2026秋人教A版高一（必修一） 课时分层作业41　函数模型的应用

课时分层作业(四十一)函数模型的应用说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共60分一、选择题1．某研究小组在一项试验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()A．y＝2t B．y＝2t2C．y＝t3 D．y＝log2t2．(教材P150练习T1改编)某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x-1 D．y＝a(1＋5%)x3．在无线通信(如路由器信号)中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，L是信号衰减值(单位：dB)，d(单位：m)为信号传播距离．某路由器信号在自由空间(无遮挡、无干扰)中，信号衰减公式可简化为L＝klgd＋C(k，C为常数)，若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从d1增加到d2时，测得信号衰减值从－30变到－45，则d2dA．5 B．6C．42 D．524．某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度h(单位：米)与飞行时间t(单位：秒)之间的关系可以近似用函数h＝alog3t＋b来表示．已知飞行器发射后2秒时的高度为10米，6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要()A．15秒 B．16秒C．18秒 D．20秒5．(多选)薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零．经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与自开始受侵害起的年数t满足关系式S＝S0·at，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．某热带地区最初受到薇甘菊侵害的面积为2000hm2，受害第一年时受侵害的面积为2114hm2，则()A．a＝1.077B．当t＝15.5时，S＝S0·aC．必然存在正数b，使得b2＝a31D．当t为整数时，薇甘菊的侵害面积随着自开始受侵害起的年数增大而增大二、填空题6．生物学家为了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝a·log212t+1(a≠0)，其中a是残留系数，则大约经过________年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的14．(参考数据：2≈7．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x．请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．三、解答题8．(13分)某医药研究所研发出一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，k，a是常数)的图象，且A(1，8)，B(7，1)．(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2μg时治疗有效，求某病人服药一次后，治疗有效时长为多久?9．(多选)2025年8月27日，我国新疆、西藏某地区发生3.1至4.5级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震(即人们能感觉到此次地震)．里式震级M与地震释放能量E的关系为E＝k·1032M．已知6级地震释放的能量为6.3×1013A．震级越大，地震释放的能量越大B．k＝6.3×105C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍D．某次地震释放的能量为7×109J，则该地震为有感地震10．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的12以下，至少需要这样的玻璃板的块数为________．(lg2≈0.3010，lg3课时分层作业(四十一)1．D[由题图知，该函数可能是y＝log2t．故选D．]2．D[经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；……经过x年，y＝a(1＋5%)x．]3．C[因为信号衰减公式可简化为L＝klgd＋C(k，C为常数)，又距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，所以klgd＋C－(klg2d＋C)＝6，解得k＝－6lg2由于信号传播距离从d1增加到d2时，测得信号衰减值从－30变到－45，所以−30=则－15＝klgd2解得d2d1＝10156lg2＝10lg2故选C．]4．C[由h＝alog3t＋b，当t＝2时，h＝10；当t＝6时，h＝30，所以10=解得a＝20，b＝10－20log32．设达到50米的高度需要t秒，则20log3t＋10－20log32＝50，解得t＝18，所以达到50米的高度需要18秒．故选C．]5．BCD[对于A，由题可得S＝S0·at，初始面积S0＝2000hm2，第一年(t＝1)的面积S＝2114hm2，所以a＝SS0＝21142000＝1.057，故对于B，当t＝15.5时，S＝S0·a15.5，而a31＝a15.5，故B正确对于C，由于S>0，且S0>0，故at＝SS0由A选项知，a＝1.057>1，因此a31>1，正数的平方根存在且唯一为正数，即存在正数b＝a31，故C正确对于D，由A选项知，S＝2000×1.057t，显然为增函数，故D正确．故选BCD．]6.7.5[当t＝2时，y＝alog2122+1＝2a由alog212t+1＝12a，得t＝62－7．④[画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④．]8．解：(1)当0≤t<1时，y＝8t，当t≥1时，把A(1，8)，B(7，1)代入y＝kat，得ka=8，k故y＝8(2)当0≤t<1时，令8t≥2，得t≥14治疗有效时长为1－14＝34当t≥1时，令82×22t≥2，得t≤5，治疗有效时长为5－1＝4(h)，故病人服药一次后，治疗有效时长为34＋4＝199．ACD[由题意可得6.3×1013＝k·109，则k＝6.3×104，则E＝6.3×104·103显然震级越大，地震释放的能量越大，即A正确，B错误；设8级地震释放的能量为E1，6级地震释放的能量为E2，则E1E2＝1032×81032×6即8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍，C正确；当某次地震释放的能量为7×109J时，则7×109＝6.3×104·103则106＝9·103即6＝2lg3＋3M则M＝12