定积分试题及其详尽答案说明

定积分精选试题及其详尽答案说明考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：（每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列函数中，在区间[−1,1]上定积分值为0的是（）A.∫<0xE2><0x82><0x96>^1xdxB.∫<0xE2><0x82><0x96>^1sinxdxC.∫<0xE2><0x82><0x96>^1|x|dxD.∫<0xE2><0x82><0x96>^1e<0xE2><0x82><0x96>dx2.若函数f(x)在[0,a]上连续，则∫<0xE2><0x82><0x96>^af(x)dx与∫<0xE2><0x82><0x96>^af(a-x)dx的关系是（）A.一定相等B.一定不相等C.当f(x)为奇函数时相等D.当f(x)为偶函数时相等3.设F(x)是函数f(x)=xsinx的一个原函数，则∫<0xE2><0x82><0x82>^πF(x)dx的值为（）A.0B.πC.2πD.π<0xE2><0x82><0x9C>4.下列积分中，可以用牛顿-莱布尼茨公式直接计算的是（）A.∫<0xE2><0x82><0x82>^1√(1-x<0xE2><0x82><0x82>)dxB.∫<0xE2><0x82><0x82>^11/(x+1)dxC.∫<0xE2><0x82><0x82>^11/√(1-x<0xE2><0x82><0x82>)dxD.∫<0xE2><0x82><0x82>^11/(1+x<0xE2><0x82><0x82>)dx5.若∫<0xE2><0x82><0x82>^1(ax+b)dx=2，则实数a,b满足（）A.a=2,b=0B.a=0,b=2C.a=-2,b=2D.a=2,b=-2二、填空题：（每小题3分，共15分。）6.∫<0xE2><0x82><0x82>^π(cosx+1)dx=________.7.若f'(x)=sinx+1,f(0)=1，则f(π)=________.8.∫<0xE2><0x82><0x82>^1xcosxdx=________.9.利用定积分表示曲线y=x<0xE2><0x82><0x82>在[0,1]上与x轴围成的平面图形的面积S=________.10.反常积分∫<0xE2><0x82><0x82>^+∞1/(x<0xE2><0x82><0x82>+1)dx________（填“收敛”或“发散”）.三、解答题：（共75分。）11.（8分）计算定积分∫<0xE2><0x82><0x82>^1(x<0xE2><0x82><0x82>+2x+1)/(x+1)dx.12.（10分）计算定积分∫<0xE2><0x82><0x82>^πxsinxdx，其中0<x<π.13.（10分）计算定积分∫<0xE2><0x82><0x82>^1xe<0xE2><0x82><0x96><0xE2><0x82><0x82>dx.14.（10分）计算定积分∫<0xE2><0x82><0x82>^1√(1-x<0xE2><0x82><0x82>)dx.15.（10分）计算反常积分∫<0xE2><0x82><0x82>^+∞e<0xE2><0x82><0x82>/(e<0xE2><0x82><0x82>+1)dx.16.（9分）计算定积分，表示抛物线y=x<0xE2><0x82><0x82>与直线y=2x在第一象限围成的平面图形的面积S.17.（12分）一物体作直线运动，速度函数为v(t)=3t<0xE2><0x82><0x82>-12t+9(单位：米/秒)，其中t为时间（单位：秒）。(1)求物体在t=0到t=3这段时间内所经过的路程s.(2)求物体在t=0到t=3这段时间内的平均速度v<0xE2><0x82><0x82>.试卷答案一、选择题：1.B2.A3.A4.B5.D二、填空题：6.π+27.28.cosπ-cos0=-29.∫<0xE2><0x82><0x82>^1x<0xE2><0x82><0x82>dx10.收敛三、解答题：11.解析：利用恒等变形将被积函数分解。原式=∫<0xE2><0x82><0x82>^1(x+1+1)/(x+1)dx=∫<0xE2><0x82><0x82>^1(1+1/(x+1))dx=∫<0xE2><0x82><0x82>^11dx+∫<0xE2><0x82><0x82>^11/(x+1)dx=[x]<0xE2><0x82><0x82>^1+[ln|x+1|]<0xE2><0x82><0x82>^1=(1-0)+(ln(1+1)-ln(1+0))=1+ln2.12.解析：利用分部积分法，令u=x,dv=sinxdx。原式=[-xcosx]<0xE2><0x82><0x82>^π+∫<0xE2><0x82><0x82>^πcosxdx=-πcosπ-(0cos0)+[sinx]<0xE2><0x82><0x82>^π=-π(-1)-0+(sinπ-sin0)=π+0-0=π.13.解析：利用分部积分法，令u=x,dv=e^xdx。原式=[xe^x]<0xE2><0x82><0x82>^1-∫<0xE2><0x82><0x82>^1e^xdx=(1e^1-0e^0)-[e^x]<0xE2><0x82><0x82>^1=e-0-(e^1-e^0)=e-(e-1)=1.14.解析：利用换元积分法，令x=sin<0xE2><0x82><0x82>^2t,dx=2sintcostdt=sin2tdt。积分区间对应t从0到π/2。原式=∫<0xE2><0x82><0x82>^π/2√(1-sin^2<0xE2><0x82><0x82>^2t)*sin2tdt=∫<0xE2><0x82><0x82>^π/2√(cos^2<0xE2><0x82><0x82>)*sin2tdt=∫<0xE2><0x82><0x82>^π/2cost*sin2tdt=∫<0xE2><0x82><0x82>^π/2cost*2sintcostdt=2∫<0xE2><0x82><0x82>^π/2sin^2tcos^2tdt=2∫<0xE2><0x82><0x82>^π/2(sin^2tcos^2t)dt=2∫<0xE2><0x82><0x82>^π/2(1-cos^2t)^2cos^2tdt令u=cost,du=-sintdt。积分区间对应u从1到0。=-2∫<0xE2><0x82><0x82>^0(1-2cos^2t+cos^4t)cos^2tdu=2∫<0xE2><0x82><0x82>^1(u^4-2u^6+u^8)du=2[u^5/5-2u^7/7+u^9/9]<0xE2><0x82><0x82>^1=2[(1^5/5-2*1^7/7+1^9/9)-(0^5/5-2*0^7/7+0^9/9)]=2*(1/5-2/7+1/9)=2*(63-90+35)/315=2*8/315=16/315.15.解析：利用换元积分法，令u=e^x,du=e^xdx。积分区间对应u从1到+∞。原式=∫<0xE2><0x82><0x82>^+∞1/(u+1)du=[ln|u+1|]<0xE2><0x82><0x82>^+∞=lim(u→+∞)ln(u+1)-ln(1+1)=lim(u→+∞)ln(u+1)-ln2=+∞-ln2=发散.(注意：此处严格应为+∞-ln2，但根据填空题要求填写性质，故填“发散”)16.解析：首先求交点，解方程组x<0xE2><0x82><0x82>=2x得x=0或x=2。面积S为直线与抛物线在[0,2]上围成的区域面积。S=∫<0xE2><0x82><0x82>^2(2x-x<0xE2><0x82><0x82>)dx=∫<0xE2><0x82><0x82>^22xdx-∫<0xE2><0x82><0x82>^2x<0xE2><0x82><0x82>dx=[x^2]<0xE2><0x82><0x82>^2-[x^3/3]<0xE2><0x82><0x82>^2=(2^2-0^2)-(2^3/3-0^3/3)=4-(8/3)=4-8/3=12/3-8/3=4/3.17.解析：(1)路程s为速度函数v(t)在[0,3]上的定积分的绝对值，因为速度可能改变方向。s=∫<0xE2><0x82><0x82>^3|3t^2-12t+9|dt首先找出v(t)=0的区间，解3t^2-12t+9=0，得t^2-4t+3=0，(t-1)(t-3)=0，得t=1。在[0,1]上，v(t)=3t^2-12t+9≥0(顶点在t=2，开口向上)；在[1,3]上，v(t)=3t^2-12t+9≤0。s=∫<0xE2><0x82><0x82>^1(3t^2-12t+9)dt-∫<0xE2><0x82><0x82>^3(3t^2-12t+9)dt=[t^3-6t^2+9t]<0xE2><0x82><0x82>^1-[t^3-6t^2+9t]<0xE2><0x82><0x82>^3=(1-6+9)-(27-54+27)=4-(27-54+27)=4-0=4.(注：这里计算∫<0xE2><0x82><0x82>^3(3t^2-12t+9)dt=0是基于v(1)=0和v(3)=0的简化处理，更严谨应为∫<0xE2><0x82><0x82>^1(3t^2-12t+9)dt-∫<0xE2><0x82><0x82>^3(3t^2-12t+9)dt=∫<0xE2><0x8