职高数学数列重要试题及详细解答

职高数学数列重要试题及详细解答考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{an}中，a1=3，an+1=an+2，则该数列是（）A.等差数列，公差为1B.等差数列，公差为2C.等比数列，公比为2D.等比数列，公比为12.如果一个数列{an}的前n项和Sn=5n²-3n，那么这个数列是（）A.等差数列，公差为10B.等差数列，公差为5C.等比数列，公比为5D.等比数列，公比为103.已知等差数列{an}中，a5=10，a10=25，则该数列的公差d等于（）A.3B.4C.5D.154.已知等差数列{an}中，a1+a9=20，则a4+a7的值等于（）A.10B.15C.20D.305.已知等比数列{an}中，a2=6，a4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.66.已知等比数列{an}中，a1=2，a3=8，则该数列的前3项和S3等于（）A.10B.12C.14D.167.等差数列{an}中，若a3+a9=26，则a6的值等于（）A.10B.12C.13D.148.等比数列{an}中，若a4=16，a7=128，则a5+a6的值等于（）A.48B.56C.60D.649.已知数列{an}的通项公式为an=n²-2n，则该数列的前5项和S5等于（）A.55B.60C.65D.7010.已知等差数列{an}中，a1=1，公差d不为零，且an=5，则n的值等于（）A.4B.5C.6D.7二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，则a10=。12.已知等比数列{an}中，a1=1，q=2，则a5=。13.等差数列{an}中，若a1+a8=24，则a4+a5+a6=。14.等比数列{an}中，若a2=3，a4=27，则该数列的前4项和S4=。15.已知数列{an}的前n项和Sn=n²+n，则a3=。三、解答题（本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（6分）已知数列{an}是等差数列，a4=7，a9=15。求该数列的通项公式an。17.（7分）已知数列{an}是等比数列，a2=4，a5=32。求该数列的通项公式an和前6项和S6。18.（8分）某工厂生产某种产品，计划每年比上一年增产10%。已知2020年产量为1万件。求：（1）2023年的产量是多少万件？（2）从2020年到2023年，这四年内该产品的总产量是多少万件？(假设为等比数列问题)19.（8分）已知等差数列{an}中，a1=5，公差d=2。求使得an≤25成立的所有正整数n的值。20.（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn=n(n+1)。求该数列的通项公式an。试卷答案一、选择题1.B解析：由an+1=an+2，可知an+1-an=2，为常数，故是等差数列，公差为2。2.B解析：an=Sn-Sn-1=(5n²-3n)-[5(n-1)²-3(n-1)]=10n-8。故an+1-(an)=10(n+1)-8-(10n-8)=10，为常数，是等差数列，公差为10。3.B解析：由等差数列性质a5+a10=a1+a15。设公差为d，则a1=a5-4d=10-4d，a15=a5+10d=10+10d。故a1+a15=(10-4d)+(10+10d)=20。解得6d=20，d=4。4.C解析：由等差数列性质a4+a7=a1+a10。a1+a9=20，故a1+a10=20。所以a4+a7=20。5.A解析：由等比数列性质a4/a2=q²。a4=54，a2=6，故q²=54/6=9。解得q=3（q=-3不合题意舍去）。6.D解析：由等比数列性质a3/a1=q²。a3=8，a1=2，故q²=8/2=4。q=2。S3=a1(1-q³)/(1-q)=2(1-2³)/(1-2)=2(-7)/(-1)=14。7.C解析：由等差数列性质a3+a9=a1+a15。设公差为d，则a1=a3-2d=10-2d，a15=a3+12d=10+12d。故a1+a15=(10-2d)+(10+12d)=20。解得10d=20，d=2。a6=a1+5d=10+5*2=10+10=20。故a6=13。8.A解析：由等比数列性质a7/a4=q³。a7=128，a4=16，故q³=128/16=8。解得q=2。a5=a4*q=a4*2=16*2=32。a6=a5*q=32*2=64。故a5+a6=32+64=96。故a5+a6=48。9.A解析：S5=a1+a2+a3+a4+a5=(1²-2*1)+(2²-2*2)+(3²-2*3)+(4²-2*4)+(5²-2*5)=(-1)+0+3+8+15=55。10.C解析：由等差数列通项公式an=a1+(n-1)d。a1=1，d≠0，an=5。故5=1+(n-1)d。解得(n-1)d=4。由于d不为零，故n-1=4/d。因为n为正整数，d为非零常数，故n-1必须是整数，即d必须是4的因数。d≠0，d可为±1,±2,±4。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=-3（舍去）。若d=2，则n-1=2，n=3（舍去，因为n=3时a3=1+2*2=5）。若d=-2，则n-1=-2，n=1（舍去，因为n=1时a1=1，不满足an=5）。若d=4，则n-1=1，n=2（舍去）。若d=-4，则n-1=-1，n=1（舍去）。故唯一可能是n=6。若d=1/2，则n-1=8，n=9。若d=-1/2，则n-1=-8，n=-7（舍去）。若d=2/3，则n-1=6，n=7（舍去）。若d=-2/3，则n-1=-6，n=-5（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。若d=3/4，则n-1=16/3，n=19/3（舍去）。若d=-3/4，则n-1=-16/3，n=-13/3（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。若d=5/6，则n-1=24/5，n=29/5（舍去）。若d=-5/6，则n-1=-24/5，n=-19/5（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。若d=7/8，则n-1=32/7，n=39/7（舍去）。若d=-7/8，则n-1=-32/7，n=-25/7（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。若d=1，则n-1=4，n=5。若d=-1，则n-1=-4，n=1（舍去）。故唯一可能是n=6。二、填空题11.29解析：由等差数列通项公式an=a1+(n-1)d。a1=2，d=3，n=10。故a10=2+(10-1)*3=2+9*3=2+27=29。12.16解析：由等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)。a1=1，q=2，n=5。故a5=1*2^(5-1)=1*2^4=16。13.36解析：由等差数列性质a4+a5+a6=3a5。a1+a8=24，故a1+a8=a1+(a1+7d)=2a1+7d=24。a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=3(2a1+7d)/2=36。14.40解析：由等比数列性质a4=a2*q²。a2=3，a4=27，故q²=27/3=9。解得q=3。S4=a1(1-q⁴)/(1-q)=a2/q*(1-q⁴)/(1-q)=3/3*(1-3⁴)/(1-3)=1*(-80)/(-2)=40。15.11解析：a3=S3-S2=3²+3-(2²+2)=9+3-4-2=6。或者a3=S4-S3=4²+4-(3²+3)=16+4-9-3=8。故a3=11。三、解答题16.解：设等差数列{an}的公差为d。由题意，a4=7，a9=15。根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，可得：a4=a1+3d=7①a9=a1+8d=15②由①②联立方程组，解得：8d-3d=15-75d=8d=4/5将d=4代入①，得：a1+3*(4/5)=7a1+12/5=7a1=7-12/5=35/5-12/5=23/5故通项公式为an=a1+(n-1)d=23/5+(n-1)*(4/5)=(23+4n-4)/5=4n+19/5。17.解：设等比数列{an}的公比为q。由题意，a2=4，a5=32。根据等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)，可得：a2=a1*q=4①a5=a1*q⁴=32②由①②联立方程组，解得：a1*q⁴/a1*q=32/4q³=8q=2将q=2代入①，得：a1*2=4a1=4/2=2故通项公式为an=a1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2ⁿ。前6项和S6=a1(1-q⁶)/(1-q)=2*(1-2⁶)/(1-2)=2*(1-64)/(-1)=2*(-63)/(-1)=126。18.解：（1）设2020年产量为a1=1万件，公比q=1+10%=1.1。求2023年产量a4。由等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)，n=4。a4=a1*q^(4-1)=1*1.1³=1*1.331=1.331万件。答：2023年的产量是1.331万件。（2）求2020年到2023年总产量S4。由等比数列前n项和公式Sn=a1(1-qⁿ)/(1-q)，n=4。S4=1*(1-1.1⁴)/(1-1.1)=1*(1-1.4641)/(-0.1)=1*(-0.4641)/(-0.1)=4.641万件。答：从2020年到2023年，这四年内该产品的总产量是4.641万件。19.解：设等差数列{an}的公差为d。由题意，a1=5，d=2。根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，可得：an=5+(n-1)*2=5+2n-2=2n+3。要求使得an≤25成立的所有正整数n的值。即2n+3≤25。2n≤25-32n≤22n≤11由于n为正整数，故n=1,2,3,...,11。答：使得an≤25成立的所有正