广东省广州仲元中学2025−2026学年高二下学期期末考试数学试题

广东省广州仲元中学2025−2026学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数，，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集，集合，若，则（

）A．4 B．6 C．8 D．103．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．4．的展开式中的系数为（

）A． B． C．48 D．2885．已知，则（

）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（

）A．24 B．54 C．72 D．1207．已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，对于正实数a，定义集合，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论正确的是（

）A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60C．若随机变量服从二项分布，则D．若随机变量服从正态分布，且，则10．如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（

）A．当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为B．异面直线与所成的最大角为C．不存在点使得D．三棱锥的体积为定值11．设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（

）A．若，则数列是“均增数列”B．若等差数列是“均增数列”，则公差C．若是“均增数列”，则D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列”三、填空题12．已知，，且，则____．13．在中，角，，的对边长，，分别为3，5，7，则的外接圆半径等于________．14．已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于__________．四、解答题15．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的焦距；（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求．16．已知数列的首项，且满足.（1）证明：数列为等比数列，求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17．在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点．（1）当点是棱中点时，求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．18．某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为．（1）求的概率；（2）证明：对任意正整数，恒成立；（3）已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券．求平台赠送该用户的优惠券金额的期望．19．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：．

参考答案1．【答案】D【详解】由已知，对应点坐标为，在第四象限.2．【答案】D【详解】全集，集合，，，，故选项D正确.3．【答案】B【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示，设球的半径为，由题意可知，，则在直角中，，所以球的表面积．4．【答案】B【详解】(2x+1x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(1x)k=C6k26-kx6-2k.

要求(1-x2)(2x5．【答案】D【详解】由.6．【答案】B【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.7．【答案】D【详解】如图，连接，设，则，，，在中，，即，所以，所以，在中，，即，所以.

8．【答案】D【详解】当，，而，所以恒成立，则单调递增（凹函数），∴如图所示：令，∴，∵，令，解出，∴，令，∴，∵，，且，∴如图可知，，∴.9．【答案】BCD【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27，由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数，即，故A错误；对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确；对于C，易得，则，故C正确；对于D，若服从正态分布，则，故D正确．10．【答案】AD【详解】对于A，取的中点，的中点，的中点，连接、、、、，由于均为所在边的中点，所以，，，所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，其边长，故其面积为，故A正确；对于B，设中点为，连接，则易得平面，则异面直线与所成的角可用表示，在中，，当为的中点时，，此时取最小值，此时有，因异面直线与所成的角，由余弦函数的单调性，可得，故B不正确；对于C，若为中点，由B项易得平面，因平面，则，由于，，由，可得，又平面，所以平面，又平面，故，即C不正确；对于D，由图知，点到平面的距离为，而，故，即三棱锥的体积为定值，故D正确．11．【答案】ABD【详解】由，可得，则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确；由等差数列是“均增数列”，且，则由可得：，故B正确；当，取时，，要证明，只需要证明，即证，则只需要证明，当为奇数，不等式显然成立，当为偶数，要证明，因为，对任意都成立，所以，即对任意为偶数也成立，即原不等式对任意都成立，所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确；由于是“均增数列”，由于，，不满足，故C错误；故选ABD12．【答案】【详解】已知，则，解得．13．【答案】/【详解】由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理，所以.14．【答案】【详解】如图，因为抛物线的焦点，所以，解得，则抛物线的方程为，准线方程为，，易知直线斜率存在，设方程为，联立，整理得,由韦达定理得，，又，，且∴，即代入，整理得，解得或（舍），所以，，所以，的面积等于15．【答案】（1）（2）4【详解】（1）由题意得：，又，可得，，则双曲线的焦距为．（2）双曲线的方程为，右焦点坐标为，设直线的斜率为．直线的方程为：，联立，整理得，因设，则．16．【答案】（1）见详解，（2）【详解】（1）因为，所以.所以，则.因为，所以，所以数列是首项和公比均为的等比数列.所以，所以.（2）由（1）得，所以，所以.所以.设，则，，，，所以.17．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接．因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点，所以．又因为平面，平面，所以平面.（2）或．【详解】（1）略（2）因为侧面底面，平面底面，因，平面,则平面．又因平面,则．因为，，满足,则得．故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，，，，．设，则,且，则,,,设平面的法向量为．由,故可取．因为直线与平面所成角的正弦值为，所以．整理得，解得或,经检验均符合题意.故线段的长为或．18．【答案】（1）（2）由题意知即求前辆车都没有接单的概率，.对任意的正整数s，t，（3）元【详解】（1）.（2）略（3）由（2）知，，平台需要支付该用户的优惠券金额的所有可能取值为，则，所以，即平台需要赠送的优惠券金额的期望为元.19．【答案】（1）（2）（3