2P是以A2P为底边的等腰三角形，且A2(1,0)，M−,0，

6

17

所以MP=MA=1−−=，且cos1.··············································10分

266

22

所以cos++sin=.

展开，得cos2+cos++(1−cos2)=.

整理，得cos(cos−1)=0.····································································13分

因为cos1，所以cos=0，所以sin=1，

22

所以点P的坐标为0,或0,−.··················································15分

33

17.【题题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积等基础

知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻

辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分15分.

asinA

【解法一】（1）在△ABC中，由sinB=及正弦定理得sinB=.·········1分

4c4sinC

因为A=，故sinBsinC=，····································································2分

又B+C=，

所以cos(B+C)=cosBcosC−sinBsinC=−,················································4分

所以cosBcosC=−,···············································································5分

第6页共11页

sinBsinC

所以tanBtanC===−3.·························································6分

cosBcosC1

−

8

3π

（2）由（1）知，sinBsinC=，且A=.

83

3

设△ABC的外接圆半径为R，因为△ABC的面积为，

2

所以1123，

S△ABC=bcsinA=(2RsinB)(2RsinC)sinA=2RsinBsinCsinA=

222

13

2bc2=2

所以，········································································9分

233

2R=

822

bc=6

解得，························································································10分

R=2

π

所以a=2RsinA=22sin=2.·························································11分

3

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，····························································12分

2

2

得(2)=b2+c2−2bccos，所以12=(b+c)−3bc，

2

所以(b+c)=12+36=30，····································································14分

解得b+c=.···················································································15分

【解法二】（1）略，同解法一.

3π

（2）因为△ABC的面积为，且A=,

23

131π3

所以S=bcsinA=，所以bcsin=，解得bc=6.················9分

△

ABC22232

abbbπb

由正弦定理得=，所以sinB=sinA=sin=，··················10分

sinAsinBaa32a

aab

又sinB=，所以=，所以a2=2bc=26=12，

4c4c2a

所以a=2.·······················································································11分

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，····························································12分

2

2

得(2)=b2+c2−2bccos，所以12=(b+c)−3bc,

2

所以(b+c)=12+36=30，····································································14分

第7页共11页

解得b+c=.···················································································15分

【解法三】（1）略，同解法一.

3π

（2）因为△ABC的面积为，且A=，

23

所以13，所以1π3，解得，分

S△ABC=bcsinA=bcsin=bc=6···················9

22232

1121

又因为S△ABC=bcsinA=(bsinA)(csinA)=(asinB)(asinC)

2233

a2a233

=sinBsinC==，···············································10分

82

所以a2=12，所以a=2.····································································11分

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA·······························································12分

2

2

得(2)=b2+c2−2bccos，所以12=(b+c)−3bc,

2

所以(b+c)=12+36=30，····································································14分

解得b+c=.···················································································15分

18.【考查意图】本小题主要考查机变变量及分分列、、数字特征、全概率公式、条件概率

等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、概率思想等，

考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，体现基础性、综合性、应用性．满分17

分.

【解析】设事件Ai，Bi（i=1,2,3,4,5）分别为队、、队、第i队、罚进点球，则

P(A1)=P(A2)=，P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，P(Bi)=.··················2分

（1）设事件M=“队、在前两轮中恰好罚进一个点球”，

1214

则P(M)=C2=.········································································5分

339

（2）（i）由题意可知，在3:3后队、在第五轮时罚进点球就提前获胜，即第4轮队、

罚进队、罚失，第5轮队、罚进.·······························································7分

记所求事件为，因为相互独立，

NA4,B4,A5

所以P(N)=P(A4B4A5)=P(A4)P(B4)P(A5)==.·······················10分

（ii）X的可能取值为4,5.·····································································11分

设W=“已知两、未进入第六轮‘SuddenDeath’阶段，且队、获胜”，F4=“比赛中队

第8页共11页

、罚进点球的个数为4”，F5=“比赛中队、罚进点球的个数为5”，则

W=F4WF5W，F4W,F5W互斥，且A4,A4,B4,B4,A5,A5,B5,B5,相互独立，

因为P(F4W)=P(A4B4A5B5)+P(A4B4A5B5)

=P(A4)P(B4)P(A5)P(B5)+P(A4)P(B4)P(A5)P(B5)

2111111131

=+==，

332333235418

1

由（i）知，P(N)=，

9

所以P(F5W)=P(A4B4A5B5)+P(N)=P(A4)P(B4)P(A5)P(B5)+P(N)

22111105

=+==，

332395427

1513

所以P(W)=P(F4W)+P(F5W)=+=.············································14分

182754

因此P(F4|W)==，P(F5|W)==，····························16分

则X的分列、为

X45

P310

1313

31062

故E(X)=4+5=.··································································17分

131313

19.【考查意图】本小题主要考查函数单调性与奇偶性、函数与方程、导数与不等式等基

础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与

转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创

新性．满分17分.

【解法一】（1）依题意得，当x为有理数时，则2x也为有理数，故D(x)=1，D(2x)=1，

所以D(2x)=D(x)；

当x为无理数时，则2x也为无理数，故D(x)=0，D(2x)=0，

所以D(2x)=D(x)；····································································