山东省东营市2025−2026学年第二学期期末学业质量评价高二数学试题

山东省东营市2025−2026学年第二学期期末学业质量评价高二数学试题一、单选题1．已知等差数列的公差为，则（

）A． B． C． D．2．函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．是函数的极大值点B．在区间上单调递增C．是函数的最小值点D．在处切线的斜率小于零3．若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（

）A． B．1.8 C． D．2.54．已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（

）A． B． C． D．6．若存在使得，则称是函数的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（

）A． B． C． D．7．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（

）A．4052 B．2027 C．2026 D．10138．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为3，则（

）A．中位数可能为5 B．极差可能为1 C．众数可能为2 D．方差可能为6二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．一组数据1，3，3，4，5，6，7，8的第40百分位数为4B．对于回归直线方程，若每增加1个单位，一定增加0.5个单位C．若事件，满足，则事件，是对立事件D．若事件，满足，则事件，相互独立10．已知函数，，则下列正确的是（

）A．若，则B．若函数在区间上单调递增，则C．当时，函数的单调递减区间为D．当时，函数的两个极值点，满足11．已知数列满足（是自然对数的底数），且，则（

）A． B． C． D．三、填空题12．的展开式中的系数为________．13．已知函数的导函数为，且，则_______．14．已知数列中，，其余项由如下规则生成：若为奇数，有的概率为，有的概率为；若为偶数，有的概率为，有的概率为，则是偶数的概率为_______．四、解答题15．函数，．（1）若，求函数的单调区间；（2）判断函数的零点个数．16．已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．17．某校引入智能学情诊断系统做学情测评，待检测样本为100名学生，其中拔尖生25人，待提升学生75人．对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别出待提升学生的概率为．（1）从这100名学生中随机抽选2人，求抽到的2人均是拔尖生的概率；（2）现从100名学生中随机抽选3人进行测评，每次抽选1人，测评后返回人群，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望．18．已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”．（1）证明：直线是函数的“上切线”；（2）若函数有“上切线”且有“下切线”，求的取值范围；（3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围．19．满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布．（1）为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求（）；（参考数据：若，，）（2）若，函数（），证明：曲线是中心对称图形；（3）若某小区一共有户住户，其电表编号为（，，，…，），国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为1分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第1户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），证明：．

参考答案1．【答案】C【详解】因为等差数列的公差为，所以.故选C.2．【答案】B【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.故选B3．【答案】B【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值，又实际观测值，因此残差为.4．【答案】D【详解】等比数列首项时，，因为，所以为递增数列，所以推不出为递减数列；若数列的通项公式为，此数列为递减数列，公比，不满足，所以为递减数列推不出；所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件.5．【答案】C【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此，表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种；②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此，根据古典概型下的条件概率公式，代入得.6．【答案】C【详解】对A，由，因为，，所以方程有解，即函数存在“好点”；对B，由，因为，所以方程有两个不相等的实根，即函数有两个“好点”；对C，由，因为，，所以方程无解，即函数无“好点”；对D，由，设，，因为在上连续，且，所以在上单调递增，又，，所以只在内有一个零点.即函数只有1个“好点”，位于区间内.7．【答案】A【详解】由题意得，因为是函数的两个极值点，所以，因为是各项均为正数的等比数列，所以，所以8．【答案】C【详解】设四次数据为，且，由题可得.对于A，若中位数为5，则，注意到，则，又，则，从而，这与矛盾，故A错误；对于B，若极差为1，则，结合，则，，，令，，分别为时，均不为整数，这与矛盾，故B错误；对于C，取可满足题意，故C正确；对于D，设，则，得到，若方差为6，则，易得中至少有1个为，否则与题设不符.取，则，结合，，可得只有三种可能性，但均不满足，故D错误.9．【答案】AD【详解】对于A：该组数据共8个，已从小到大排序，计算得，不是整数，向上取整为4，即第40百分位数为第4个数据4，故A正确；对于B：回归直线方程中的是的估计值，每增加1个单位时，平均增加0.5个单位，并非一定增加0.5个单位，故B错误；对于C：对立事件需要同时满足两个条件：①互斥（），②，仅给出无法推出是对立事件，故C错误；对于D：根据条件概率公式，，，可得，化简得，即相互独立，故D正确.10．【答案】AD【详解】对函数求导得，若，则，解得，所以A选项正确；若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上单调递增，要使在上恒成立，，解得，所以B选项错误；当时，，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，所以C选项错误；令，即，若函数有两个极值点，，则和为的两根，当时，，，所以，所以D选项正确.11．【答案】AB【详解】对于B，注意到，假设，则，则由数学归纳法可得对一切，，故B正确；对于A，，构造函数，，则，从而在上单调递减，在上单调递增，由B分析可得，则，故A正确；对于C，，由A分析可得对任意不为0的均成立，则，则，从而，故C错误；对于D，易得当时，，故D错误；12．【答案】10【详解】展开式的通项公式为，令的次数，此时的次数为，符合要求.故的系数为.13．【答案】【详解】由求导得，令，则得，解得，所以，.14．【答案】【详解】由题意可得，若为奇数，则为偶数的概率为，为奇数的概率为；若为偶数，则为偶数的概率为，为奇数的概率为；已知为奇数，因此，。；；.15．【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.【详解】（1）当时，，则，由可得，由可得或，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由可得，依题意，函数的零点个数即函数与直线的交点个数.因，当时，，当或时，，则函数在上单调递增；在和上单调递减，且当时，，当时，，，故当或时，两函数有1个交点；当时，两函数有2个交点；当时，两函数有3个交点；即当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.16．【答案】（1）.（2）.【详解】（1）设数列的公差为，由得，即①.由成等比得，化简得，即，将其代入①，解得.故数列的通项公式为；（2）由（1）知，，已知当为奇数时，；当为偶数时，.则.不妨设，则，两式相减，可得故，从而.17．【答案】（1）（2）的分布列为：0123数学期望【详解】（1）设事件：从这100名学生中随机抽选2人，抽到的2人均是拔尖生，则.（2）从100名学生中随机抽选1人，能精确识别的概率为：.由题意，取值为0,1,2,3，所以，，，.所以的分布列为：0123数学期望为.18．【答案】（1）对求导可得，，，所以直线是函数的切线，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以直线是函数的“上切线”.（2）（3）【详解】（1）对求导可得，，，所以直线是函数的切线，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以直线是函数的“上切线”；（2）因为是函数的“上切线”，所以对一切恒成立，即，化简得对恒成立，当时，不恒成立，当时，则需，解得；因为是函数的“下切线”，所以对一切恒成立，即，化简得对恒成立，当时，不恒成立，当时，则需，解得；综上可得.（3）设的切点为，，则切线斜率，所以的切线方程为，即，因为直线既是函数的“下切线”，所以即恒成立，且，，令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，又直线也是函数的“上切线”，所以即恒成立，因为直线是函数的切线，所以，即有且只有一个实数根，所以，所以，所以，令，则，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，当时，，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上