2026秋人教A版高一（必修一） 课时分层作业57　简单的三角恒等变换

课时分层作业(五十七)简单的三角恒等变换说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分一、选择题1．已知α为锐角，cosα＝1+54，则sinαA．3−58 C．3−54 2．若π<α<2π，则化简1−cos(αA．sinα2 B．cosC．－cosα2 D．－sin3．如果|cosα|＝15，52π<α<3π，那么tanαA．105 B．C．－62 D．4．若sinα＋sinβ＝1213，cosα＋cosβ＝613，则tanA．2 B．1C．－2 D．－15．(多选)下列各式与tanα相等的是()A．1−cos2α1+C．sin2α1−cos二、填空题6．α为第三象限角，则1+cos2αcos7．若tanα＝3，则sin2α＝________．8．已知sinπ6+α＝23，则cos三、解答题9．(13分)化简：1+sin1−sin10．已知sin(α＋β)sin(α－β)＝13，sinα＋sinβ＝m，则sinα－sinβ＝A．13m C．－13m D．11．(多选)若cosα＝－45，则1+tanA．12 C．－12 D．－12．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比t＝5−12≈0.618，现给出三倍角公式cos3α＝4cos3α－3cosα，则A．2t＝3sin18° B．t＝2sin18°C．t＝3sin18° D．t＝4sin18°13．已知tanθ2＝2，则sinθ1−14．(13分)已知α，β是锐角，α＋β≠π2，且满足3sinβ＝sin(2α＋β(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求tanβ的最大值，并求取得最大值时tanα的值．15．(15分)16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．积化和差：sinαsinβ＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)]，cosα·cosβ＝12[cos(α－β)＋cos(α＋β)]，sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(和差化积：sinα＋sinβ＝2sinα+β2cosα−β2，sinα－sinβ＝2cosα+β2sinα−β2，cosα＋cosβ＝2cosα+β2·cos运用上面的公式解决下列问题：(1)证明：cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β)；(2)若α＋β＋γ＋ω＝π，证明：sin(α＋β)·sin(α＋γ)＝sinαsinω＋sinβsinγ；(3)若函数f(x)＝sinx2＋sin3x4＋sin5x6＋…＋sin99x100，x课时分层作业(五十七)1．D[由题意，cosα＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3−58＝6−2516＝5−142，又α为锐角，所以sin2．C[∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cosα2<0，原式＝1+cosα2＝cosα23．B[因为|cosα|＝15，52π<α所以cosα＝－15，54π<α2<那么tanα2＝1−cosα1+cosα＝故选B．]4．A[由sinα＋sinβ＝sinα+β2＋α−β2＋sinα＝2sinα+β2cosαcosα＋cosβ＝cosα+β2＋α−β2＋cosα＝2cosα+β2cosα两式相除得tanα+β2＝12135．BD[tanα＝sin2α1+cos2α＝1−cos26.0[∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，∴1+cos2αcosα－1−cos2αsinα7．35[sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin28．56[因为cosπ3－α＝sinπ2－π3－α＝sinπ6＋α＝23，所以cos2π6－α2＝1+cos(π3−α)9．解：因为π<α<3π2，所以π2<α2所以cosα2<0，sinα2>0＝si＋si＝(sin＋(sin＝－22sinα2＋cosα2＋22sinα2－cos＝－2cosα210．A[因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β＝sin2α－sin2β，由sin(α＋β)sin(α－β)＝13，可得sin2α－sin2β＝1因为sinα＋sinβ＝m，所以sinα－sinβ＝sin2α故选A．]11．CD[1+tanα2＝cos＝(cos＝(cosα2+sin∵cosα＝－45，∴sinα＝±3当cosα＝－45，sinα＝－35原式＝1+sinαcosα＝1−当cosα＝－45，sinα＝35原式＝1+sinαcosα＝故选CD．]12．B[因为cos3α＝4cos3α－3cosα，所以cos54°＝4cos318°－3cos18°，又cos54°＝sin36°＝2sin18°cos18°，所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°，化简得4cos218°－3＝2sin18°，可得4(1－sin218°)－3＝2sin18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝5−14(负值舍去)，所以t＝2sin18°．13．－32[法一：因为tanθ2＝2，所以sin＝2sin－2sin＝2sinθ2＝cosθ2＝1tanθ2－tanθ2＝12法二：tanθ＝2tanθ21−tan2则sinθ1−cos＝2sinθcos＝2sinθcosθsi＝2×−34＝－14．解：(1)证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)得：3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)·cosα＋cos(α＋β)·sinα，即sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，因为α，β是锐角，α＋β≠π2所以sin(α+β即tan(α＋β)＝2tanα．(2)因为α是锐角，所以tanα>0，tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α+＝11而1tanα＋2tanα≥2当且仅当1tanα＝2tanα时取等号，此时tanα＝故tanβ≤122＝所以当tanα＝22时，(tanβ)max＝2[点评]分析已知角β、(2α＋β)与待求角(α＋β)、α间的关系是解题的切入点．15．解：(1)证明：根据二倍角公式与和差化积恒等式可得：cos2α－sin2β＝1+cos2α2－1−cos2β2＝12(cos2α＋cos2β)＝cos(α＋β(2)证明：左边＝12[cos(β－γ)－cos(2α＋β＋γ＝12[cos(β－γ)－cos(α＋π－ω)]＝12[cos(β－γ)＋cos(α－ω右边＝12[cos(α－ω)－cos(α＋ω)]12[cos(β－γ)－cos(β＋γ＝12[cos(α－ω)＋cos(β－γ)]－12[cos(α＋ω)＋cos(β＋因为α＋β＋γ＋ω＝π，所以cos(α＋ω)＋cos(β＋γ)＝0，故sin(α＋β)sin(α＋γ)＝sinαsinω＋sinβsinγ．(3)f(x)仅有一个零点．理由如下：显然f(π)＝0，下面证明当x∈(0，π)∪(π，2π)时，f(x)≠0，2sinx·f(x)＝2sin2x2＋2sinxsin3＝1−