北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步练习题（带答案）

第页北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步练习题（带答案）【题型1】由三边判定三角形形状【典例】的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是A.B.C.D.，b=8，c=10【举一反三1】如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为()A.14B.13C.12D.9【举一反三2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A.2，3，4B.10，8，4C.9，12，15D.7，15，12【举一反三3】三角形的三边a，b，c满足(a-b)2=c2-2ab，则这个三角形是.【举一反三4】(课本P10例题)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？【题型2】综合分析直角三角形【典例】下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是A.B.C.D.，b=4，c=5【举一反三1】在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠B=50°，∠C=45°B.a∶b∶c=6∶8∶10C.a=1，b=3，c=4D.AB=1，BC=2，AC=3【举一反三2】在中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c下列不能说明是直角三角形的是A.，，B.C.D.【举一反三3】一个三角形的三边长分别为15cm，20cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是cm.【举一反三4】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，其中c是△ABC的最长边，若∠C=90°，如图①，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x.在Rt△ADC中，AD2=b2-x2在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2所以a2+b2=c2+2ax.因为a>0，x>0，所以2ax>0所以a2+b2>c2所以当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2.所以小明的猜想是正确的.(1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC边上的高)；(2)说明你猜想的结论是否正确.【题型3】在格点中分析直角三角形【典例】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ACB是()A.锐角B.直角C.钝角D.余角【举一反三1】如图所示，方格中有A，B，C，D，E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格，则

．（点，A，B是网格线交点）【举一反三3】如图，A，B，C，O四点都在正方形网格的格点上，则

．【题型4】勾股数的识别与计算【典例】下列四组数中，为勾股数的是A.2，3，5B.4，12，13C.3，4，5D.1，2，3【举一反三1】下列各组数中，是勾股数的是A.0.3，0.4，0.5B.5，12，13C.9，16，25D.1，2，3【举一反三2】下列说法：①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形；②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2；③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数.其中正确的是.(填序号)【举一反三3】请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：．【题型5】与勾股数有关的规律问题分析【典例】下面各组是勾股数的是．（填序号）（1）（2）（3）（4）【举一反三1】观察以下几组勾股数并寻找规律：①345②51213③72425④94041请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：

．【举一反三2】观察下列各组勾股数的组成特点第1组：第2组：第3组：第4组：第7组：．（1）写出第7组勾股数各是多少．（2）写出第组勾股数并证明．【举一反三3】（1）是正整数）是一组勾股数吗？如果是请证明如果不是请说明理由（2）如果是一组勾股数那么是正整数）也是一组勾股数吗？如果是请证明如果不是请说明理由．【题型6】勾股定理与逆定理的应用【典例】如图长方形纸片ABCD中AB=4AD=3折叠纸片使AD边与对角线BD重合折痕为DG则AG的长为()A.1B.4C.3D.2【举一反三1】如图学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地测得且这块菜地的面积是A.B.C.D.【举一反三2】如图在中平分则的面积为．【举一反三3】如图在中以点为圆心长为半径画弧交于点．则．【举一反三4】如图茫茫大海中有三个小岛ABC测得AC=30kmAB=50kmB岛在C岛北偏西75°的方向上距C岛40km请你根据上述条件确定A岛相对于C岛的位置.【举一反三5】春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片成为彰显中国文化软实力的代表从而构筑中国精神中国价值中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题与“生生不息“相结合表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”．（1）根据“巳巳如意三角形”的定义可知等腰直角三角形

（“是”或“不是”）（2）若某三角形的三边长分别为610338问该三角形是不是“巳巳如意三角形”（3）在Rt△ABC中三边长分别为abc且a2=20252c2＝2025若这个三角形是“巳巳如意三角形”请你求出北师大版（2024）八年级上册1.2一定是直角三角形吗题型专练（参考答案）【题型1】由三边判定三角形形状【典例】的三条边分别为下列条件不能判断是直角三角形的是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：此三角形是直角三角形故本选项不符合题意此三角形是直角三角形故本选项不符合题意设则解得此三角形不是直角三角形故本选项符合题意此三角形是直角三角形故本选项不符合题意故选：．【举一反三1】如图在△ABC中D是BC上一点已知AB=15AD=12AC=13CD=5则BC的长为()A.14B.13C.12D.9【答案】A【解析】因为AD=12AC=13CD=5所以AC2=169AD2+CD2=144+25=169即AD2+CD2=AC2所以根据勾股定理逆定理得△ADC为直角三角形且∠ADC=90°所以∠ADB=90°因为AB=15AD=12所以BD=AB2−A所以BC=BD+CD=9+5=14.【举一反三2】以下列各组数为边长能组成直角三角形的是()A.234B.1084C.91215D.71512【答案】C【解析】A项不能因为22+32≠42B项不能因为82+42≠102C项能因为92+122=152D项不能因为72+122≠152.【举一反三3】三角形的三边abc满足(a-b)2=c2-2ab则这个三角形是.【答案】直角三角形【解析】因为(a-b)2=c2-2ab所以a2-2ab+b2=c2-2ab所以a2+b2=c2.所以根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形.【举一反三4】(课本P10例题)一个零件的形状如图1所示按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示这个零件符合要求吗？【答案】解在△ABD中AB2+AD2=9+16=25=BD2所以△ABD是直角三角形∠A是直角.在△BCD中BD2+BC2=25+144=169=CD2所以△BCD是直角三角形∠DBC是直角.因此这个零件符合要求.【题型2】综合分析直角三角形【典例】下列条件中分别为三角形的三边不能判断为直角三角形的是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：是直角三角形故不符合题意是直角三角形故不符合题意不是直角三角形故符合题意是直角三角形故不符合题意故选：．【举一反三1】在△ABC中若AC=bAB=cBC=a则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠B=50°∠C=45°B.a∶b∶c=6∶8∶10C.a=1b=3c=4D.AB=1BC=2AC=3【答案】B【解析】因为∠B=50°∠C=45°∠B+∠C+∠A=180°所以∠A=85°因为∠B=50°∠C=45°∠A=85°三个角都小于90°所以△ABC是锐角三角形故A不符合题意当a∶b∶c=6∶8∶10时设a=6xb=8xc=10x则a2+b2=(6x)2+(8x)2=(10x)2=c2所以根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形故B符合题意因为a=1b=3c=4所以a+b=1+3=c=4所以无法组成三角形不能是直角三角形故C不符合题意因为AB=1BC=2AC=3所以AB+BC=AC所以ABBCAC不能构成三角形不能是直角三角形故D不符合题意.【举一反三2】在中的对边分别是．下列不能说明是直角三角形的是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：．并且不是直角三角形符合题意．是直角三角形不合题意．即是直角三角形不合题意．是直角三角形不合题意．故选：．【举一反三3】一个三角形的三边长分别为15cm20cm25cm则这个三角形最长边上的高是cm.【答案】12【解析】如图设AB=25是最长边AC=15BC=20过C作CD⊥AB于D因为AC2+BC2=152+202=625AB2=252=625所以AC2+BC2=AB2所以∠C=90°因为S△ACB=12AC·BC=1所以AC·BC=AB·CD15×20=25CD所以CD=12cm.即这个三角形最长边上的高是12cm.【举一反三4】在△ABC中BC=aAC=bAB=c其中c是△ABC的最长边若∠C=90°如图①则有a2+b2=c2若△ABC为锐角三角形小明猜想：a2+b2>c2理由如下：如图②过点A作AD⊥CB于点D设CD=x.在Rt△ADC中AD2=b2-x2在Rt△ADB中AD2=c2-(a-x)2所以a2+b2=c2+2ax.因为a>0x>0所以2ax>0所以a2+b2>c2所以当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2.所以小明的猜想是正确的.(1)请你猜想当△ABC为钝角三角形时a2+b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中作BC边上的高)(2)说明你猜想的结论是否正确.【答案】解(1)当△ABC为钝角三角形时a2+b2与c2的大小关系为a2+b2<c2.(2)如图过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.设CD=x.在Rt△ADC中AD2=b2-x2在Rt△ADB中AD2=c2-(a+x)2所以a2+b2=c2-2ax.因为a>0x>0所以2ax>0所以a2+b2<c2所以当△ABC为钝角三角形时a2+b2<c2.【题型3】在格点中分析直角三角形【典例】如图在3×3的网格中每个小正方形的边长均为1点ABC都在格点上则∠ACB是()A.锐角B.直角C.钝角D.余角【答案】A【解析】AC2=12+22=5BC2=32+12=10AB2=32+22=13因为AC2+BC2=15所以AC2+BC2>AB2所以边AB所对的∠ACB是锐角.【举一反三1】如图所示方格中有ABCDE五个格点以这5个格点中的3个点为顶点画三角形其中直角三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】如图一共可以画9个三角形分别是△ABC△ABD△ABE△ACD△ACE△ADE△BCE△BDE△CDE因为∠ABC=∠ACD=90°所以△ACB和△ACD是直角三角形由题意得DE2=12+22=5AD2=12+32=10AE2=12+22=5所以AE2+DE2=AD2所以△ADE是直角三角形所以以这5个格点中的3个点为顶点画三角形其中直角三角形有3个.【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格则

．（点是网格线交点）【答案】45．【解析】解：如图延长到连接．则故答案为：45．【举一反三3】如图四点都在正方形网格的格点上则

．【答案】45．【解析】解：如图找到点关于的对应点连结则则是等腰直角三角形即．故答案为：45．【题型4】勾股数的识别与计算【典例】下列四组数中为勾股数的是A.235B.41213C.345D.123【答案】C【解析】解：不符合题意不符合题意符合题意不符合题意故选：．【举一反三1】下列各组数中是勾股数的是A.0.30.40.5B.51213C.91625D.123【答案】B【解析】解：0.40.5不是整数不是勾股数故本选项不符合题意是勾股数故本选项符合题意不是勾股数不符合题意不是勾股数不符合题意．故选：．【举一反三2】下列说法：①因为0.60.81不是勾股数所以以0.60.81为边的三角形不是直角三角形②若abc是勾股数且c>bc>a则必有a2+b2=c2③因为以0.51.21.3为边长的三角形是直角三角形所以0.51.21.3是勾股数④若三个整数abc是直角三角形的三边长则3a3b3c必是勾股数.其中正确的是.(填序号)【答案】②④【解析】①虽然0.60.81不是勾股数但是0.62+0.82=12所以以0.60.81为边的三角形是直角三角形故①说法错误②若abc是勾股数且c>bc>a则必有a2+b2=c2故②说法正确③因为0.51.21.3都不是正整数所以0.51.21.3不是勾股数故③说法错误④若三个整数abc是直角三角形的三边长则3a3b3c一定是勾股数故④说法正确.【举一反三3】请你写两个数使得它们与8可以组成一组勾股数：．【答案】6和10．【解析】解：因为所以6810是一组勾股数．故答案为：6和10．【题型5】与勾股数有关的规律问题分析【典例】下面各组是勾股数的是．（填序号）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）【解析】解：（1）能构成勾股数故符合题意（2）能构成勾股数故符合题意（3）不能构成勾股数故不符合题意．（4）均不是整数所以不能构成勾股数故不符合题意故答案为：（1）（2）．【举一反三1】观察以下几组勾股数并寻找规律：①345②51213③72425④94041请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：

．【答案】116061．【解析】解：经观察可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3第②勾股数的第一个数是5故第⑤组勾股数的第一个数是11第6组勾股数的第一个数是13又发现每一组勾股数的第二第三个数相差1故设第二个数为第三个数为根据勾股定理的逆定理得：解得．则得第5组数是：116061．故答案为：116061．【举一反三2】观察下列各组勾股数的组成特点第1组：第2组：第3组：第4组：第7组：．（1）写出第7组勾股数各是多少．（2）写出第组勾股数并证明．【答案】解：（1）第一组：第二组：第三组：第四组：第七组勾股数是即15112113（2）由（1）的规律可知第组勾股数是．证明：．第组勾股数是．【举一反三3】（1）是正整数）是一组勾股数吗？如果是请证明如果不是请说明理由（2）如果是一组勾股数那么是正整数）也是一组勾股数吗？如果是请证明如果不是请说明理由．【答案】证明：（1）是正整数）是一组勾股数理由如下：是正整数都是正整数是正整数）是一组勾股数（2）是正整数）是一组勾股数理由如下：是一组勾股数且是正整数是三个正整数是正整数）是一组勾股数．【题型6】勾股定理与逆定理的应用【典例】如图长方形纸片ABCD中AB=4AD=3折叠纸片使AD边与对角线BD重合折痕为DG则AG的长为()A.1B.4C.3D.2【答案】C【解析】由已知可得△ADG≌△A'DGBD=5所以A'G=AGA'D=AD=3A'B=5-3=2BG=4-A'G在Rt△A'BG中BG2=A'G2+A'B2可得A'G=32则AG=32【举一反三1】如图学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地测得且这块菜地的面积是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：连接是直角三角形四边形的面积的面积的面积这块菜地的面积为故选：．【举一反三2】如图在中平分则的面积为．【答案】40.8．【解析】解：如图作于．即平分设即．故答案为：40.8．【举一反三3】如图在中以点为圆心长为半径画弧交于点．则．【答案】90．【解析】解：以点为圆心长为半径画弧交于点．故答案为90．【举一反三4】如图茫茫大海中有三个小岛ABC测得AC=30